常微分方程答案 第三章
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习题3.1
1. 求方程
2dy
x y dx
=+通过点(0,0)的第三次近似解。 解：()2,f x y x y =+，令00()0x y ϕ==，则
()()()0
21000
1,2
x x
x x y f x x dx xdx x ϕϕ=+==
⎰⎰ ()()()0
2252010
111,2220x x
x x y f x x dx x x dx x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+=+⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦⎰⎰
()()()0
30222525811
,1111112202201604400x
x x
x y f x x dx
x x x dx x x x x ϕϕ=+⎡⎤⎛⎫=++=++
+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦⎰⎰
为所求的第三次近似解。
3. 求初值问题
()22
,:11,1,
10dy x y R x y dx
y ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪-=⎩
(1) 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。 解：因为()22,f x y x y =-，1a b ==，()(),max ,4x y R
M f x y ∈==，所以
1
m i n ,4
b h a M ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而解得存在区间为114x +≤，即5344x -≤≤-。
又因为()22,f x y x y =-在R 上连续，且由22f y y L ∂∂=≤=可得(),f x y 在
R 上关于y 满足Lipschitz 条件，所以Cauchy 问题(1)在53
44
x -
≤≤-有唯一解()y x ϕ=。
令00()0x y ϕ==，则
()()()()0
23
1001
1,13
x x
x x y f x x dx x dx x ϕϕ-=+==
+⎰⎰ ()()()()0
2
347232011111,1342931863x
x
x x x x x x y f x x dx x x dx ϕϕ-⎡⎤
⎛⎫=+=-+=-+--
⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
误差为：()()()()3
21
21!24
Lh M x x L ϕϕ-≤=+
10. 给定积分方程
()()()(),b
a
x f x K x d ϕλξϕξξ=+⎰ (*)
其中()f x 是[],a b 上的已知连续函数，(),K x ξ是a x b ≤≤，a b ξ≤≤上的已知连续函数。证明当λ足够小时(λ是常数)，(*)在[],a b 上存在唯一的连续解。 证明：分四个步骤来证明。
㈠. 构造逐步逼近函数序列
()()0x f x ϕ=
()()()()1,,0,1,2,b
n n a x f x K x d n ϕλξϕξξ+=+=⎰
由()f x 是[],a b 上的连续函数可得()0x ϕ在[],a b 上连续，故再由(),K x ξ是
a x
b ≤≤，a b ξ≤≤上的连续函数可得()1x ϕ在[],a b 上连续，由数学归纳法易证
()n x ϕ在[],a b 上连续。
㈡. 证明函数列(){}n x ϕ在[],a b 上一致收敛。
考虑级数
()()()()[]011
,
,k k k x x x x a b ϕϕϕ∞
-=+-∈∑ (2)
由
()()()()()011
n
k k n k x x x x ϕϕϕϕ-=+-=∑
知，(){}n x ϕ的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。
令()max a x b
M f x ≤≤=，()(),max ,a x b a b
L b a K x ξλξ≤≤≤≤=-。由(2)有
()()()()()()()()
10,,,max ,max b
a
b
a
b
a
a x
b a b
a b
x x K x f d K x f d K x f d ML
ξξϕϕλξξξ
λξξξ
λξξξ≤≤≤≤≤≤-=≤≤=⎰⎰⎰
所以
()()()()()()()()()()2110102
,,,b
a
b
a
b
a
x x K x d K x d ML K x d ML ϕϕλξϕξϕξξ
λξϕξϕξξλξξ-=-≤-≤≤⎰⎰⎰
假设对正整数n ，有不等式
()()[]1,
,n n n x x ML x a b ϕϕ--≤∈ (3)
则
()()()()()()()()()()[]
1111
,,,,
,b
n n n n a
b
n n a
b
n n a
x x K x d K x d ML
K x d ML x a b ϕϕλξϕξϕξξ
λξϕξϕξξ
λξξ+----=-≤-≤≤∈⎰⎰⎰
所以(3)对任意正整数n 都成立。
因为1n n ML ∞
=∑为正项级数，且当λ足够小时，
()(),max ,1a x b a b
L b a K x ξλξ≤≤≤≤=-< (4)
故1
n
n ML ∞=∑收敛，从而由Weierstrass 判别法，级数()()()11
k k k x x ϕϕ∞
-=-∑一致收敛，
故级数(2)一致收敛，所以函数列(){}n x ϕ在[],a b 上一致收敛。
㈢. 证明()()lim n n x x ϕϕ→∞
=是积分方程(*)在[],a b 上的连续解。
因为由㈠和㈡可得()n x ϕ在[],a b 上连续，(){}n x ϕ在[],a b 上一致收敛，故
()x ϕ在[],a b 上连续，且函数列()(){},n K x x ξϕ在[],a b 上一致收敛，所以对