数学建模非线性规划模型

min f1 x , f 2 x , , f p x
xR
T
投资的收益和风险
这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题，
问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、…） Si（i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。 公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估 算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预 测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散 总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若
其次用MATLAB求解优化模型，因MATLAB中仅 能求极小值，为此将优化模型转化为
min( P) z (c dz ez 2 )(a bx)( x 2) s.t x 0, z 0
且x=5.9113，z=33113，函数P达到最大值16670。



第三节 多目标规划模型 在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇 到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的 最优问题 一、引例 例2.9 投资问题。假设在一段时间内，有数量为B亿 元的资金可用于投资，并有m个项目可供选择。如果 对第 i 个项目投资的话，需用资金 a i亿元，并可获得 收益ci亿元，试确定最佳投资方案。 解 所谓最佳投资方案系指：投资最少；收益最大。 若令目标函数为求：投资最少：收益最大.
S7
40.7
68
5.6
178
S8
S9 S10 S11
31.2
33.6 36.8 11.8
33.43
53Fra Baidu bibliotek3 40 31
3.1
2.7 2.9 5.1
220
475 248 195
S12
S13 S14 S15
9
35 9.4 15
5.5
46 5.3 23
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
表2
预期销售量（桶）
广告费（元） 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
n n
p i ) xi pi ) xi M (i 1 ~ n)
(1 i 0
（14）
qi xi k x0
给定k，可方便地求解模型（14）。具体计算时， 为了方便起见，可令 M=1，于是（1+pi）可视作 投资Si的比例。下面针对n=4，M=1的情形按原问 题给定的数据，模型（14）可变为：

Q( x) max Qi ( xi ) max{qi xi }
1in 1in
所以可令 qk xk max {qi xi } k {1,2, , n}
1i n

即
q i xi q k x k
(i 1 ~ n)
ci ( xi ) pi xi
(i 0 ~ n)
（2）
对Si投资的净收益 Ri ( xi ) ri xi ci ( xi ) (ri pi ) xi
对Si投资的风险
Qi ( x i ) q i x i
（3）
（4） 对Si投资所需资金（投资金额xi与所需的手续费 ci（xi）之和）即 （5） f ( x ) x c ( x ) (1 p ) x
（15）
Mathematica求解
利用Mathematica解模型（15） 当k=0.05时，计算得 x0=0,x1=0.99,x2=0,x3=0,x4=0。 当k=0.01时，计算得 x0=0,x1=0.4,x2=0.584,x3=0,x4=0。
求模型（11）~（13）的最优解困难在于 Q（x）是非光滑函数，难于直接用通常的优化 算法和现成的软件求解。为此，我们要想办法把 它们转化为可求解的形式。 下面以模型（12）为例（模型（11）,（13） 类似）。因 为
max 0.05x 0 0.27x1 0.19x 2 0.185x3 0.185x 4 s.t x 0 1.01x1 1.02x 2 1.045x3 1.065x 4 1 0.025x1 k 0.015x 2 k 0.055x3 k 0.026x 4 k xi 0 (i 0 ~ 4)
max R( x ) s.t Q( x ) k F ( x) M x0
（10）
2.
假定投资的平均收益率为 r ，则投资M的收 益 h rM ，若要求总的收益R（x）大于等于 h，即R（x）≥h，则模型（9）可转化为
min s.t
Q( x) R( x) h F ( x) M x0
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆 一般来说随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少， 并对此进行了估算，见表1。为了尽快收回资金并 获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告投入一定 的广告费后，销售量将有一个增长，可由销售增长因 子来表示。根据经验，广告费与销售增长因子关系见 表2。现在的问题是装饰材料公司采取怎样的营销 战略预期的利润最大？
由于目标函数不是线性函数，因此这一问题的数学 模型为有约束条件的非线性规划模型。在日常生活 中非线性规划问题要比线性规划问题普遍。 模型求解 首先利用Mathematica计算（1）（2）中的参数a， b，c，d，e，并画出散点图和拟合曲线。
图-3
图-4
即：
a 50422 .2, b 5133 .33 c 1.01875 , d 4.09226 105 , e 4.25595 1010


若令

目标函数为求； m 投资最少： min f1 ai xi
i 1
1，对Ai投资 xi i 1, 2, 0，对Ai不投资
,m

收益最大：
约束函数为：
min f 2 ci xi
i 1
m

a x B,
i 1 i i
m
i 1, 2,...., m
6.4.3 问题的分析
0 xi 0 ci ( xi ) pi u i 0 xi u i p x x u i i i i
设购买Si的金额为xi，所付的交易费为ci（xi）;c0(x0)=0
(i 1 ~ n)
（1）
因为投资额M相当大，所以总可以假定对每个Si的投 资 xi ≥ ui，这时（1）式可简化为
干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一 个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且 当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款 利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。 （1）已知n=4时的相关数据如下：
Si S1 S2 S3 S4 ri（%） 28 21 23 25 qi（%） 2.5 1.5 5.5 2.6 pi（%） 1 2 4.5 6.5 ui（元） 103 198 52 40
（11）
3.
假定投资者对风险—收益的相对偏好参数为ρ， 则模型（9）可转化为
min Q( x) (1 ) R( x) F ( x) M s.t x0
（12）
4.
将总收益R（x）与整体风险Q（x）相比，则 模型（9）可化为：
R( x ) max Q ( x ) s.t F ( x ) M x0
试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净 收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 （2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用 以下数据进行计算。
Si S1 S2 S3 S4 S5 S6 ri（%） 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 qi（%） 42 54 60 42 1.2 39 pi（%） 2.1 3.2 6.0 1.5 7.6 3.4 ui（元） 181 407 428 549 270 397
P 收入 支出 销售收入 成本 广告费 sx 2 s z kxy 2ky z ky ( x 2) z ( c dz ez )(a bx)( x 2) z
2
我们期望利润P达到最大，即
2 P (c dz ez )(a bx)( x 2) z max x. z s.t x 0, z 0
销售增长因子 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80
符号说明及问题的分析
设x表示售价（单位：元），y表示预期销售量
（单位：桶），z表示广告费（单位：元），k表示 销售增长因子。投入广告费后，实际销售量记为s 获得的利润记为P（单位：元）。由表1易见预期 销售量 y 随着售价x 的加而单调下降，而销售增长 因子k在开始时随着广告费z的增加而增加，在广告 费z等于50000元时达到最大值，然后在广告费增加 时反而有所回落，为此可用Mathematica画出散点图.
（13）
模型求解 由于模型（10）中的约束条件Q（x）≤k，即
1i n
m ax Qi ( xi ) k
所以此约束条件可转化为： Qi ( xi ) k (i 1 ~ n) 这时模型（10）转化为如下的线性规划
max s.t (ri i 0
图1
图2
从图1和图2易见，售价x与预期销售量y近似于 一条直线，广告费 z 与销售增长因子k近似于一条 二次曲线。为此可令： y=a+bx k=c+dz+ez2 系数a，b，c，d，e是特定参数。 模型的建立 投入广告费后，实际销售量s等于预期销售量y乘 以销售增长因子k，即s=ky。所获得的利润。
i 0
多目标规划数学模型

我们的想法是净收益总额R（x）尽可能大，而 整体风险Q（x）又尽可能小，则该问题的数学 模型可归为多目标规划模型，即
max R( x) min Q( x) s.t F ( x) M x0
（9）
模型（9）属于多目标规划模型为了对其求解， 可把多目标规划转化为单目标规划。 1. 假定投资的平均风险水平 q ，则投资M的风 险 k q M ，若要求整体风险Q（x）限制在风险k 以内，即Q（x）≤k，则模型（9）可转化为

二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x ,
, f p x
T
gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
我们称它为多目标规划问题的数学模型。 当时所有目标函数都求最大值，只须注意，求一个函 数的最大值可以转化为求这个函数的负函数的最小值， 便知这时的数学模型可以转化为
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
M（元）：公司现有投资总额 Si（i=0~n）：欲购买的第i种资产种类（其中i=0 表 示存入银行）； xi（i=0~n）：公司购买Si金额； ri（i=0~n）：公司购买Si的平均收益率； qi（i=0~n）：公司购买Si的平均损失率； p（i=0~n）：公司购买Si超过ui时所付交易费率。
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M