Leslie模型(数学建模)

A
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建立模型:
F(0) F(1) F(2) • • • F(n)
S(0)
构造n+1阶方阵 M=
S(1) S(2)
•••
那么I (1)=MK
S(n-1)
I (t)=MtK
A
14
考虑到在一段稳定的时间段内:总的女性人口数比上总 的男性人口数为一个近似为1的定值.为了更为确切地分 析女性个体数量的分布对总人口数的影响,我们单独把 女性人口数作为研究对象.
另外在这个模型中我们还加上了人口迁移对起其总数 的影响.
A
15
一些定义:
n为人类的年龄上限 a(x)=x岁的妇女所生的婴数/x岁的妇女总数 b(x)=x岁人的存活率 h(x)= x岁的妇女迁移数/x岁的妇女总数 Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数
Nt(0)
Nt(1)
K= I(0) I(t)=
A
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两个重要模型: Keyfitz Leslie
A
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一些定义:
n为人类的年龄上限 F(x)=x岁的妇女所生的婴儿数/x岁的总人口数 S(x)=x岁人的存活率 P(x)=初始时x岁的总人口数 Nt(x)=距离初始t年时x岁的总人口数
P(0)
P(1)
K=
Nt(0)
Nt(1)
I(t)=
… …
A
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记R=f1(1)=b0+P0b1+…+(P0…P k-1)b k 易见R即为女性一生所生女孩的平均值。
有 定理： 1 =1的充要条件为R=1
但并非每一个均能活到足够的年龄并生下R个女孩， 每一妇女可生子女数可定为某一略大于2的数， 称为临界生育率。据统计，中国妇女的临界生育 率为2.2左右。
第一年末女性人口总数: a(0)•Nt(0)+ a(1)•Nt(1)+ ••• +a(n)• Nt(n)+ (1- h(0) )•b(0)•Nt(0)+ ••• + (1- h(n-1) )• b(n-1)•Nt(n-1)
A
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建立模型:
a(0) a(1) a(2) • • • a(n)
b(0)
构造n+1阶方阵 L=
b(1) b(2)
•••
那么I (1)=(L-H)K ; I (t)=(L-H) I (t-1)
b(n-1)
I (t)= (L-H) tK
A
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定理：Leslie矩阵具有唯一的正特征根1，
与之对应的特征向量为
N=（ 1k/(P0P1…P k-1), 1k-1(P1…P k-1),…, 1/P k-1,1)T
A
1
A
2
关于建立人口增长模型,我们考虑了两条 主要思路:
一.以微分方程为主要手段:
二.以高等代数为主要手段:
A
3
提出问题:
我们首先考虑Malthus 模型： x(t)为人口总数，r为自然增长率； 于是可以得出：
x(t)=x0er(t-t0)
A
4
改进的模型
设地球能容纳的总人数为k，随着人口的增 长，出生率必然会下降，于是r与x存在 着一定的关系。基于上述假设，我们选 择一种简单的函数。
A
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n0
A属于1的特征向量N= .
. nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1) N= 1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
A
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当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定 且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于 一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的 存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数， 事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
r(x)=r0(1-x/k)
r0为特定的常数
解得：
x(t)=k/[1+(k/x0-1)e-r(t-t0)]
A
5
分析以上两个模型：
每个个体的出生率与死亡率是相同的。但实 际上不同年龄的年的生育率与死亡率有很大 的不同。
基于这种考虑，下面将建立一个人口按 年龄分布的模型
A
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义
r表示年龄，函数F（r,t)为t时刻年龄小于r的人口总数，称 其为人口分布函数
p/ r + p/ t=- µ(r,t)p(r,t) p(r,0)=p0(r) p(0,t)=f(t)
A
8
在社会比较安定的情况下,死亡 率大致与时间无关.
μ(r,t)=μ(r)
p(r,t)=
p (r-t)e r
0
(s)ds rt
0≤t≤r
f(t-r)e r 0 (s)ds
t>r
A
9
分析：
1.当t<r时，p(r,t)完全由年龄为r-t的人口的初始密度及 这些人的死亡率决定。 2.t>r 时，p(r,t)完全由未来的生育状况f(t-r)及死亡率决 定。
… …
H(t)=
h(0) h(1) …..
Nt(n)
A
h(n)
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数学表达:
第一年新生女婴的总数: a(0)•Nt(0)+ a(1)•Nt(1)+ ••• +a(n)• Nt(n)
第一年x岁女性人口总数: N1(x)=b(x-1)•Nt(x-1)- h(x-1)•b(x1)•Nt(x-1)=(1- h(x-1) )•b(x-1)•Nt(x-1)
… …
P(n)
Nt(n)
A
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数学表达:
第一年新生儿的总数: F(0)•P(0)+ F(1)•P(1)+ ••• +F(n)•P(n) 第一年x岁人口总数: N1(x)=S(x-1)•P(x-1)
第一年末人口总数:F(0)•P(0)+ F(1)•P(1)+ ••• +F(n)•P(n)+ S(0)•P(0)+ S(1)•P(1)+ ••• +S(n-1)•P(n-1)
令p(r,t)= F/ r
p(r,t)为年龄密度函数
则t时刻年龄处在[r,r+dr)的人口总数为p(r,t)dr
设µ(r,t)为t时刻年龄为r的人的死亡率，t时刻年龄在[r,r+dr) 单位时间死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)dr
A
7
分析：
下面考虑从t到t+dt这一过程的人口变化： 年龄处在[r,r+dr)到t+dt时刻活着的人的年龄变为 [r+dt,r+dr+dt)而这一时刻死亡的人数为µ(r,t)p(r,t)drdt 则p(r,t)dr-p(r+dt,t+dt)dr= µ(r,t)p(r,t)drdt
A
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定理：若Leslie矩阵A的第一行中至少有两个相
邻的bi>0则
|i|< |1|且N j/ 1j CN其中C为某一常数，由值bi， Pi及N0决定
本定理的条件通常能够得到满足，故在j充分大 时有N j=C 1j N，即各年龄组的人口比例总会趋 于稳定，且N j+1= 1N j。若1 >1，种群增大， 1 <1时，种群减小。