隐函数及参数方程求导
隐函数与参数式函数的求导法则
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
隐函数及参数方程求导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t ) . (t )
即
dy dt dx dx
dt
dt
12
例6 已知椭圆的参数方程为 处的切线方程.
x
y
a cos , bsin .
求椭圆在
3π 4
解
当
3π 4
时，椭圆上的相应点M
0的坐标是：(
a 2
ln
u( x)
v( x)u(x) ]
u( x)
方法2：利用复合函数求导法
变形为 f ( x) ev( x)lnu( x) ,然后用复合函数
求导法求导.
10
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x
y
(t) (t)
确定
y
与
x
间的函数关系，
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x y
2t , t2,
x 2 y dy 0， dy 9x ，k dy 3 .
8 9 dx
dx 16 y
dx x2
4
于是切线方程为 y 3 3 3 ( x 2)，
2
4
即 3x 4 y 8 3 0.
6
二、对数求导法
观察函数
y
x ( x 1) ( x 2)2( x 3)3
,
y
xsin x求导的方法？
上式两边对x求导得：
y 1 1 2 3 , y 2x x 1 x 2 x 3
y
(x
x( x 1) 2)2( x 3)3
1 ( 2x
1 x1
x
D3_4 隐函数、参数方程的求导
t , t 均可导， 且
t 0 时， 有：
(t ) 0
d y d y d t d y 1 t d t ; d x d t d x d t d x t d t dt
时， 有
F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I
y 若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y x 或 x x y
则称该隐函数可以被显化。
3 例如： 方程 x y 3 1 0 就确定了一个显函数 y x 1 ;
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？
解: 先求速度大小:
dx dy 速度的水平分量为： v1 , 垂直分量为： v2 gt , dt dt
故抛射体速度大小
dx dy v dt dt
再求速度方向 设 为切线倾角， 则
2
2
v v2 gt
dy
d y sin x d cos x y 0
y cos x sin x y
sin x y sin x
dx
y cos x sin x y dy 由此得： sin x y sin x dx
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说明:
1) 对幂指函数
y u
v
可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 u v y v ln u y u uv v y u v ln u u
注意:
dy dv v 1 du v u ln u vu dx dx dx
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
16
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 sec 2 1 tan 2 sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
10
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
18
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
高等数学隐函数求导
（隐函数的显化）
例1. 求由方程
CONTENTS
在 x = 0 处的导数
01
解: 方程两边对 x 求导
02
得
03
因 x = 0 时 y = 0 , 故
04
确定的隐函数
05
例2. 求椭圆
在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即
的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得
关系,
若上述参数方程中
二阶可导,
且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
,可得
例5
解
例6
解
所求切线方程为
?
例7. 设
, 且
求
已知
解:
练习:
解:
注意 :
对谁求导?
求
例8. 设由方程
确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故
1.隐函数求导法则
直接对方程两边求导
第二章
隐函数和参数方程求导
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
)
1
(ln
)
1
(ln
+
+
-
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数与参数方程的求导法教学
设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数, 而变量x与
y之间存在某种关系, 从而它们的变化率dx 与 dt
dy dt
之
间
也相关存变化在率一问
题:
定
关
系已, 知这其样中一两个变个化 率时，如何求出另
相
互
依
赖
的
变 化 率 称 为 相 关 变 化 率. 一个变化率?
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
01
定义:
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
02
隐函数的显化
F ( x, y) 0 y f ( x) 0 3
问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导?
04
隐函数求导法:
05
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
06
解出
例1 求由方程xy e x e y 0所确定的隐函数
等式两边取对数,得
例5
设
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求y.
解
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导, 得
1 y 1 1 2 1
y
x 1 3( x 1) x 4
y y[ 1 1 2 1] x 1 3( x 1) x 4
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
设方程 x3 y3 3xy确定了函数y y( x)
解 方程两边对 x 求所导求,切得线方3程x2为 3 y2 y 显然3通y过原3点xy.
y
隐函数及参数方程导数
注意到 y 是x的函数,
是x的复合函数,
复合函数求导法:
0
=
y
0
=
x
0
=
y
0
=
x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 例 解 法一 隐函数求导法. 法二 反函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例 解 切线方程 法线方程 通过原点.
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
解
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
或解
*
练习
证
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
两曲线在该点
切线斜率乘积为负 1 .
,
)
2
,
2
(
是两曲线的交点
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
解
练习
*
可确定显函数
例
开普勒方程
显式?
显化.
*
2. 隐函数求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到
将方程两边对 x 求导.
变量 y 是 x 的函数.
隐函数不易显化或不能显化，
如何求导
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
(2)
仰角增加率
(3)
,
1
tan
,
500
=
=
a
时
当
h
a
a
tan
1
sec
5.3隐函数与参数方程求导法则
3x + 4 y − 8 3 = 0
例3 求由方程 e
函数 y′( x ) 。
解 对方程
x + y − xy − e = 0 确定的隐函数 y = y ( x) 的导
e x + y − xy − e = 0
的两边关于 x 求导， 注意到 y 是 x 的函数，由复合函数的求导法则
(e x + y − xy − e)′ = (e x + y )( x + y )′ − ( xy )′
x = v1t 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 2 y = v2 t − 1 g t 2 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解 先求速度大小:
dx dy = v1 , 垂直分量为 = v2 − g t , 速度的水平分量为 dt dt
dx 2 d y 2 2 2 v = ( ) + ( ) = v + ( v − gt ) 故抛射体速度大小 1 2 dt dt
F ( x , y1 ) = F ( x , a 2 − x 2 ) ≡ 0
y2 = − a 2 − x 2 ∈ B = ( −∞, 0], F ( x , y2 ) = F ( x , − a 2 − x 2 ) ≡ 0
例如方程 e xy + x 2 y − 1 = 0 所决定的隐函数就无法将它化成显函 数 y = f ( x ) 形式。
由此解得
= e x + y (1 + y ′) − y − xy ′ = 0 ，
y′ =
ex+ y − x
y − ex+ y
例4
例5
a a b x 例如, y = ( x > 0, a > 0 , b > 0 , ≠ 1 ) b b x a
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
第二章 第4节 隐函数及参数方程求导
sec t sec t d 1 ( tan t ) ( tant ) 2 3 dx (a cos t ) 3a cos t sin t 3a sin t dt dt 16
2
4
例10
求曲线的对应 t 0点的切线方程。
2 x 3 t 2t 3 设 y 确 定y f ( x ), e sin t y 1 0
11
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
再设函数x (t ), y (t )都可导, 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
代入 x 0, y 1, y
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
6
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
x y
dy , 则dx =________.
3
25
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1 、 y 1 xe y ； 2 、 y tan( x y ) ； y 3 、 x y x ( x 0， y 0 ) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
e y cos t 1 y 1 e sin t 6t 2
隐函数及由参数方程所确定函数的导数
d2 y d x2
d dx
(dy) dx
d dt
(dy) dx
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t) 3 (t )
(t)
注意 : 已知
对谁求导?
?
例6
{ xt2 1
求曲线 yt t 3 在t =1处的切线方程
3.4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例5 设y ( x2 1)(3x 4)( x 1),求y
解： 将函数取自然对数得
ln y 1 ln( x 2 1) 1 ln( 3x 4) 1 ln( x 1)
2
2
2
两边对x求导得
1 y x 3 1 y x 2 1 2(3x 4) 2( x 1)
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例3 设y arctan( x 2 y),求 dy dx
解： 两边对x求导得
y
1
(1 2 y)
1 (x 2y)2
解出y, 得
y
1
(x 2y)2 1
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上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[ x
1
1
1 3( x
1)
x
2
1Leabharlann 2 cos 1.
2
导数与微分
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
导数与微分
思考题
求曲线 y 2x x3上与 x轴平行
的切线方程.
导数与微分
思考题解答
y 2 3x2 令 y 0 2 3x2 0
dy
即
dy dx
dt dx
dt
导数与微分
例5
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t
2
sin
y x2 y2 x
3 3 1.
(,) 22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
导数与微分
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
一、隐函数求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定函数导数
导数与微分
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
导数与微分
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy e x y dx x e y ,
由原方程知 x 0, y 0,
导数与微分
说明：对数求导法将幂指函数求导问题转 化成求乘积的导数，多个函数乘积的求导 转化成加减法求导，大大的简化了运算。
练习：P97 6
导数与微分
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
导数与微分
作业
P97 习题2-3 1(1)(2) 、2、3、5、7、8
导数与微分
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
导数与微分
例3 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
导数与微分
在方程
x y
(t )中, (t )
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
导数与微分
例 2 设曲线C的方程为x3 y3 3 xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
4
1]
导数与微分
例4 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x