第四章 2 Guass型求积公式与正交多项式

成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析

ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
为Gauss型求积公式。 解：先作变量代换 1 1 1 1 x (a b ) (b a )t (1 t ), dx dt 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 于是 f ( x )dx f ( (1 t ))dt F ( t )dt 0 1 2 1 2 2 1 由两点Gauss Legendre求积公式 F (t )dt F (0.577) F (0.577) 1 得 1 1 1 1 1 1 1 1 0 f ( x)dx 2 1 f ( 2 (1 t ))dt 2 f ( 2 (1 0.577)) 2 f ( 2 (1 0.577))
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
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利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
4 2 2 1 (1 x ) f ( x )dx 3 f ( 5 ) f ( 5 ) 数值分析
1 2
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常用的高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式
(1) 其中高斯点为Legendre多项式的零点

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ), Ak
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n ik
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。

1
1
x 1.5dx 2.399529
数值分析
一般区间的Gauss - Legendre 求积公式
如果积分区间是[a,b]，用线性变换 ba ab x t 2 2 将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积 分法有

b
a
ba 1 ba ab f ( x )dx f( t )dt 1 2 2 2
n1
1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n

1
1
f ( x )dx 2 f (0)

1
1
f ( x )dx f ( 0.5773502692) f (0.5773502692)
n2

1
1
f ( x )dx 0.555555556 f ( 0.7745966692)
k 0
不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对 于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的 代数精度为m.
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数值分析
定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
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数值分析
计算方法
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式
例：选择系数与节点，使求积公式（1）

1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
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0.888888889 f (0) 0.555555556 f (0.7745966692)
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例 : 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛普森求积 公式计算积分 x 1.5dx 1 解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是
2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(xxn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) P ( x ) P ( x )dx 0,(i j )

a
i
j
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有
将f ( x ) 1, x依 次 代 入 上 式 两 端 ， 其 令成 为 等 式 。

1
1 1
(1 x 2 )dx A0 A1
2
2 2 1 (1 x ) xdx A0 (4 5 ) A1 ( 5 ) 联立解出 A0 A1 3 得 到 两 点 高 斯 求 积 公为 式
解：首先在1， 1 上构造带权（ x） 1 x2的正交多项式
例 对于积分 （1 x 2）f ( x )dx, 试构造两点高斯求积公式.
1
1
0 ( x ), 1 ( x ), 2 ( x ). 0 ( x) 1 1 ( x ) ( x 1 ) 0 ( x ) x
1

1
1
x 1.5dx
0.555556( 0.725403 2.274596) 0.888889 1.5 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 1 x 1.5dx 3 ( 0.5 4 1.5 2.5) 2.395742
该积分的准确值
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k 0
n
的代数精度最高为2n+1次。 证明：取特殊情形 ( x ) 1, 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为
等式，得：
A0 + A1 + …… + An =∫a 1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。
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证毕.
数值分析
定义: 使求积公式

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
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一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
b n a
I ( f ) ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
定义：若求积公式

b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 对一切
......
b
x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫a xr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
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b
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如
上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,

b
a
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
数值分析
b
b
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由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 于n，故有


1. 以n 1次正交多项式的零点 x0 , x1 , xn作为积分点 (高斯点）， 2.用 高 斯 点 x0 , x1 , xn对f ( x )作Lagrange插 值 多 项 式
f ( x ) l i ( x ) f ( xi )
i 0 n
代入积分式

b
a
( x ) f ( x )dx ( x )( l i ( x ) f ( xi ))dx

1
1 1
(1 x 2 ) xdx
0
数值分析
以 2 ( x )的零点x0
2 5
, x1
2 5
作为高斯点。
两点高斯公式 n 1, 应 有3次 代 数 精 度 ， 求 积 公 形 式如

1
1
(1 x 2 ) f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
b a i 0 b ( x )l i ( x )dx f ( xi ) a i 0 n
n
因此，求积系数为
b a
Ai ( x )li ( x )dx
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(i 0,1,n)
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(1 x 2 )dx 1 2 2 同理求出 2 ( x) x 5 2 2 2 ( x )的零点为x0 , x1 5 5
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( x 0 ( x ), 0 ( x )) 1 ( 0 ( x ), 0 ( x ))
这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一 般区间的积分.
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例
对积分 f ( x )dx， 试利用n 1的两点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1和A0 , A1 使
第四节 高斯(Gauss)求积公式
前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。 我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。
b a
b
a
( x )r ( x )dx Ak r ( xk ) Ak f ( xk ) (4)
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx

b
a
( x ) P ( x ) Pn ( x )dx 0, n 1
4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。
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定理2 设x0,x1, …,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式
Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询.

1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
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n 0,