拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换
L[ f (t)] = F1(s) + e F1(s) + e
= F (s)[e 1
−sT
−sT
−2sT
F1(s) + ⋅ ⋅ ⋅
+e
−2sT
+e
−3sT
1 F (s) + ⋅ ⋅ ⋅] = −sT 1 1− e
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f(t)
1 L[ f (t)] = F (s) −sT 1 1− e
1 d L[cos ωt] = L (sin( ωt) ω dt s 1 ω = = s 2 − 0 2 2 2 ω s +ω s +ω
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(2) f (t) = δ( t)的象函数
解
1 L[ε (t )] = s dε (t) 1 L[δ (t)] = L[ ] = s − 0 =1 dt s
∞
1 1 1 = ⋅ = 2 s s s
2 s3
L[t ε (t)]= L[2∫ tdt] =
2
t 0
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4.延迟性质 4.延迟性质 若： L[ f (t)] = F(s)
则： L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = e F(s)
−st0
例1 求矩形脉冲的象函数
解
f (t) = ε (t) − ε (t − T )
二. 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 1.线性性质 若 L[ f1(t)] = F (s) , 1
则 L [A f1(t) + A2 f2 (t)] = A L [ f1(t)] + A2L[ f2 (t)] 1 1
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
拉普拉斯变换
1 d 例1：L[cos t ] L[ (sin t )] dt
[s 2 sint 2 s
1
0
s ] 2 s 2
1 d 例2：L[ ( t )] L[ ( t )] S ( t ) 0 1 S dt
三. 时域的积分性质
设：L[ f (t )] F ( s)
st L[ ( t )] 0 ( t ) e dt 0 (t )dt
0
=1
4.
f (t ) t
n
n
L[t ] t ne st dt 0
0
t n st de s
t n st e s
t 0 st lim t e
n
R u+ C -
uC (0 ) 0
1 sRCU ( s ) U ( s ) s 1 U ( s) s(1 sRC )
du RC u ( t ) dt
用初值定理和终值定理验证
1 1 u(0 ) lims lim 0 s s(1 sRC ) s (1 sRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 sRC )
e-t sint
2
s
2
( s )2 2
e-t cost
s ( s )2 2
cos t
s s2 2
§ 3 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数 (1)利用公式 f(t)=L-1[F(s)]
1 j st f (t ) F ( s ) e ds t 0 2j j
t 0 s
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )
拉普拉斯变换
A 1 1 2 j s j s j A 2 S 2
典型函数的拉氏变换
单位脉冲函数
f(t)=δ (t)
f(t)=1(t) f(t)=t f(t)=t2/2
F(s)=1 F(s)=1/s F(s)=1/s2 F(s)=1/s3
单位阶跃函数
单位斜坡函数
s1 0; s2,3 0.5 j0.866
展开式为:
s 1 c1 lim sF ( s) lim s 2 1 s 0 s 0 s( s s 1)
c1 c2 s c3 F ( s) 2 s s s 1
s 1 2 [ 2 ( s s 1)]s 0.5 j 0.866 [c2 s c3 ]s 0.5 j 0.866 s( s s 1)
d 2uo (t ) duo (t ) 例：已知某系统的微分方程 uo (t ) ui (t ) 2 dt dt
输入信号：ui(t)=1(t) 初始条件： uo(0)=0.1
du (t ) dt
t 0
0.1
解：设：Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)] 由拉氏变换的微分定理，得：
5s 3 的原函数 f (t） ( s 1)( s 2)( s 3)
c3 c1 c2 s 1 s 2 s 3
F(s)可展开为: F ( s ) 其中:
5s 3 5 (1) 3 c1 lim ( s 1) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) (1 2)(1 3) s -1 5s 3 5 (2) 3 c2 lim ( s 2) 7 ( s 1)(s 2)(s 3) (2 1)(2 3) s -2
拉普拉斯变换
2、单位阶跃函数
0 r (t ) 1
t 0 t0
拉普拉斯变换为
R( s) Lr (t ) r (t )e dt
st 0
0
1 1 e dt S
st
3、单位斜坡函数
0 r (t ) t
拉普拉斯变换为
t 0 t0
R( s) Lr (t ) r (t )e dt
0
n! t e dt n 1 s
n st
其余函数的拉氏变换查附录B
三、拉普拉斯变换的基本定律 1、 线性定律
设 F1 (s) L f1 (t ) F2 (s) L f 2 (t ) ，a、b为 常(t ) aF1 (s) bF2 (s)
st 0
0
1 t e dt 2 s
st
4、正弦函数
0 r (t ) sin t
拉普拉斯变换为
0
，式中为常数 t0
st st
t 0
R(s) Lr (t ) r (t )e dt sin t e dt
0
由欧拉公式：
1 jt jt sin t (e e ) 2j
待定系数Ki F (s)( s pi )s pi
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
…… ④
…… ⑤
2、 有重极点的情况 设F(s)只有r 个重极点而无其它单极点 Kr K r 1 K1 F ( s) …… ⑥ r r 1 ( s p0 ) ( s p0 ) s p0
此时r=n，Ki为待定系数，由下式确定：
拉普拉斯变换
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率——算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 三章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
s2
s
2
三、微分性质： 若某函数的象函数为： L[f(t)] = F(s)，则：
L[ df (t)] dt
s F(s)
f (0 )
例4、求 (t) d (t) 的象函数。
dt
解： L[ (t)] 1
s
例5、已知 ：L[sint]
L[
s2 2
(t
)
]
s
1 s
(0
)
，求 L[cosωt]
第十四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
拉普拉斯变换
1的拉氏变换为
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[ f (t a)(t a)] eapF( p)
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(2)在使用该性质时,不能忽视假设条件a 0和当t 0时,f (t)=0
否则会引起混乱.该性质表明,f (t a)的拉氏变换等于f (t)的拉氏变
换乘以因子eap .
例7 求£[(t a)],(a 0).
(t
)
注:(1)此处定义的函数 (t)是广泛意义下的函数,它不能用逐点
的对应来定义(讲清该函数涉及大纲外的内容[实变函数与泛函分
析]);
(2)上述极限也不是通常定义的极限,在通常意义下,
lim
0
(t
)是
不存在, 只有广泛意义下, 这个极限才有效.
显然,对任何 0,有
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第一个积分为零,对于第二个积分,令t a u,则
£[ f (t a)] f (u)e p(au)dt eap f (u)e pudu eap F ( p)
0
0
说明: (1)在这个性质中, f (t a)表示函数f (t)在时间上滞后a个
单位,所以这个性质也常称为延滞性性质.也常表示为
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
拉普拉斯变换的公式
拉普拉斯变换的公式拉普拉斯变换是数学中一个非常重要的工具，在工程、物理等领域有着广泛的应用。
它的公式看起来可能有点复杂，但别担心，咱们一步步来拆解。
咱先说说拉普拉斯变换的定义式：对于一个时间函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换 F(s) 定义为：F(s) = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt这里的 s 是一个复变量，一般写成s = σ + jω 。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，那场面可有意思啦。
有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这一堆符号看着就头疼，到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“就好比你们要去一个很远的地方，拉普拉斯变换就是给你们的交通工具，能让你们更轻松地到达目的地。
”咱们来仔细瞧瞧这个公式里的每个部分。
e^(-st) 这一项，就像是一个筛选器，它能把不同频率的信号区分开来。
而积分呢，则是把所有时刻的信号都综合起来考虑。
再来说说一些常见函数的拉普拉斯变换公式。
比如单位阶跃函数u(t) ，它的拉普拉斯变换是 1/s 。
单位脉冲函数δ(t) ，其拉普拉斯变换是 1 。
有一次在课堂上做练习题，有个同学把单位脉冲函数的拉普拉斯变换给记错了，结果整个计算都错得离谱。
我就指着他的作业本说：“你这可记错啦，单位脉冲函数就像一颗瞬间爆发的小炸弹，它的能量在瞬间释放，所以拉普拉斯变换才是 1 哟。
”同学们听了都哈哈大笑，那个同学也不好意思地挠挠头，记住了这个知识点。
拉普拉斯变换还有很多性质，比如线性性质、微分性质、积分性质等等。
这些性质能让我们在求解复杂问题时更加得心应手。
就拿线性性质来说吧，假设 f1(t) 和 f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和 F2(s) ，那么对于任意常数 a 和 b ，a*f1(t) + b*f2(t) 的拉普拉斯变换就是 a*F1(s) + b*F2(s) 。
在实际应用中，拉普拉斯变换可以帮助我们求解微分方程。
比如说电路分析中，通过对电路中的元件建立数学模型，然后进行拉普拉斯变换，就能把微分方程转化为代数方程，大大简化了计算。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
它可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。
本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、定义拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表示时间，s 表示复频率。
拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt其中，e 是自然常数，s 是复变量。
拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。
二、性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。
拉普拉斯变换可以线性叠加。
2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。
该性质对于求解微分方程非常有用。
3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。
这个性质也对求解微分方程十分重要。
除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。
三、应用举例拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。
下面举例几个常见的应用场景：1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转换为频域信号，从而方便我们对信号的频域特性进行分析。
例如，在音频处理中，拉普拉斯变换能够帮助我们对音频信号的频谱进行分析，实现去噪、音频增强等功能。
2. 控制系统：拉普拉斯变换可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和性能。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式对于一个定义在t≥0的实函数f(t)，如果存在一阶导数和一个充分快速下降函数g(t)，使得积分F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt存在，那么我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，其中s是一个复变量。
根据定义，拉普拉斯变换公式可以写成如下形式：L{αf(t)+βg(t)}=αF(s)+βG(s)其中α和β是任意常数，而F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
1.线性性质：L{αf(t)+βg(t)}=αF(s)+βG(s)2. 平移性质：L{f(t-a)} = e^(-as)F(s)3.尺度变换：L{f(αt)}=F(s/α)，其中α是一个正常数4. 导数性质：L{d^n/dt^n[f(t)]} = s^nF(s) - s^(n-1)f(0) -s^(n-2)f'(0) - ... - f^(n-1)(0)，其中f^(n)(t)是f(t)的n阶导数除此之外，还有拉普拉斯变换中的一些常见函数的变换公式：1.常数函数：L{1}=1/s2.t的幂函数：L{t^n}=n!/s^(n+1)，其中n是一个非负整数3. e^(-at)：L{e^(-at)} = 1 / (s+a)4. sin(bt)和cos(bt)：L{sin(bt)} = b / (s^2 + b^2)拉普拉斯变换在信号和系统分析中有广泛的应用。
通过拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
它还可以帮助我们分析系统的稳定性、响应和频率特性。
拉普拉斯变换在控制系统、通信系统、信号处理等领域都有重要的应用。
f(t) = L^{-1}{F(s)} = 1/2πj∫[-j∞,+j∞]e^(st)F(s)ds其中F(s)是一个复变量函数，j是虚数单位。
逆变换的求解通常需要使用复数积分或留数定理等数学工具。
总之，拉普拉斯变换是信号和系统分析中一种重要的数学工具。
高数拉普拉斯变换
3
3
s
所以
L[u(3t 5)]
L[u(t 5)]
1
e
5 3
s
.
3s
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18
➢ 五、周期函数的拉氏变换
设 f (t),t 0 是[0, )内以T为周期的周期函数，且f (t)在一个周期内
逐段光滑，则
L[
f
(t)]
1 1 esT
T f (t)estdt.
0
证明：由定义有
L[ f (t)] f (t)estdt T f (t)estdt f (t)estdt
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4
•
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1 的拉氏变换.
t t
0，符号函数 sgn 0
t
1,
0,
1,
t0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt
0
1 est s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
0
0
T
第二个积分作变换t1 t T，且利用函数f (t)的周期性，有
L[ f (t)]
T f (t)estdt
0
0
f
(t1)est1esT dt1
T f (t)estdt esT L[ f (t)] 0
于是，L[ f (t)] 1 T f (t)estdt. 1 esT 0
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t
0 f1( ) f2 (t )d .
称
t 0
f1( )
f2 (t
)d为函数f1(t),
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换公式总结拉普拉斯变换是一种傅里叶变换的扩展，广泛应用于信号处理和控制系统的分析。
它将时间域中的函数转换到复平面的变换域中，可以有效地处理复杂的微分和积分方程。
拉普拉斯变换有许多重要的性质和公式，下面将对其中的一些进行总结。
1.拉普拉斯变换定义F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，t为时间，e为自然常数。
2.拉普拉斯变换的收敛条件要使拉普拉斯变换存在，函数f(t)必须满足一定的收敛条件。
常见的收敛条件为：函数f(t)是因果（即f(t)在t<0时为零）和指数增长边界条件（即函数f(t)e^(-αt)在t趋于正无穷时有界）。
3.常见的拉普拉斯变换公式3.1常函数的拉普拉斯变换：L[1]=1/s3.2单位阶跃函数的拉普拉斯变换：L[u(t)]=1/s3.3单位冲激函数的拉普拉斯变换：L[δ(t)]=13.4指数函数的拉普拉斯变换：L[e^(at)] = 1/(s-a)，其中a为常数3.5高斯函数的拉普拉斯变换：L[e^(-at^2)] = sqrt(π/a) × e^(s^2/4a)3.6正弦和余弦函数的拉普拉斯变换：L[sin(at)] = a/(s^2+a^2)L[cos(at)] = s/(s^2+a^2)3.7常见微分和积分公式的拉普拉斯变换：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)4.拉普拉斯反变换公式f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/(2πj) × ∫[-j∞,j∞] e^(st)F(s) ds5.拉普拉斯变换的性质5.1线性性：L[af(t) + bg(t)] = aF(s) + bG(s)，其中a、b为常数5.2微分性：L[df(t)/dt] = sF(s) - f(0)5.3积分性：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/s×F(s)5.4积分定理：∫[0,∞) f(t) dt = F(0+)5.5初值定理：lim(s→∞) sF(s) = f(0+)5.6终值定理：lim(t→0+) f(t) = lim(s→0) sF(s)6.拉普拉斯变换在信号处理中的应用拉普拉斯变换在信号处理领域有广泛的应用。
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拉普拉斯变换(知识准备)
一、拉普拉斯变换定义 设f(t)是时间t的函数 t<0 f(t)=0 则
称为函数f(t)的拉普拉斯变换 说明： （1）s是复数 s j （2）L为积分运算符，表示对函数f(t)做积分变换 （3）F（S）为f(t)的拉普拉斯变换 （4）积分运算是单边积分 当t<0时 f(t)=0 (5) F(S)存在的条件：函数f(t)增大是指数级的
2
L[ f (t )] s F ( S )
n n
【定理3】（积分定理）设f(t)可作拉氏变换，且为F(s)， 则：
F ( s ) [ f (t )dt ]t 0 L[ f (t )dt ] s s L[ [ f (t )dt ]t 0 [ f (t )(dt ) 2 ]t 0 F (s) 2 f (t )(dt ) ] 2 2 s s s
(s a)2 2 sa (s a)2 2
五、拉氏反变换的定义
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s)e ds j 2 j
1
j
S平面
六、用部分分式展开法求拉氏反变换
B( s) b0 s b1s bm 1s bm F ( s) n n 1 A( s) s a1s an 1s an
L f1(t ) f 2 (t ) L f 2 (t ) f1(t ) F1(s) F2 (s)
【定理11】 (单边周期函数)设f(t)是周期为T的函 数,即对于任意整数n有:
f (t ) f (t nT )
1 1 e sT
则周期函数f(t)的拉氏变换为:
F (s)
【例2】求单位斜坡函数的拉氏变换
0 f (t ) t
F ( S ) L[ f (t )]
t0 t0
st st e st
0 te
st
dt t
e
s
0
0
s
dt
1 s
(
0
e
dt
b a
1 s
2
a
b
udv uv
a
b
vdu)
【例3】求正弦函数的拉氏变换
四、常用拉氏变换对
f (t ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F (s) 1 1 s 1 s2 1 s n 1 1 sa s2
(t )
u (t ) t 1 n t n! e at sin t c ost e a t sin t e a t c ost
2
s
s2 2
st0
L[理有
s
L[e
at
sin t ] F ( s a )
f (t )
( s a)
2 2
2、由拉氏变换求函数初值
【例6】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求初值f(0) 【解】由初值定理可得：
1 L[ f (t )] sa
2 1 1 F ( s) s 1 s 2 s 3
则F(s)的拉氏反变换为
f (t ) 2e
t
e
2t
e
3t
t0
【定理2】当方程A（S）=0有n重实数根时有
B( s) B( s) F (s) A( s ) ( s p ) n k1 k2 kn n n 1 s p ( s p) ( s p)
【定理8】 （初值定理）若f(t)和它的一阶导数可作拉 氏变换,且sF(s)在s趋于无穷时极限存在，则：
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
s
【定理9】 （终值定理）若f(t)和它的一阶导数可作拉 氏变换,且sF(s)在s趋于零时极限存在，则：
t
参考输 入信号 r
偏差信 号e
控制量 u
扰动 n
控制环节 GC 比较 环节 反馈信号 b 反馈环节
被控对象
GO
H
输出信号 C
自动控制理论的发展概况
1 经典控制理论
– – – – 40~50年代形成 SISO系统 基于：二战军工技术 目标：反馈控制系统的镇定 基本方法：传递函数，频率法，PID调节器
拉普拉斯变换
主要内容 1、自动控制系统中的术语和定义
2、自动控制理论的发展概况
3、拉普拉斯变换
4、拉普拉斯反变换
自动控制系统中的术语和定义 反馈控制系统的基本组成
反馈控制系统结构框图
① 测量元件：测量被控量的实际值或对被控量进行物 理转换。 ② 比较元件：将测量值和给定值进行比较，得到偏差。
③ 控制元件： 根据偏差大小产生控制信号。通常包括 放大器和校正装置，控制信号和偏差信号具有一定 关系(称为调节规律)。 ④ 执行元件：由控制信号产生控制作用，从而使被控 制量达到要求值。阀、电动机、液压马达等。 ⑤ 被控对象：被控制的机器、设备或过程等。
函数f(t)增大是指数级的含义:
存在常数
M 0
ct
C0
使得
f (t ) Me
【例1】
0t
求单位阶跃函数的拉氏变换
0 f (t ) 1
【解】 根据定义有
t0 t0
F ( S ) L[u (t )] e
0
st
1 st dt e S
0
1 s
s 1 f ( 0 ) lim sF ( S ) lim s s s a
3、由拉氏变换求函数终值
【例7】若已知函数f(t)的拉氏变换如下，求终值f(∞)
【解】由终值定理可得：
1 L[ f (t )] sa
s 0 f ( ) lim sF ( S ) lim s 0 s 0 s a
1 jt (e e jt )e st dt 2j
1 2j
0
e
( s j ) t
dt
0
e
( s j ) t
1 1 1 dt 2 2 2 j s j s j s
【例4】求指数函数的拉氏变换
L[af1(t ) bf 2 (t )] aF1( s) bF2 (s)
说明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏 变换的线性组合。
L[ af1 (t ) bf 2 (t )]
0 [af1(t ) bf2 (t )]e dt st st a 0 f1(t )e dt b 0 f 2 (t )e dt
k1 k2 k3 F ( s) s 1 s 2 s 3
3s 7 k1 ( s 1) F ( s) s 1 ( s 1) 2 ( s 1)(s 2)(s 3) s 1 3s 7 k2 ( s 2) F ( s) s 2 ( s 2) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) s 2 3s 7 k3 ( s 3) F ( s) s 3 ( s 3) 1 ( s 1)(s 2)(s 3) s 3
st
aF1 ( s ) bF2 ( s )
【定理2】（微分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s),其 一阶导数可作拉氏变换，则
二阶： n阶：
L[ f (t )] sF (s) f (0) 2
( n)
L[ f (t )] s F ( s) sf (0) f (0)
0
T
f (t )e
st
dt
三、变换定理的应用
1、简化求拉氏变换的过程
【例5】求下列函数的拉氏变换
(1)
0 f (t ) u (t t0 ) 1
t t0 t t0
st0
(2) f (t ) e at sin t 【解】（1）根据时间平移定理有
L[u (t t0 )] e
0 f (t ) at Ae
t0 t0
at st
F ( S ) L[ f (t )]
A
0
[ Ae
]e
dt
0
e
( s a )t
A dt sa
二、拉氏变换定理
【定理1】（线性变换定理）若函数f1(t)和f2(t)都可 作拉氏变换，且其拉氏变换分别为F1(s)和F2(s)，a 和b是任意常数，则有
L[ f (t t0 )u (t t0 )] e
st0
F ( s)
说明：时间域函数偏移或延迟t0的拉氏变换，为非偏 移函数的拉氏变换乘以一个指数项，该指数项称为偏 移或延迟算子。 【定理5】 （复频率平移定理）若f(t)的拉氏变换是 F(s),a是任意常数，则
L[e
at
f (t )] F ( s a)
【定理6】 （复数微分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s), 则
d L[t f (t )] F (s) ds
f (t )] ( 1)
n
推广：
L[t
n
d
n n
F (s)
ds
【定理7】 （复数积分定理）若f(t)的拉氏变换是F(s), 则 f (t )
L[
t
]
s
F ( s ) ds
ki ( s pi ) F ( s)
s pi
i 1, 2 ,n
则F(s)的拉氏反变换为
p t f (t ) k1e 1
p t k2e 2
kn
p t e n
t 0
【例8】用部分分式展开法求下列函数的拉氏反变换 3s 7 F (s) 3 s 6 s 2 11s 6 【解】 3s 7 3s 7 F (s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 1)(s 2)(s 3)