高二数学二维形式的柯西不等式PPT教学课件
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二维形式的柯西不等式优秀课件
a 2 b2 c2 d 2 ac bd a 2 b2 c2 d 2 ac | | bd
讨论完成（二）
函数y x 5 2 6 x的最大值是 __5_
解析︱ x－5＋2 6－x︱= x－5＋2 6－x≤ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22 ＝ 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝256时等号成立．
解：∵︱2x＋y︱＝︱ 2× 2x＋1×y︱≤ （ 2）2＋12× （ 2x）2＋y2＝ 3× 2x2＋y2＝ 3.
— 3≤2x＋y≤ 3
∴当且仅当 x＝y＝ 33时 2x＋y 的最大值为 3.
变式：已知2x y 1,求2x2 y2的最小值
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
(a b) (c d) ( ac bd )（2 a,b,c, d为非负实数）
（3）．已知 x，y∈R＋，且 xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为(
)
A．4
B．2
解 C．析1：.1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝D4．，14当且仅当 x=y=1 时取等号，
故选 A.
例1、已知2x2 y2 1,求2x y的最大值
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
探究点一
利用柯西不等式求最值
讨论完成(一)
(1)若a2 b2 1.x2 y2 1,则ax by的最小值为 _____
最大值为 ____
解：∵ a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得 1≥(ax＋by)2，
柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究
中的一个非常重要的不等式。柯西不等式有二维 形式、三维形式等，一般形式是n维形式，它们 分别对应不同维数的向量不等式，本质上是一致 的。
讨论完成（二）
函数y x 5 2 6 x的最大值是 __5_
解析︱ x－5＋2 6－x︱= x－5＋2 6－x≤ （ x－5）2＋（ 6－x）2· 12＋22 ＝ 5，当且仅当 6－x＝2 x－5，即 x＝256时等号成立．
解：∵︱2x＋y︱＝︱ 2× 2x＋1×y︱≤ （ 2）2＋12× （ 2x）2＋y2＝ 3× 2x2＋y2＝ 3.
— 3≤2x＋y≤ 3
∴当且仅当 x＝y＝ 33时 2x＋y 的最大值为 3.
变式：已知2x y 1,求2x2 y2的最小值
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
(a b) (c d) ( ac bd )（2 a,b,c, d为非负实数）
（3）．已知 x，y∈R＋，且 xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为(
)
A．4
B．2
解 C．析1：.1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝D4．，14当且仅当 x=y=1 时取等号，
故选 A.
例1、已知2x2 y2 1,求2x y的最大值
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
探究点一
利用柯西不等式求最值
讨论完成(一)
(1)若a2 b2 1.x2 y2 1,则ax by的最小值为 _____
最大值为 ____
解：∵ a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得 1≥(ax＋by)2，
柯西不等式是数学分析和数学物理方程研究
中的一个非常重要的不等式。柯西不等式有二维 形式、三维形式等，一般形式是n维形式，它们 分别对应不同维数的向量不等式，本质上是一致 的。
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
(3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
2 2 2 2
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2
2
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
二维形式的柯西不等式 课件
[思维启迪] 利用柯西不等式的关键是找出相应的两组 数，对柯西不等式的原型，两组数可取为
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
a1b1， a2b2； ab11， ab22.
证明 ∵(a1b1＋a2b2)ba11＋ab22
＝[( a1b1)2＋( a2b2)2]
ab112＋
ba222≥
a1b1·
ba11＋
a2b2·
ab222＝(a1＋a2)2.
提示
∵cos〈α，β〉＝|αα|·|ββ|＝
a1b1＋a2b2 a12＋a22 b21＋b22
∴cos2〈α，β〉＝a21a＋1ba122＋ba212＋b2b222≤1，
即(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，
a21＋a22· b21＋b22≥|a1b1＋a2b2|.
∴|α||β|≥|α·β|，等号成立的充要条件为 α＝λβ (λ≠0)．
二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1) 定 义 ： 若 a ， b ， c ， d 都 是 实 数 ， 则 (a2＋ b2)(c2＋ 形式的柯西不等式的一些变式 变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等 号成立) 变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当 且仅当 ad＝bc 时，等号成立) 变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时， 等号成立)
∴原不等式得证．
题型二 利用柯西不等式求函数的最值 【例 3】 求函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值．
[思维启迪] 变形 → 构造柯西不等式的形式 → 巧拆常数 → 凑出定值 解 函数的定义域为{x|1≤x≤5}． y＝5 x－1＋ 2 5－x≤ 52＋2 x－1＋5－x ＝ 27×2＝6 3， 当且仅当 5 5－x＝ 2 x－1， 即 x＝12277时取等号，故函数的最大值为 6 3.
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
证 | | | || |co s | | | || co s | | | | | | |, 即 | | | | | |
2
2
(x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
2
2
作业 补充:
1.求 函 数 y 2 1 x 2 x 1的 最 大 值 .
2.已 知 x , y , z R , 且 x y z 8, x y z
2 2 2
24, 求 证 : 4 3 y 4,
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为 平 面 上 的 两 个 向 量 ,则 | | | || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2
小结:
(1 ) 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 ( a b )( c d ) ( a c b d )
2 2 2 2 2
(a , b, c , d R )
当 且 仅 当 a d b c时 , 等 号 成 立 .
(2) a
2
b
2
c
2
d
2
ac bd
(3) a b
2
2
(4 ) 柯 西 不 等 式 的 向 量 形 式 .
c d
2
2
ac bd
二维形式的柯西不等式课件
立,两边平方,得 9(1+sin2x)=16(1-sin2x).
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2
+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+
2
2
1
2
+
1
2
1
2
1
1
= ,且 2 + 2 =1,即
≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2
+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+
2
2
1
2
+
1
2
1
2
1
1
= ,且 2 + 2 =1,即
≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
Hale Waihona Puke 例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
2 2 2 2 2
2
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 例4 设 , , 为平面上的向量, 则
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2
向量形式：
设 (a, b), (c, d ) 2 2 2 2 则 | | a b , | | c d ac bd 柯西不等式可化为: | | | || |
2 2
等号当且仅当 - 与 - 同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 (a , b, c , d R ) 当且仅当ad bc时,等号成立.
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
2 2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a b )(c d ) (ac bd ) (a, b, c, d R)
2 2 2 2 2
当且仅当ad bc时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
( 3) a b c d ac bd (4)柯西不等式的向量形式 . (5)二维形式的三角形不等式
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || | 其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式: 你能证 明吗？
(1) a b c d ac bd
2 2 2 2
( 2) a b c d ac bd
例3 设a , b, c , d R, 证明 : a b c d (a c ) (b d )
2 2 2 2 2 2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b c d (a c ) (b d )
二维形式的柯西不等式大全(课堂PPT)
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
时,等号成立.
ur
ur
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
ur ur
cos ,
x1 x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
定理 1(二维形式的柯西不等式)
若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
8
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1, y1, x2, y2 都是实数,则(x12 y12)(x22 y22)≥(x1x2 y1 y2)2 .
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
11
反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算.
12
例1 已 知 a,b为 实,证 数明 本例说明 , 在证明
a4b4
a2b2
a3b3
2
.
不等式时
, 联系经
分析 虽然 可以作乘 法展
典不等式
, 既可以
开上式的两边 ,然而再比较 它们 ,但是如果 注意到这个 不等式的 形式与柯西不等
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 .
ab
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
思考解答
变形
• 定理1:(二维二形式维的形柯式西的不等柯式西) 不等式
二维形式的柯西不等式-PPT课件
(2)推论：对于任意的 x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x22＋y1－y22. 事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1、P2、P3 的坐标 分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3 的边长关系 有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点 P1、P2、P3 共线，并 且点 P1、P2 在 P3 点的异侧时，等号成立．
3．设 a，b，c 为正数，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)． 证明：由柯西不等式：
a2＋b2· 12＋12≥a＋b，
Байду номын сангаас
即 2· a2＋b2≥a＋b.
同理： 2· b2＋c2≥b＋c，
2· a2＋c2≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
2
a2＋b2＋
∴ a2＋b2＋
2．已知 a1，a2，b1，b2 为正实数． 求证：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ab22)≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)(ab11＋ba22)＝[( a1b1)2＋( a2b2)2][( ba11)2 ＋( ab22)2]≥ ( a1b1· ab11＋ a2b2· ab22)2＝(a1＋a2)2.
6．求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值及此时 x 的值．
解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得 ( x－6＋ 12－x)2≤(12＋12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x －6＋12－x)＝12， 即 x－6＋ 12－x≤2 3. 故当 x－6＝ 12－x时 即 x＝9 时函数 f(x)取得最大值 2 3.
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
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1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1 证明：由柯西不等式得 (ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1， ∴|ax＋by|≤1.
[例2] 求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值． [思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值． [解] 由柯西不等式得 (3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2)＝25 ∴3sin α＋4cos α≤5. 当且仅当sin3 α＝cos α>0 即 sin α＝35，cos α＝45时取等 号，即函数的最大值为 5.
4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值． 解：2x＋y＝ 2× 2x＋1×y≤ 22＋12× 2x2＋y2＝ 3× 2x2＋y2＝ 3. 当且仅当 x＝y＝ 33时取等号． ∴2x＋y 的最大值为 3.
5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 解：∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4 ∴4x2＋9y2≥12. 当且仅当 2×2x＝3y×2，即 2x＝3y 时等号成立． 又 2x＋3y＝1，得 x＝14，y＝16， 故当 x＝14，y＝16时，4x2＋9y2 的最小值为12.
[例 1] 设mx22＋ny22＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2. [思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式， 然后用柯西不等式证明． [证明] ∵mx22＋ny22＝1， ∴x2＋y2＝(x2＋y2)(mx22＋ny22)≥(x·mx ＋y·ny)2 ＝(m＋n)2.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条 件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而 利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等 式求解的先决条件；
②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但 只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯 西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才 能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立 的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多 次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
1．二维形式的柯西不等式 (1)定理 1：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 ，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． (2)二维形式的柯西不等式的推论： (a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2 (a，b，c，d 为非负实数)；
a2＋b2·c2＋d2≥ |ac＋bd| (a，b，c，d∈R)； a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd| (a，b，c，d∈R)．
2．柯西不等式的向量形式 定理2：设α，β是两个向量，则 |α·β|≤|α|·|β| ，当且仅 当β是 零向，量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． [注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝” 的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ. 3．二维形式的三角不等式 (1)定理 3： x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22 (x1，y1，x2，y2∈R)． 当且仅当三点 P1、P2 与 O 共线，并且 P1、P2 点在原 点 O 异侧时，等号成立．