浙教版初中数学九年级上册 3.3圆心角(1)课件
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34圆心角(1)浙教版精品PPT课件
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DA
AB=BC=CD=DA (圆心角定理 )
我们把顶点在圆心的周角等分成360 份, 则每一份的圆心角是1º. 因为在同圆或 等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所 以整个圆也被等分成360份. 我们把每一份 这样的弧叫做1º的弧.
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系 如图：∠AOB=∠COD A
所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等.
例1 求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两
条弦的弦心距相等. A
已知：如右图，在圆O中，∠AOB= ∠COD, OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距.
圆心角课件(浙教版)
新知探究
➢在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
D
B
●O
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件:③AB=A′B′ 可推出
●O′
┏
A′ D′ B′
① ∠AOB=∠A′O′B′
② ⌒AB=A⌒′B′
④ OD=O′D′
BE
M
P
.O
ND F
BE
.M
CP
O
AN DF
例4、已知：如图, △ABC为等边三角形，以AB为直径
的圆O分别交AC,BC于点D,E. 求证：AD DE EB
解: 连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60° ∵OA=OD ∴△AOD为等边三角形 ∴∠AOD=60° 同理∠BOE=60° ∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE
C D
O
又∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
B A
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30c ∴AO=BO=15cm m ∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2 （m2） ∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
2、如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝ ∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
⌒⌒
（3）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD ，AB=CD ，OE=OF；
（4）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD，OE=OF ，A⌒B=C⌒D .
下面的说法正确吗?为什么?
浙教版数学九年级上册3.4圆心角(共16张PPT)
求证：AB=CD.
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD. BE
. A M O
C ND F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现
四个量：
弧
圆心角
弦 弦心距
也就是在图2 中研究不同的圆
心角 AOB 、AOB ，以及它们 所对的弧 AB 、AB , 弦AB 、AB , 弦的弦心距 OM、OM 之间的关
系。
猜 想：
图2
1. 若AOB AOB,则AB ? AB， AB ? AB , OM ?OM .
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
2 .若AOB AOB ,情况又如?何
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗? 为什么?
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD. BE
. A M O
C ND F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现
四个量：
弧
圆心角
弦 弦心距
也就是在图2 中研究不同的圆
心角 AOB 、AOB ，以及它们 所对的弧 AB 、AB , 弦AB 、AB , 弦的弦心距 OM、OM 之间的关
系。
猜 想：
图2
1. 若AOB AOB,则AB ? AB， AB ? AB , OM ?OM .
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
2 .若AOB AOB ,情况又如?何
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗? 为什么?
九年级数学上册第三章圆的基本性质3.4圆心角①课件新版浙教版
3.4 圆心角①
教学目标：
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程.
2.理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）.
3.体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法.
重难点：
●本节教学的重点是圆心角定理.
●根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转，是本节教学 的难点.
问题：度数相等的弧相等吗?长度相等的弧相等吗?
注意：弧既有度数又有长度!
如图，在⊙O 中，∠AOB＝135°.求 ，»A B 的度¼ A 数C B .
»A B =135° ¼ A C B =225°.
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一 个圆上任意取一段90°的弧.这两段弧的度数 相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
2.已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2.求证： AC＝BD.
• 证明: • ∵ ∠1＝∠2， • ∴ ∠1+∠BOC=∠BOC+∠2， • 即 ∠AOC=∠BOD. • ∴ AC=BD • （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等).
（第2题）
B» C ¼A D
B» C 的度数为50° ¼A D 的度数为130°.
∵ OE⊥AB，
AEBE1AB（根据是什么 . ？）
2
同理 O ， F D， C 由 D 得 F C F 1C.D
图3-29
2
∴ AE=DF. 又∵ OA=OD,
∴ Rt△AOE≌Rt△DOF,
∴ OE=OF.
1.已知：如图，∠1＝∠2. 求证： ¼A C＝ B» D.
•证明： ∵∠1＝∠2，
•度数相等，但不能说这两段弧相等，因为 这两段弧不能重合.
教学目标：
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程.
2.理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）.
3.体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法.
重难点：
●本节教学的重点是圆心角定理.
●根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转，是本节教学 的难点.
问题：度数相等的弧相等吗?长度相等的弧相等吗?
注意：弧既有度数又有长度!
如图，在⊙O 中，∠AOB＝135°.求 ，»A B 的度¼ A 数C B .
»A B =135° ¼ A C B =225°.
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一 个圆上任意取一段90°的弧.这两段弧的度数 相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
2.已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2.求证： AC＝BD.
• 证明: • ∵ ∠1＝∠2， • ∴ ∠1+∠BOC=∠BOC+∠2， • 即 ∠AOC=∠BOD. • ∴ AC=BD • （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等).
（第2题）
B» C ¼A D
B» C 的度数为50° ¼A D 的度数为130°.
∵ OE⊥AB，
AEBE1AB（根据是什么 . ？）
2
同理 O ， F D， C 由 D 得 F C F 1C.D
图3-29
2
∴ AE=DF. 又∵ OA=OD,
∴ Rt△AOE≌Rt△DOF,
∴ OE=OF.
1.已知：如图，∠1＝∠2. 求证： ¼A C＝ B» D.
•证明： ∵∠1＝∠2，
•度数相等，但不能说这两段弧相等，因为 这两段弧不能重合.
数学浙教版九年级上3.3《圆心角》课件(1)
B
E
F
综合题
1.基本概念：圆心角的概念
2.基本性质：①圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性 ②圆心角定理 ③ 弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
3.基本方法： ①在运用圆心角定理时，首先要考虑定理的前提。 ②在求一些弧的度数时，往往先考虑求出这段弧所对的圆 心角的度数 ③在同圆或等圆中，要说明两段弧或两段弦相等时，往往 先考虑求出这段弧所对的圆心角相等
600
题组二(算一算)
２.如图,在⊙O中,AB为直径， ∠BAC=400,则 BC的
度数为___80_0，
_A
_C
AC的度数为__1_00_0
_O
_B
题组二(算一算)
３. 如图：⊙Ｏ的直径AB垂直 于弦CD,AB与CD相交 A
于点E，
∠COD＝1000，
O
求 BC, AD的度数.
C
D E
B
学习手记2：
A B
o C
D
下面请我们大家以同桌为一 合作学习小组，动脑设计一 个实验：探索两个相等的圆 心角所对的两段弧 、弦有 什么关系？
下面我们一起来观察一下在两个等圆中，圆心角与它所 对的弦、弧有什么关系？
A(C) B(D)
o O1
下面请我们动脑设计一个实验：在同一个圆中，探索两个相等的 圆心角所对的两段弧 、弦有什么关系？
o
C
D
圆心角定理：在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也
A 相等。
B
∵∠AOB=∠COD,
o
∴ AB=CD， AB=CD
C
D
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
3.4圆心角课件浙教版九年级数学上册
知识点3 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
（2）在同圆பைடு நூலகம்等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，度数也相等（即弯曲程度相同）.
B
知识点4 圆心角、弦、弧、弦心距的关系重点
内容
图示
数学语言
圆心角、弦、弧、弦心距的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
.
敲黑板
（2）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等，推导思想是：如图，
弦所对的弧有两条，这里的弧相等是指优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等
知识点1 圆的旋转不变性
知识点2 圆心角定理重点
2.圆心角定理及其推论如下表：
内容
图示
数学语言
圆心角定理及其推论
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
在 中， ， , .
推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
在 中， ， , ， .
第3章 圆的基本性质
圆心角
学习目标
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程，体会利用旋转来研究圆的性质.
2.理解圆心角的概念，掌握圆心角定理.
3.掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弦、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，就可以推出它们所对应的其余各对量都相等.4.会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决简单的几何问题.
3.4 圆心角 课件（1）2021-2022学年浙教版九年级数学上册
已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、
CD的弦心距.
（1）∵ A⌒B=C⌒D
∴ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=.OF
(2) ∵ OE＝OF ∴ ∠AOB=∠COD AB=CD
A⌒B=C⌒.D
(3) ∵ AB＝CD ∴ ∠AOB=∠COD
⌒⌒ OE=OF AB=.CD
A
C
E
所对的 弦相等
所对的弦心距 相等
2.证明两条弦，弧，两个圆心角相等的常用方法
已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦 心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？
AC
E •O
F D
B
A B
o C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
M
N
则有
⌒⌒
BD=CE
？
联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证
⌒ BD=
⌒ CE
，
只需证OM=ON
4. 如图，已知点O是∠BAC 的平分线上一点，求证：
AB=AC
N
作OM AB , ON AC, M
垂足为M，N
5.如图，已知点O是∠BAC 的平分线上一点 A点在圆内，EB=CD 吗？
Ａ
为_1_2_0__0 ,_1_2_0_0_,1200
(2)若⊙O的半径为r,则等边△
ABC三角形的边长为____3_r__
Ｏ
Ｂ
P
Ｃ
当 r=2 时,则等边△ ABC的边长为 2 3 .
浙教版九年级数学上册课件：3.4 圆心角(第1课时)
圆心角与所对弧度数之间的关系
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝25°，以点C为圆心，CA为半径的 圆交AB于点D，求A︵D的度数．
解析：连结CD，根据已知，可知CD＝CA， ∴∠DAC＝∠CDA. ∵∠A＝90°－∠B＝90°－25°＝65°， ∴∠DCA＝180°－2∠A＝50°， ∴A︵D的度数为50°. 反思：弧的度数等于它所对圆心角的度数， 关键是求出所对圆心角的度数．
例 ⊙O 的半径为 5，弦 AB 长也为 5，则弦 AB
所对的弧的度数为( )
A．60°
B．300°
C．60°或 300° D．不能确定
错解：A或B
正解：C
错因：圆心角所对的弧只有一条，而弦所 对的弧有两条．
变式1：如图，AD，BE，CF是⊙O的直径， 且∠AOF＝∠BOC＝∠DOE，弦AB，CD，EF相等吗？ 为什么？
答案：AB＝CD＝EF，理由略．
变式2：如图，CD是⊙O的直径，以D 为圆心，DO为半径作弧，交⊙O于点 A，B，求证＝A︵B，只需证明A︵C，B︵C，A︵B所对 的圆心角相等即可． 证明：连结AO，BO，AD，BD，则AO＝DO＝BO＝AD＝BD， ∴△AOD与△BOD均为等边三角形． ∴∠AOD＝∠BOD＝60°. ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°.∴A︵C＝B︵C＝A︵B.
变式：如图，已知AB是⊙O的直径， OE⊥AB，点D是OE的中点，且CD∥AB， 求证：A︵C＝12C︵E.
答案：连结OC，CE， ∵CD∥AB，OE⊥AB ∴CD⊥OE，∵D是OE中点， ∴CE＝CO＝OE，∴△COE为正三角形， ∴∠COE＝60°，∴C︵E＝60°， ∵∠AOC＝∠AOE－∠COE＝30°， ∴A︵C＝30°，∴A︵C＝12C︵E.
浙教版数学九年级上册3.4.1圆心角 (共22张PPT)
这是圆的旋转不变性
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角． 如图中所示，∠NON '就是一个圆心角.
N
· O
N'
练习 判别下列各图中的角是不是圆心角。
①②③不是
④是
练习 请你找出图中的圆心角：
D O A
∠AOB
C B
如图 ， 在⊙O中，已知圆心角∠AOB 和圆心角 ∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两 段弧、两条弦之间有什的弧相等，所对的弦也相等． ∵∠AOB=∠COD A B
∴ AB=CD
AB=CD
o
C D
例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分． C
分析：因为在同圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所以要把圆四等分，只要把以 圆心O为顶点的圆周角四等分，这只要作 两条互相垂直的直径即可。 A B
分别为OE、OF，则OE∶OF等于( D ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0
90° 4.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_________.
5.如图所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，
并且AC=BD.求证：OC=OD.
证明：如图，分别连结OA、OB. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. 又∵AC=BD， ∴△AOC≌△B OD. ∴OC=OD.
圆心角
1. 圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心. 2. 圆的旋转不变性 3. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等. 4. 弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
归纳： 所对弧相等 圆心角相等 所对弦相等 所对的弦心距相等
练习 已知：在 ⊙ O 中 ，∠ AOB＝∠COD，OE 是弦AB 的弦 心距， OF是弦CD的弦心距，OE=2，求OF
【优质】初三九年数学：《圆心角第1课时圆心角定理》ppt课件
︵
︵
AC
BD
15．(15分)如图，半圆的直径AB长
为2，C，D是半圆上的两点．若 解：如图，将半圆补成整圆，作点 D 关于直径 AB 的对称点 D′，连结 CD′，交 AB 于点
的度数为96°， 的度数为36°， P，则此时 CP＋PD 的值最小．设圆心为 O，连结 PD′，OD，OD′，OC，
动点P在直径AB上，则CP＋PD的最
＝45°，∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，∴∠ACO＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝CD.
14．(10分)如图所示，在△ABC中
，A︵D ∠E︵DB＝90°，∠A＝60°，以点B
为圆心，AB长为半径画圆，交AC于
点D，交BC于点E.求证： ︵
证明：(1)连结 BD，∵∠A＝60°，BA＝BD，∴∠ABD＝60°，即AD的度数为 60°.∵∠
离等于( ) A．3 B．6 C．10 D．12
13．(10分)如图，已知∠AOB＝90°，点C，D是
︵ AB
的三等分点，
AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝CD.
证明：连结
AC，∵∠AOB＝90°，点
C，D
︵ 是AB的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝
1∠AOB
3
＝30°，∴AC＝CD.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO＝75°.∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB
OM＝ON，
∠OMC＝∠OND＝90°.பைடு நூலகம் Rt△OMC 和 Rt△OND 中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，∴∠
OC＝OD，
COM＝∠DON，∴A︵C＝B︵D.
11..(5分)如图，半径为5的⊙A中， A 弦BC，ED所对的圆心角分别是
3.3 圆心角 课件1(数学浙教版九年级上册)
z```x```xk
A O E C B D
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
D
C
2 1
O
B AΒιβλιοθήκη z```xxkOO
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。 求证：AC=BD
例2：把⊙O等分
做一做： ⌒的 1、如图,在⊙O中,AB为直径，∠BAC=400,则AC 0 0 ⌒ 度数为_______ ， BC 的度数为 _______ 80 100
A C O B
例3：如图, ⊙O的直径垂直于弦CD，AB，CD相交 于点E，∠COD=1000,求⌒ BC，⌒ AD的度数。
1、圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。 2、顶点在圆心的角叫做圆心角。 做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
④
生活中的很多实物给我们以圆心角的直观感受
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相 等.
A O E C B D
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
D
C
2 1
O
B AΒιβλιοθήκη z```xxkOO
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。 求证：AC=BD
例2：把⊙O等分
做一做： ⌒的 1、如图,在⊙O中,AB为直径，∠BAC=400,则AC 0 0 ⌒ 度数为_______ ， BC 的度数为 _______ 80 100
A C O B
例3：如图, ⊙O的直径垂直于弦CD，AB，CD相交 于点E，∠COD=1000,求⌒ BC，⌒ AD的度数。
1、圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。 2、顶点在圆心的角叫做圆心角。 做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
④
生活中的很多实物给我们以圆心角的直观感受
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相 等.
新浙教版九年级上册初中数学 3.4 圆心角 教学课件
第四页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如AOB, 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
第五页，共二十二页。
B
M
A
O
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
第十三页，共二十二页。
新课讲解
条件 在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 那么 如果弧相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
第十四页，共二十二页。
新课讲解
条件
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
第十二页，共二十二页。
图5
新课讲解
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB， OB与 OB重合. OA OA,OB OB， A与 A重 合 ,B与 B重合. AB AB, AB AB.
A．60C° B．90° C．120° D．180°
第二十一页，共二十二页。
拓展与延伸
已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠BOC.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD－∠AOC＝∠BOC－ ∠AOC，即∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD
第二十二页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如AOB, 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
第五页，共二十二页。
B
M
A
O
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
第十三页，共二十二页。
新课讲解
条件 在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 那么 如果弧相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
第十四页，共二十二页。
新课讲解
条件
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
第十二页，共二十二页。
图5
新课讲解
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB， OB与 OB重合. OA OA,OB OB， A与 A重 合 ,B与 B重合. AB AB, AB AB.
A．60C° B．90° C．120° D．180°
第二十一页，共二十二页。
拓展与延伸
已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠BOC.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD－∠AOC＝∠BOC－ ∠AOC，即∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD
第二十二页，共二十二页。
2019年浙教版九年级数学上册3.4(1)圆心角课件
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【注意】：
A B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
立。
o
C
O
D
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相等。
A
B
C
D
应用新知：
圆心角定理
例 已知：如图,∠1=∠2.求证：AC=BD.
证明：∵ ∠ 1= ∠ 2
∴DC=BA（ 圆心角定理）
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
定义：弧的度数
我们把1º的圆心角所对的弧叫做1º的弧.
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
【注意】：
A B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
立。
o
C
O
D
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相等。
A
B
C
D
应用新知：
圆心角定理
例 已知：如图,∠1=∠2.求证：AC=BD.
证明：∵ ∠ 1= ∠ 2
∴DC=BA（ 圆心角定理）
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
条件：
B
AOB= COD
猜想：
⌒ AB=
C⌒D，
AB=CD
o
证明：
C
D
探索：在同一个圆中，两个相等的圆心角所对的两条
定义：弧的度数
我们把1º的圆心角所对的弧叫做1º的弧.
弧、两条弦之间都有什么关系。 A
九年级数学上册(浙教版)课件 3.4 圆心角 第1课时 圆心
15．如图，D，E 分别是⊙O 的半径 OA，OB 上的点，CD⊥OA 于
︵︵ D，CE⊥OB 于 E，CD＝CE，则AC与BC的弧长的大小关系是 __A︵_C_＝__B︵_C_____.
16．如图，C 是⊙O 的直径 AB 上一点，过 C 点作弦 DE，使 CD
︵
︵
＝CO，若AD的度数为 30°，求BE的度数.
︵ (2)劣弧BE的度数．
︵ 解：(1)OM＝1 (2)BE的度数为 60°
19．如图，以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 为圆心，OA 长为 半径作⊙O，⊙O 经过 B，D 两点，过点 B 作 BK⊥AC，垂足为 K. 过点 D 作 DH∥KB，DH 分别与 AC，AB，⊙O 及 CB 的延长线相 交于点 E，F，G，H. (1)求证：AE＝CK；
︵ 和BD有何大小关系，为什么？
︵︵ 解：CD＝BD，理由略
︵ 13．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠后，圆弧正好经过圆心，则AMB所 对的圆心角等于( C ) A．60° B．90° C．120° D．150°
14．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内 接正方形，BC∥QR，则∠AOQ等于( D ) A．60° B．65° C．72° D．75°
(2)如果 AB＝a，AD＝13a(a 为大于零的常数)，求 BK 的长．
解：(1)略 (2)∵AC 是直径，∴∠ABC＝90°，又 BK⊥AC，∴12AB·BC
＝12·AC·BK.即：12·a·13a＝12·AC·BK.又∵AC＝ AB2＋BC2＝ a2＋19a2
＝
310a.∴12a·13a＝12· 310a·BK，BK＝
10 10 a
解：连结 DO 并延长交⊙O 于点 F，连结 OE，∠ CDO＝ ∠AOD ＝30 °， ∴ ∠EOF ＝60 °，而 ∠BOF ＝ ∠AOD ＝ 30 ° ， ∴ ∠ BOE ＝ ∠EOF ＋
3.4.2 圆心角 浙教版数学九年级上册课件
∴△BOD是等边三角形．
同理，△COD是等边三角形．
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形．
已知等边三角形ABC的边长为2 3，求它的外C，并延长AO交BC于点D.
∵AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
长AO，分别交BC于点P，交弧BC于点D．连结BD,CD．判断
四边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明．
解 四边形BDCO是菱形.证明如下：
∵AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
（圆心角定理）
∴∠BOD=180°-∠AOB
=180°-120°=60°．
又∵OB=OD，
两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量
都分别相等吗？
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦、两个弦心
距中有一对量相等，那么它们所
对应的其余各对量都相等.
几何语言：
如图，∵ ∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD，OE=OF，AB=CD．
例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA,OB,OC，延
∴2CD>AB.
小结
圆心角
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,
④两条弦心距中,
有一组量相等,那么它们所对应的其余各
组量都分别相等.
探索证明圆心角定理的推论并能应用
1.如图，在⊙O中，若点C是 的中点，
∠A＝50°， 则∠BOC＝(
) A
A.40° B.45° C.50° D.60°
，CD⊥OA于D
，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE.
同理，△COD是等边三角形．
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形．
已知等边三角形ABC的边长为2 3，求它的外C，并延长AO交BC于点D.
∵AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
长AO，分别交BC于点P，交弧BC于点D．连结BD,CD．判断
四边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明．
解 四边形BDCO是菱形.证明如下：
∵AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
（圆心角定理）
∴∠BOD=180°-∠AOB
=180°-120°=60°．
又∵OB=OD，
两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量
都分别相等吗？
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦、两个弦心
距中有一对量相等，那么它们所
对应的其余各对量都相等.
几何语言：
如图，∵ ∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD，OE=OF，AB=CD．
例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA,OB,OC，延
∴2CD>AB.
小结
圆心角
在同圆或等圆中,如果
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,
④两条弦心距中,
有一组量相等,那么它们所对应的其余各
组量都分别相等.
探索证明圆心角定理的推论并能应用
1.如图，在⊙O中，若点C是 的中点，
∠A＝50°， 则∠BOC＝(
) A
A.40° B.45° C.50° D.60°
，CD⊥OA于D
，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE.
2020浙教版数学九年级上册3.3圆心角3
课题 3.3圆心角(1) 教学目的知识点1．理解圆的旋转不变性．2．掌握圆心角、弦心距的概念和圆心角定理．3．理解“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”这一定理．能力点进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．德育点用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活重点圆心角定理．难点根据圆的旋转不变性推导出圆心角定理．教法操作、讨论、归纳、巩固学法通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣教具画圆工具，圆心角教具，把例题写在幻灯片上．进程教师活动学生活动设计意图达到效果一复习引入二新课讲述三小结四、随堂练习1．指出圆的两种定义，各部分名称？等圆、同心圆的概念？点和圆的位置关系？2．确定一个圆的基本条件是什么？经过一点可以作几条直线，几个圆？经过两点可以作几条直线，几个圆？经过两点且使所画的圆的半径等与定长能画几个？经过三点可以作几条直线，几个圆？3．合作学习：教师展示教具，把圆的一条半径绕圆心O旋转任意一个角度θ(如图)，那么这条半径在圆上的一个端点，仍然落在圆上．（问：圆还具有什么性质？）这就是圆的旋转不变性。
利用圆的旋转不变性，人们把杯子和杯子的盖做成圆形，给生活带来方面．利用圆的旋转不变性，容易知道圆是中心对称图形．利用圆的旋转不变性，还能探求出什么结论呢?(板书)3．3圆心角(1)．1．顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中，NON'∠就是一个圆心角．2．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．(1)实验操作：设AOB COD∠=∠，把AOB∠连同AB、弦AB绕圆心O旋转，使OA与OC重合，结果发现OB与OD重合，弦AB与弦CD重合，AB和CD重合．(2)让学生猜想结论，并独立思考证明方法，估计他们能从△AOB≌△COD出发，证得AB=CD，但难以想出证明AB=CD的方法．这时，教师给出证明过程，并得出等弧的概念．(可写在黑板上)学生回答定圆心半径（以下学生讨论）学生看书归纳定理（口答）：定理把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．阅读教材研究圆心角定理,猜想：相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．(一般情况下，学生难以给出“在同圆或等圆中”)学生口答学生口答请学生口答，然后电脑演示完整的解答过程口答师生一起讨论得出独立完成，课堂校对通过设问，目的是掌握旧知，并唤起对画圆的性质进一步研究的兴趣通过阅读探究比较激发学习圆心角定理的兴趣，并学会猜想。
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分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 . ∵
图5
∵
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可 叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题， 命题成立。
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如
, 圆心角
所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
B M
O
A
图1
OM是唯一的。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（ ）
┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现 四个量：
弧 圆心角
弦 弦心距
课题
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
也就是在 图2 中研究不同的弧
,弦
,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
猜 想：
图2
?
?
?
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON
证明: 作
, 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON P
AB=CD BE
. A M O
C ND F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角
、
，以及它们
所对的弧
,弦
,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
猜 想：
图2
?
?
?
.
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
那么 AB=?A'B' 、AB=? A'B' 、OM=?O'M',
为什么？
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
2 . 点A与A' ，点B与B' 重合吗？ 为什么？
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB' ， 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 . ∵
图5
∵
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可 叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题， 命题成立。
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如
, 圆心角
所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
B M
O
A
图1
OM是唯一的。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（ ）
┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现 四个量：
弧 圆心角
弦 弦心距
课题
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
也就是在 图2 中研究不同的弧
,弦
,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
猜 想：
图2
?
?
?
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON
证明: 作
, 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON P
AB=CD BE
. A M O
C ND F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
BE
M
P
.O
ND
F
BE
.M
CP
O
AN DF
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角
、
，以及它们
所对的弧
,弦
,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系。
猜 想：
图2
?
?
?
.
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
那么 AB=?A'B' 、AB=? A'B' 、OM=?O'M',
为什么？
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
2 . 点A与A' ，点B与B' 重合吗？ 为什么？
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB' ， 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等