电路4.2 替代原理 戴维宁和诺顿定理

(3) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏安特性等效)。
(4) 当一端口内部含有受控源时，其控制电路也必须包含在 被化简的一端口中。
例1.
4 a 6
Rx 6
I 4
b
10V +–
(1) 计算Rx分别为1.2、5.2时的I； (2) Rx为何值时，其上获最大功率?
解： 保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：
方法2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +
– 6I + a
I
Isc
6 I1 +3I=9 I=-6I/3=-2I
I=0
9V 3 –
Isc=9/6=1.5A Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6
b
(3) 等效电路 a +
Ri 6
+
3 U0
Uoc 9V –
-
b
3 U0 6 3 9 3V
Rx
I
0.125I
0.2Ω
例2 试求i1。
解 用替代：
4 I1
2 ＋
4A
7V
－
3
6 5
1 6
+
I1 4
+
+
2–
＋
6V 3V
7V － 4A
–
－
I1
7 6
24 24
15 6
2.5 A
例3 已知: uab=0, 求电阻R。
C
解 用替代：
4
R IR
uab 3I 3 0
1IA
+
a
3
＋ 3V
－
b
20V －
ik
A
+支 uk 路
–k
＝
ik
+
支
uk 路
A u#43;
－ uk ＋
+
A
uk
–
证毕!
替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关 系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，
其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用 ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变， 故第k条支路uk也不变(KVL)。
4
解 uab 0
iab icd 0
用断路替代，得：
＋ 42V
－
a
b
60 25
0.5A
30 R 10
1A 20 40
ubd 20 0.5 10V
短路替代：
c
uac 10V
d
uR 201 10 30V iR (42 30) / 4 1 2A
R uR 30 15 iR 2
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
b i
a
Ri
Uoc+
-
b
2.定理的证明
ia
N
+ –u
N'
b
(a)
ia
Ri
+
+ u N'
Uoc–
–
b
(b)
(对a)
利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,
i值不变。计算u值。
a
+
Nu
= N0
–i
b
a
a
+ u' –
b
N0
+ Ri
+ u'' –i
b
电流源i为零
网络N中独立源全部置零
根据叠加定理，可得
（2）等效电阻的计算
等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：
等效电阻的计算方法：
1 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法
计算；
2 加压求流法或加流求压法。 3 开路电压，短路电流法。
2 3 方法更有一般性。
Ri
Rx =5.2时，
Ri=4//6+6//4=4.8
b
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2A
Rx = Ri =4.8时，其上获最大功率。
含受控源电路戴维宁定理的应用
例2.
6
– 6I + a
+
I
求U0 。 9V 3
–
+ 3 U0
– b
Ri
+ Uoc
–
解： (1) 求开路电压Uoc
网络内部不含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。
1. 戴维宁定理
任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控 源的二端网络，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc) 和电阻Ri的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于 一端口的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源 置零后的输入电阻。
ia
N
6 a
+
3
1A IscReq U
–
(1) 求短路电流Isc
b
I sc
24 6 // 6
1 32
24 3 // 6 6
3 36
3A
(2) 求等效电阻Req Req 6 // 3 6//3 // 6 6 4
(3) 诺顿等效电路:
U (3 1) 4 16V
Isc
a 1A
＋
4
U
b－
I 1A 用结点法： uC 20V
2
8 I1
对a点
1 1 1 20 ( 2 4)ua 4 1
ua ub 8V I1 1A
uR uC ub 20 8 12V R 12 6
2
IR I1 1 2A
例4 2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。
1
3A
4 I 0.5A
1k
Isc
1500I= -10I= -1/150 A 即 Isc=1/150 A
b Ri = Uoc / Isc =10 150=1500
加流求压法求Ri 0.5I
I
a
1k 1k + I0
U0 – b
I= I0
U0 =0.5I0 103 +I0 103 =1500I0
Ri = U0 /I0=1500
u'= Uoc (外电路开路时a 、b间开路电压) u"= Ri i
则 u = u' + u" = Uoc - Ri i
此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！
3.定理的应用
(1) 开路电压Uoc 的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计 算。
(1) 端口
i a 端口指电路引出的一对端钮，其中从一
N
个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一
b 端钮(如b)流出的电流。 i
(2) 一端口网络 (亦称二端网络)
网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。
(3) 含源(active)与无源(passive)一端口网络
网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。
＋ 2
4V －
+ 2V － 10 10 2
＋ 2
10V －
+ 2V － 5 2
I1
解 应求电流I，先化简电路。应用结点法得：
1 ( 2
1 2
1 5 )u1
10 2
2 2
6
u1 6 / 1.2 5V
I1 (5 2) / 2 1.5A I 1.5 0.5 1A
R 2 / 1 2
例5 已知: uab=0, 求电阻R。
(3) 等效电路： a
1.5k +
10V –
+
U –
R 0.5k
U=Uoc 500/(1500+500)=2.5V
b
另： 开路电压Uoc 、短路电流Isc法求Ri： Ri = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流Isc (将a、b短路)：
0.5I
I
+ 1k
10V
–
a
Isc = -I，(I-0.5I)103 +I103+10=0
6
– 6I + a
+
I
9V 3
–
+
Uoc=6I+3I
Uoc
I=9/9=1A
–
b
a +
3 U0 -
b
Uoc=9V
(2) 求等效电阻Ri 方法1：加压求流
6
– 6I + I0 a
I
+
3
U0
–
b
U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9 (2/3)I0=6I0
Ri = U0 /I0=6
a
10
Ri
2
Ri =102/(10+2)=1.67
b (3) 诺顿等效电路:
a I
4 1.67
-9.6A
b
I = - Isc1.67/(4+1.67)
=9.61.67/5.67
=2.83A
解毕！
例2 求电压U。
6
6
解 本题用诺顿定理求
比较方便。因a、b 处的短路电流比开 路电压容易求。
3
+ 24V 6 –
例. 求电流I 。
a
10
I
4
2
b+ – 12V
解： (1)求Isc
a
10
I1 Isc 2
I2 b + 12V –
–
24V +
a
I
Isc
4 Gi(Ri)
b
–
24V +
I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
(2) 求Ri：串并联
(3)替代后其余支路及参数不能改变。
3. 替代定理的应用
例.
3
+ 10V
–
1
0.5 I
Rx Ix –U +
0.5 0.5
若要使
试求Rx。
1 Ix 8 I,
解： 用替代：
1
1 I
8
0.5
I 0.5
=
– U + 0.5
1
0.5 1
1 I
8
0.5
I 0.5
+
– U' + 0.5 0.5 – U'' + 0.5
例3. (含受控源电路)用戴维宁定理求U。
0.5I
I
a
+ 1k
10V
–
1k +
U –
R 0.5k
Ri
Uoc
+ –
b
解：(1) a、b开路，I=0，Uoc= 10V
(2)求Ri：加压求流法
a
+
U –
R 0.5k
b
0.5I
I 1k
a I0 1k +
U0 –
b
U0 =(I0-0.5 I0)103+ I0103 =1500I0 Ri = U0 / I0 =1.5k
解毕！
4. 诺顿定理：
任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一 端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻) 的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的 短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电 源置零后的输入电导(电阻)。
a
A
b
a Isc
Gi(Ri) b
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效 变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。 证明过程从略。
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。 这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路 (通常为二端网络或称一端口网络),等效变换为较简单的 含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 可大大方便我们的分析和计算。戴维宁定理和诺顿定理 正是给出了等效含源支路及其计算方法。
几个名词
a +
I
a
– U1
+ U2 –
10V +–
Rx
I b
Ri
+ Uoc
–
Rx b
(1) 求开路电压
+ – U1
+ U2 –
10V +–
a
+
Uoc = U1 + U2
Uoc
= -104/(4+6)+10 6/(4+6)
b
= -4+6=2V
(2) 求等效电阻Ri
a (3) Rx =1.2时，
I= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333A
1
1.5
U' 2.5 I 1 2.5 I 0.5 0.1I 0.8I x
1.5 1 U'' 2.5 8 I 1 0.075I 0.6I x
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2
(或U=(0.1-0.075)I=0.025I
) U 0.025I
1.替代定理
4. 2 替代定理
对于给定的任意一个电路，其中第k条支路电压uk和电流ik
已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于uk的独立电压
源us ，或者用一个电流等于ik的 独立电流源is来替代，替代后
电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。
ik
A+
uk
支 路
–k
A
+
– us
A
is
2. 定理的证明
说明 (1） 替代定理适用于线性、也适用于非线性电路。
（2） 替代定理的应用必须满足得条件:
1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。
2.5A
1A
2.5A
?
10V
2
5V
5
10V
1.5A
2
5V ? 5V
A
A
A
1A
++
1V -
_1V
1A
+
+
1V 1 1A ?
-
-
1A
满足
不满足
B
B
B
2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。