半导体物理讲义-2

第二部分半导体中的电子和空穴

前面我们讨论了半导体能带结构的一些共同的基本特点。不同的半导体材料．其能带结构不同，而且往往是各向异件的，即沿不同的被矢k方向，E ~ K关系不同。由于问题复杂，虽然理论上发展了多种计算的力法．但还不能完全确定出电子的全部能态，尚需借助于实验帮助，采用理论和实验相结合的方法来确定半导体中电子的能态。本节介绍最初测出载流子有效质量并据此推出半导体能带结构的回旋共振实验及硅和锗的能带结构。因对大多数半导体，起作用的往往是导带底附近的电子和价带顶附近的空穴，所以只给出导带底和价带顶附近的能带结构

一、k空间等能面

已知，一维情况下设能带极值在k=0处，则导带底附近和价带顶附近的E ~ K关系：

图极值附近E ~K 关系示意图

所以，如果知道m*n和m*p ，则极值附近的能带结构便可了解。

对实标的三维晶体，以k x , k y , k z为坐标轴构成k空间，k空间任—矢量代表波矢k(k x , k y , k z) 。其中

简单情况（半导体或晶体具有各向同性时）：导带低附近E ~ K关系

当E(k)为某一定值时，对应于许多组不同的(k x，k y，

k z)，将这些组不同的(k x，k y，k z)连接起来构成一个

封闭面，在这个面上的能量值均相等，这个面称为等

能量面，简称等能面。容易看出，上式表示的等能面

是一系列半径为

的球面。

图 k空间球形等能面平面示意图

一般情况（半导体或晶体具有各向异性的性质）：导带低附近E ~ K关系

晶体有各向异性时，E(k)与k的关系沿不同的k方向不一定相同，反映出沿不同的k方向，电子的有效质量不一定相同，而且能带极值不一定位于k＝o处。设导带底位于k0,能量为E(k0)，在晶体中选择适当的坐标轴k x , k y , k z，并令m*x , m*y , m*z分别表示沿k x , k y , k z 三个方向的导带底电子的有效质量，用泰勒级数在极值k0附近展开，略去高次项，得:

注意：要具体了解这些球面或椭球面的方程，最终得出能带结构，还必须知道有效质量的值。测量有效质量的方法很多，但第一次直接测出有效质量的是利用回旋共振的实验方法。

二、回旋共振实验---有效质量的测定方法

将一块半导体样品置于均匀恒定

的磁场中，设磁感应强度为B，如半导

体中电子初速度为V，V 与B间夹角为

θ，则电子受到的磁场力f为：

力的方向垂直于V 与B组成的平面。电子

沿磁场方向作匀速运动，在垂直于B的平面内作

匀速圆周运动。运动轨迹是一螺旋线。

图电子在恒定磁场中的运动

等能面为球面时：电子在垂直于B的平面内作匀速圆周运动的回旋频率ωc

再以电磁波通过半导体样品，当交变电磁场频率ω等于回旋频率ωc时，就可以发生共振吸收。测出共振吸收时电磁波的频率ω和磁感应强度B，便可以由上式算出有效质量m*n

等能面为椭球面时：

电子的运动方程为

注意：为能观测出明显的共振吸收峰，就要求样品纯度较高．而且实验一般在低温下进行。交变电磁场的频率在微波甚至在红外光的范围。实验中常是固定交变电磁场的额率，改变磁感应强度以观测吸收现象。磁感应强度约为零点几T（特斯拉）。

三、硅和锗半导体的回旋共振实验

如果等能面是球面，由前面分析看到，改变磁场方向时只能观察到一个吸收峰。但是n 型硅、锗的实验结果指出，当磁感应强度相对于晶轴有不同取向时，可以得到为数不等的吸收峰。例如对硅观测到如下结果：

显然，这些结果不能从等能面是各向同性的假设得到解释。

硅导带等能面模型：如果认为硅导带底附近等能面是沿[10 0]方向的旋转椭球面．椭球长轴与该方向重合，就可以很好地解释上面的实验结果

图硅导带等能面示意图

这种模型的导带最小值不在k空间原点，而在[10 0]方向上。根据硅晶体立方对称性的要求，也必有同样的能量在[I 0 0]，[010]，[0 I 0]，[001]，[0 0 I]的方向上、如上图所示，共有六个旋转椭球面，电子主要分布在这些极值附近。

六个旋转椭球等能面极值附近的能量E s(k)为

设K s0表示第s个极值所对应的波矢，s＝1，2，3，4，5，6，极值处能值为E c，K s0沿<100>方向，共有六个。

硅导带等能面模型的简化处理：如选取E c为能量零点，以K s0为坐标原点，取K1，K2，K3为三个直角坐标轴，分别与椭球主轴重合，并使K3轴沿椭球长轴方向(即K3沿<100>方向)，则等能面分别为绕K3轴旋转的旋转椭球面。

以沿[001]方向的旋转椭球面为例。

设K3轴沿[001]方向，即沿K z方向，则

轴K1，K2轴位于(001)面内，并互相垂直(参

见左图)，这时，沿K1，K2轴的有效质量相同。

现令m x*＝m*y=m t ,m z＝m l , m t和m l叫分别称

为横向有效质量和纵向有效质量图B相对于K空间坐标轴的取向

则等能面方程为：

对其它五个椭球面可以写出类似的方程。

如果K1 ，K2轴选取恰当，计算可简化。选取K1使磁感应强度B位于K1和K3轴所组成的平面内，且同K3轴交角为θ角(参看上图)，则在这个坐标系里，B的方向余弦α，β，γ分别为：

代入回旋共振频率表达式得：

根据上面的分析，解释实验结果如下：

因而也可以观察到两个吸收峰。

注：根据实验数据得出硅的m l＝(0．98土0．04)m。m t＝(0．19土0．01)m。, m。为电子惯性质量。仅从回旋共振的实验还不能决定导带极值(椭球中心)的确定位置。通过施主电子自旋共振实验得出，硅的导带极值位于{100}方向的布里渊区中心到布里渊区边界的0.85倍处。