高中数学第一章常用逻辑用语3.3.2全称量词与全称命题存在量词与特称命题课时作业北师大版选修2

3.1 全称量词与全称命题
3.2 存在量词与特称命题
课时目标 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.掌握全称命题和特称命题的定义，能判定全称命题和特称命题的真假．
1．全称量词与全称命题
短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示________或________的含义，这样的词叫作全称量词，含有____________的命题，叫作全称命题．
2．存在量词与特称命题
短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示________或_____的含义，这样的词叫作存在量词，含有______________的命题叫作特称命题．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列命题不是“存在x0∈R，使x20>3”成立的表述方法的是( )
A．有一个x0∈R，使x20>3
B．有些x0∈R，使x20>3
C．任选一个x∈R，使x2>3
D．至少有一个x0∈R，使x20>3
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使1
x0
>2
5．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°.
A．0 B．1 C．2 D．3
6．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数为( )
A．1个．4个
二、填空题
7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
8．命题“存在x0∈R，使得x20＋x0＋2≤0”是__________命题(用真或假填空)．9．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.
其中，所有正确命题的序号为________．(填序号)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；
(3)存在T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|；
(4)存在x0∈R，使x20＋1<0.
11.给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
能力提升
12．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项
的命题中为假命题的是( )
A ．存在x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
B ．存在x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
C ．任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)
D ．任意x ∈R ，f (x )≥f (x 0)
13．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a
x －2，若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限
定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
§3 全称量词与存在量词
3．1 全称量词与全称命题
3．2 存在量词与特称命题
知识梳理
1．整体 全部 全称量词
2．个别 一部分 存在量词
作业设计
1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D [“存在”是存在量词．]
3．C [“任选一个x ∈R ，使x 2>3”是全称命题，故选C.]
4．B
5．D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
6．C [①③④为特称命题，②为全称命题．]
7．(－∞，3]
解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.
8．假
9．①②③
解析 命题①②显然为真命题；③由于a n －b n ＝2n －3n ＝－n <0，对于任意n ∈N +，都有a n <b n ，即a n ≠b n ，故为真命题．④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，例如n ＝1,2,3时，A ∩B ＝{6}，故为假命题．
10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，∴命题(4)是假命题．
11．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，
即a >13
或a <－1. 乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12
. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13
}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12
， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a |13<a ≤1或－1≤a <－12
}．
12．C [∵x 0满足方程2ax ＋b ＝0.
∴2ax 0＋b ＝0，x 0＝－b
2a . f (x )－f (x 0)＝ax 2＋bx ＋c －(ax 2
0＋bx 0＋c )
＝ax 2＋bx －(ax 20＋bx 0)，
其对应方程ax 2＋bx －(ax 20＋bx 0)＝0的根的判别式
Δ＝b 2＋4a (ax 20＋bx 0)
＝b 2＋4a 2·b 24a 2＋4ab (－b 2a
)＝0. ∵a >0，∴f (x )≥f (x 0)对任意x ∈R 恒成立，假命题为C.]
13．解 根据f (x )>0得lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a x －2>lg 1， 即x ＋a x
－2>1在x ∈[2，＋∞)上恒成立，
分离系数，得a >－x 2＋3x 在x ∈[2，＋∞)上恒成立，
设f (x )＝－x 2＋3x ，则f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94
， 当x ＝2时，f (x )max ＝2，∴a >2；
故a 的取值范围是(2，＋∞)．。