大学物理作业解答：5-2量子-第二章 波函数和薛定谔方程
量子物理2 德-波 波函数 薛定谔方程
电离能：
E电离=E∞－En=－En
紫外区
1
赖曼系 巴耳末系
E1 En 2 n
－13. 6
帕邢系
1000
1300
2000
3000
5000
10000 20000 A
。
氢原子的能级与光谱
2)氢原子光谱线的波数公式 当原子从较高能态 En向较低能态 Em 跃迁时 ，发射一个光子，其频率满足: h E E
由不确定关系有
ΔP
在宏观现象中，不确定关系可以忽略。
【例】设子弹质量为0.01kg，枪口直径为0.5cm， 试分析波粒二象性对射击瞄准的影响。 解 横向速度的不确定度为
1.05 10 30 v x 1.1 10 (m s ) 2 2 2mx 2 10 0.5 10
§1 薛定谔方程
1926年，在一次学术讨论会上，当薛定谔介绍完 德布罗意关于粒子波动性假说的论文后，物理学家德 拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动 方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴 奋地说：“你们要的波动方程，我找到了！”这个方 程，就是著名的薛定谔方程。
玻恩对 的统计解释(1926) ：波函数 是描 述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。 其模平方
(r , t ) Ψ (r , t ) (r , t ) ——概率密度
*
2
代表 t 时刻 在 r 端点处单位体积中发现一个 粒子的概率 t 时刻在 r 端点附近dV z Ψ dV 内发现粒子的概率为：
三、对波粒二象性的理解 怎样理解微观粒子既是粒子又是波?
根据电子双缝衍射实验 再作单电子双缝衍射实验 双缝
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝 为防止电子间发生作用，让电子一个 一个地入射，发现时间足够长后的干涉图 样和大量电子同时入射时完全相同。
2量子力学-波函数和薛定谔方程
在时刻t、在 (x,y,z) 点附近，单位体积内找到 粒子的概率，即概率密度 w(x, y, z, t) 为：
w(x, y, z, t)=dW(x, y, z, t)/dτ = C |Φ(x, y, z, t)|2
(2)归一化波函数
由于粒子存在于空间中，即在整个空间出现的 总的概率为1，所以有
|
(rr )
|2
d
(2) 动量平均值
一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象 波函数为
1
c( px ) (2 h)1/ 2
i
(x) e h
px x
dx
| c( px ) |2 粒子动量为px的概率密度， 则有
px
px
px
| c( px ) |2
dpx
§2.3 薛定谔(Schrodinger)方程
§2.1 波函数的统计解释
一. 波函数 二. 波函数的统计解释 三. 波函数的性质 四. 多粒子体系的波函数
一. 波函数
1. 经典粒子运动状态的描述 经典粒子的运动状态由坐标 r 和动量 p 来描述
2. 微观粒子的运动状态由波函数 (r,t) 来描述
基于下述考虑: 1.经典粒子的描述方法反映不了波粒二象性； 2.坐标 r 和动量 p 不能同时确定，不确定关系； 3.自由粒子可以用德布罗意平面波描述。
• 3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
二. 波函数的统计解释
经典概念中 粒子意味着
1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2. 有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
量子力学-第二章波函数和薛定谔方程
因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
《量子力学教程》作业题及答案--2017-2018第一学期
1、 求 一 维 线 性 谐 振 子 处 在 第 一 激 发 态 时 概 率 最 大 的 位 置 。
解：ψ 1(x ) =（
2α
π
）αxe − α
2
x2 /2
w(x ) = ψ 1(x ) =
2
2α 3
π
x 2e − α
2
x2
2 2 2 2 ∂w(x ) = 0 得 2xe − α x − 2α 2xx 2e − α x = 0 ∂x
E n x n y = E n x + E n y = (n x + 2n y + )ω
3） 对于基态， n x ,n y = 0 ， E 00 =
3 ω 是非简并的； 2
对于第一激发态，
5 n x = 1 ， E 10 = ω 是非简并的； 2 n y = 0 7 n x = 0 n x = 2 ， ， E 01 = E 20 = ω 能级是二重简并的； 2 = 1 = 0 n n y y 9 n x = 3 nx = 1 ， ，E E = = ω 是二重简并的。 30 11 n = 1 2 = 0 n y y
x < 0 0 ≤ x ≤ a 中， x > a
V0
4
的本征态，试确定此势阱的宽度 a 。
解：对于 E = −
V0
4
< 0 的情况，三个区域中的波函数分别为
ψ 1 ( x ) = 0 ψ 2 ( x ) = A sin kx ψ ( x ) = B exp(− αx ) 3
其中，
k=
n
则只有量子数 n = 1,3,5, 时， H n (0) = 0 （ n = 1,3,5, ） 则能级为 E n = ( n + 1 2 )ω
量子力学第二章 波函数与薛定谔方程
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
子状态用波函数
i ( E t p r ) p ( r , t ) Ae
即 r , p 决定体系的一切性质。
d r F m (3)质点状态的变化 （运动） 遵从牛顿定律： 2 F ， 当 dt
2
已知时，如果初始时刻 r0 , p 0 ( v 0 ) 也已知，则积分得： t t t F v( t ) dt v 0 ； p( t ) Fdt p 0 ； r ( t ) v( t )dt r0 m 0 0 0 即任何时刻的r (t ), p(t ) 完全确定.
可以写作而薛定谔方程这个方程称为哈密顿算是常数其中可以写作于是定态薛定谔方程定义哈密顿算符值方程的解称为哈密顿算符的本征相应的一系列的本征函一系列的本征值求得满足这个方程的是常数其中波函数这样的波函数称为定态程的一系列特解这样我们得到薛定谔方定态波函数与时间t的关系是正弦型的其角频率2eh
一、状态的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间 的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点
的几率密度，则
x x
x | ( x ) | 2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是 粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 2 x x x | ( r ) | d
两者一一对应 具有类似的物理含义
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
5-2量子-波函数和薛定谔方程 大学物理作业习题解答
1 2
n,1 n,3
c1
1 2
,
c3
1, 2
其它 c n 0 ,
c1
2
c2
2
1. 2
x 1 2 sin x sin 3x
2 a a
a
c1 2 c3 2 1, E
cn
2En
522 2ma2
9
2-7 设粒子在一维无限深势阱中运动，已知粒子所处的势场
Ux
0
x 0,x a 0xa
x L c,p /2x /2c E c/2c,E 1 / 2
2-3一维谐振子的基态波函数是 0 x A e a2x 2 /2 a 2 m 0 / ，试
求：(1)归一化系数A;(2)基态能E0（即零点能）（提示用哈密顿算
符作用基态波函数求E0）；(3)求 x 2 ；(4)借助不确定度关系，求
2-2原子从某一激发态向基态跃迁时,辐射的波列长度为L(相当干
长度),把L作为不确定度 x的大小，求光子的动量不确定度 p x
由E=cp计算能量不确定度 E， E正是激发态能级的宽度（所以从
具有一定能级宽度的激发态向基态跃迁时，辐射的光不是单色的),
它对应电子占据该激发态的寿命是有限的。证明： E /2 解：由 E cp , xp / 2
试求：(1)能量量子数为n的概率密度；(2)距势阱内壁四分之一宽
度内发现粒子的概率；(3)n为何值时在上述区域内发现粒子的概
率最大；(4)当时该概率的极限，并说明这一结果的物理意义。
解（1） （2）
（3） （4）
P1 4
a 4
2
sin2
n卜一x
dx
0a
a
a 3a
4
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学-薛定谔方程
30
2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d
dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以
J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p
i
量子力学第二章 波函数和薛定谔方程
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描 写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理 （二）动量空间（表象）的波函数
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍 射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干 涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样， 量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即 波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量 子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
称为波函数的 标准化条件
（3）波函数满足连续性、有限性、单值性
（5）应用 例： 设一粒子作一维运动，波函数为：
(x)
0
Asin x
a
x 0, x a
0 xa
A为任意常数，求： （1）归一化波函数； （2）几率密度w(x)和w(x)最大的位置； （3）在[0，a/2]内发现粒子的几率；
0
x 0, x a
w(x) (x) 2
令 dw(x) 0 ，有 dx
2 sin2 x
aa
0 xa
d (2 sin2 dx a
a
x)
2
a2
2sin
a
x cos
a
x
2
a2
sin
2
a
x
第二章 波函数和 薛定谔方程 (2)
*
非相对论考虑 自由粒子： 势函数 U 0
2 px 2mE
2 1 2 px E Ek mv x 2 2m
代入
d ( x) p x 2 ( x) 2 dx
2 2
*
得 即
d 2 ( x) 2mE 2 ( x) 0 2 dx
一维自由粒子的振幅方程
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零 各电子起点、终点、路径 均不确定
用 | |2 对屏上电子数分布
各光子起点、终点、路 径均不确定 用I对屏上光子数分布作 概率性描述
作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： dN N | |2 dV
2
二、量子力学的态的迭加原理
1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理： 二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2, 相加 后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波 的迭加原理加以说明的。 量子力学的二个态的迭加原理：如果Ψ1 与Ψ2 是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2是复数） 也是这个体系的一个可能状态。
一维定态薛定谔方程
3. 三维定态薛定谔方程 振幅函数
( x, y, z )
2 2 2 2m 2 2 (E U) 0 2 x y z
拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2m ( x, y, z ) 2 ( E U )( x, y, z ) 0
注意 ：
物质波的波函数不描述介质中运动 状态（相位）传播的过程
有意义的不是本身，而是 | |2 ， | |2 : 概率密度，粒子在空间分布的统计规律 : 概率幅 重要的不是 | |2 的大小，而是 | |2 在空间各点的比值， c 和 描述同一概率波函数和 薛定谔方程
薛定谔方程与量子体系的波函数解析
薛定谔方程与量子体系的波函数解析量子力学是描述微观世界的一门科学，而薛定谔方程是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数演化规律，通过对波函数的解析可以揭示微观世界的奥秘。
薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，它是一种描述微观粒子的运动的偏微分方程。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数，∂ψ/∂t表示波函数ψ对时间的偏导数，∇²ψ表示波函数ψ对空间的二阶偏导数，m是粒子的质量，V是势能。
薛定谔方程的解析解可以通过求解该方程得到。
量子体系的波函数是描述粒子在空间中的概率分布的函数。
波函数的模的平方表示了粒子在空间中出现的概率密度。
根据薛定谔方程，波函数随时间的演化是由波函数本身和势能共同决定的。
通过对薛定谔方程进行求解，可以得到波函数的解析解，从而揭示了量子体系的性质。
波函数的解析解可以分为定态解和非定态解。
定态解是指波函数不随时间变化的解，它描述了量子体系的基态和激发态。
定态解可以通过薛定谔方程的分离变量法进行求解，将波函数表示为时间和空间的乘积形式，然后将其代入薛定谔方程，得到关于时间和空间的两个偏微分方程。
通过求解这两个方程，可以得到波函数的解析解。
非定态解是指波函数随时间变化的解，它描述了量子体系的演化过程。
非定态解可以通过薛定谔方程的定态展开法进行求解，将波函数表示为定态波函数的线性组合形式，然后将其代入薛定谔方程，得到关于时间的一阶偏微分方程。
通过求解这个方程，可以得到波函数的解析解。
薛定谔方程的解析解不仅可以用于描述量子体系的波函数演化，还可以用于计算量子体系的物理量。
根据波函数的解析解，可以计算出粒子的位置、动量、能量等物理量的期望值。
这些期望值与实验结果的比较可以验证薛定谔方程的有效性，并揭示量子体系的性质。
总之，薛定谔方程是描述量子体系的波函数演化规律的基本方程。
大学物理：量子物理第二章 波函数和薛定谔方程-1
量子力学
粒子状态的 坐标（位置） 基本描述 动量（运动速度） --都是确定量
粒子具有波粒二象性，不可 能同时具有确定的坐标和动 量，坐标和动量都是以一定 的几率出现。用波函数描写 体粒子的量子状态。
其它量
其它物理量如能量等都 所有其它量都是以一定几率
是坐标和动量的函数-- 出现--用波函数描写体粒子
电子在底片上各位置出现的几率不是常数，出现的几率大， 即出现干涉图样中的“亮条纹”；有些地方电子出现的几率 为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。在电子双缝干涉实 验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布。 玻恩对波函数物理意义的解释：波函数在空间某一点的 强度和在该点找到粒子的几率成正比。
8
E p2 2m
自由粒子波函数：
(x,
t
t)
i
E
( x, t )
E (x,t) i (x,t)
t
x
i
p
2
x 2
p2 2
p2
2 2
x2
2 2
i t 2m x2
3
一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
2
x 2
三维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
i
t
2
2m
(
2
x2
2
y 2
都是确定量
的量子状态。
11
例如在量子力学中力学量表示为：
对于一维粒子出现在x坐标的平均值为
x x | (x) |2 dx *(x) x (x)dx
相应的涨落偏差
结论：经典力学能够表示粒子确定的位置和动量，但是量子力
学中的波函数只能给出粒子位置的平均值x 及其偏差(x)2 。 12
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的科学，它有着广泛的应用，涉及领域包括原子物理、凝聚态物理以及纳米技术等。
在量子力学中，波函数和薛定谔方程是两个核心概念，它们在理解和描述微观粒子的行为中起着重要的作用。
一、波函数的概念及性质波函数是描述微观粒子的状态的数学函数，通常用Ψ表示。
在三维空间中，波函数是位置矢量r和时间t的函数，即Ψ(r, t)。
波函数一般是复数，其绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
根据波函数的性质，可以得出以下几点：1. 法波叠加性：如果物理系统同时存在多个可能的状态，波函数可以叠加这些状态，并通过线性组合来描述。
这是量子力学与经典力学的明显区别之一。
2. 规范化条件：波函数必须满足归一化条件，即∫Ψ*(r, t)Ψ(r, t)dV = 1，其中dV表示三维空间的体积元。
3. 相位不确定性：波函数乘以一个常数因子并不改变物理量的概率密度，因此相位的选择并不固定，只有波函数的相位差才是物理可观测的。
二、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ(r, t)/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ(r, t) + V(r)Ψ(r, t)其中ħ是普朗克常数的约化常数，m是粒子的质量，V(r)是粒子在位置r上的势能。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子的态信息。
薛定谔方程的解决方法有很多种，常见的包括分离变量法、变换法和数值方法等。
波函数的演化可以用薛定谔方程的解析解或数值解来描述，从而预测粒子的行为和性质。
三、波函数与量子态的关系波函数不仅仅是描述微观粒子的数学函数，它还与量子态有着密切的关系。
量子态可以看作是波函数的集合，表示了物理系统的所有可能状态。
波函数的演化过程中，量子态也相应地发生变化。
例如，一个具有确定能量的量子态会随着时间的推移而演化为多个能量本征态的叠加。
第二章-波函数与薛定谔方程-习题
第二章波函数与薛定谔方程第一部分；基本概念与基本思想题目1.试述波函数的统计解释。
2.为什么波函数可以描述微观粒子的微观态？3.如何理解态叠加原理？量子力学中的态叠加原理与经典力学中的态叠加原理有何区别？4.简述动量几率密度的物理意义。
5.试述定态的基本特征。
6.两个能量本征值不同的定态波函数，他们的线性组合是否还是定态？7.何为定态？如何判断一量子态是定态？8.在经典力学中，E=T+U=动能+势能，这个结果对微观粒子是否成立？为什么？9.试写出求解定态薛定谔方程的基本步骤10. 何为束缚态？有何特征？11. 波函数满足的标准条件是什么？12. 实物粒子的波动性为什么很长时间未能发现?13. 试述C(P, t) 物理意义。
第二部分：基本技能训练题1.计算线性谐振子n=4时所对应的经典线性谐振子的振幅A4=？2.证明在定态中，几率流密度与时间无关3. 由下列两定态波函数计算几率流密度（1）ψ1=（1/r ）e ikr （2）ψ2=（1/r ）e -ikr从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
4. 求自由粒子的几率流密度J =？5. 下列波函数中，哪些是定态，哪些不是定态？12312312ix-(i)Et -ix-(i )Et -(i )E t -(i )E t 12-(i)Et (i )Et () (x,t)U(x)e U(x)e () (x,t)U(x)e U(x)e E E () (x,t)U(x)e U(x)e ψψψ=+=+≠=+ 6. 一粒子在一维势场 x 0()0 0x a x a U x ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩中运动，求粒子的能级和对应波函数。
7. 设粒子限制在矩形匣子里，其运动势能为：0 x a, y b, z c, (,,) U x y z ⎧<<<⎪=⎨∞⎪⎩其它 求其本征值与本征函数。
8. 求一维谐振子处于第一激发态时几率最大位置。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
量子力学第二章波函数和薛定谔方程 山东大学期末考试知识点复习
量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习量子力学第二章波函数和薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习山东大学期末考试知识点述评第二章波函数和薛定谔方程1.微粒运动状态描述（1）波函数波函数ψ(r，t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性，实际体系的波函数满足平方可积条件，即（2）波函数的意义波函数的模平方给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件非标准化波函数可以通过乘以标准化因子进行标准化。
（3）波函数的性质波函数ψ(r，t)满足叠加原理，如果ψi(r，t)，i=1，2，…为微观粒子的可能状态，则这也是一种可能的状态。
山东大学期末考试知识点复习2.微态演化（1）薛定谔方程状态ψ(r，t)随时间演化满足薛定谔方程在…之间称为哈密顿算符，u(r，t)是势能，若已知初始状态ψ(r，0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态ψ(r，t)。
（2）连续性方程由薛定谔方程可以推出连续性方程在…之间称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率，连续性方程是概率守恒定律的定域表现。
(3)定态薛定谔方成若体系的哈密顿不显含时间，即势场u不含t时，薛定谔方程可以分离变量，得到定态波函数解其中e是能量本征值，ψe（R）是相应的本征函数，满足稳态薛定谔方程山东大学期末考试知识点复习3.一维束缚稳态问题的描述（1）一维束缚定态问题由下面的方程和边界条件组成束缚态能量满足条件e<U（±∞). （2）束缚定态解的性质束缚定态中的能量取值不连续，形成能级，同一能级只对应一个本征函数，无简并现象，第n个能级en，n∈n对应的本征函数ψn(x)有n个内部零点(不包括边界)。
束缚态本征函数ψN（x）可以归一化，且归一化本征函数满足正交归一化本征函数集合具有完备性，任何平方可积函数ψ(x)都可以展开为归一化本征函数的线性组合，即其中膨胀系数为(3)典型实例：一维简谐振子一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势，其标准形式为在上述势场中，粒子作束缚运动，能级为山东大学期末考试知识点复习相应的本征函数为简谐振子的本征函数满足递推关系4.一维散射问题（1）问题描述以能量e>u(±∞)自左边向势场u(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条件（2）问题的重要性(3)典型实例：粒子对方势垒的透射山东大学期末考试知识点述评能量为e的粒子入射到一个宽度为a，高度为u0的方形势垒反射系数和透射系数分别为。
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展开，其展开
解：将波函数（x）用一维无限深方势阱的正交完备的本
征方程函数 作展开表示。
n
2 sin nx aa
0 x a
x
cnn
,
cn
*n
xdx
8
a
cn 0
2 sin nx 4 sin x cos2 x dx a a a a a
1
1
1
2n,1 2 n,3 2 n,1 2 n,1 n,3
0 xa x a, x 0 n1 1,2,3,
同理计算ｙ，ｚ。由上可得：
E
h2 8m
n2 1
a2
n
2 2
b2
n3 c2
2
;
x, y, z 8 sin n1x sin n2y sin n3z
abc a
b
c
5
2-5 取一维无限深势阱中心为坐标原点，即势阱表示为：
U(x) 0 , x a / 2 ; Ux x a / 2
a aa
n222 En 2ma2 .
7
2-6 粒子在0,a 范围内的一维无限深势阱中运动，其状态由
以下波函数
x 4 sin x cos2 x
a a a
求:(1)在该态上测得的能量可能值，及相应的概率；(2)求能量
的平均值（提示：用完备正交集n
系数模方为测量可能值的概率）
2 sin nx aa
c1
1 2
,
c3
1, 2
其它 cn 0,
c1
2
c2
2
1. 2
x 1 2 sin x sin 3x
2 a a
a
c1 2 c3 2 1, E
cn
2En
522 2ma 2
9
2-7 设粒子在一维无限深势阱中运动，已知粒子所处的势场
试求：(1)能量U量x子数0为n的概x0率0密x,x度a ；a (2)距势阱内壁四分之一
0
(2)由
x
2
dx
2
c2ea2x2dx
0
H 0
x
E00
x
c2
2
求
4a2
1, c
E0
1 2
.
a 1/ 4
(3)
x 2
x2
x2
x2
0
2
dx
x
0
2 dx
2
a 2 x e2 a2x2dx
x0
a x
2
xea2x2dx
a x
2
x 4a2
1 2a2
p2
2
4 x2
宽度内发现粒子的概率；(3)n为何值时在上述区域内发现粒子的 概率最大；(4)当时该概率的极限，并说明这一结果的物理意义。
解（1） （2）
（3） （4）
P1 4
a 4
2
sin2
n卜一x
dx
0a
a
a
2 sin2 nx dx
1
1
n sin
3a 4
a
a
2 n 2
p1 4
1 12 2
1,1 1 ,1 2 3 2 (n 2,4,6)
解：由 E cp, xp / 2
x L c,p /2x /2c E c /2c,E 1 / 2
2-3一维谐振子的基态波函数是 0 x Aea2x2 /2 a2 m0 / ，试
求：(1)归一化系数A;(2)基态能E0（即零点能）（提示用哈密顿算
符作用基态波函数求E0）；(3)求 x2 ；(4)借助不确定度关系，求
基态零点能，提示：
e a2x2 / 2dx x e 2 a2x2 / 2
0
2a 0
2a3
解：谐振子能量本征值方程
2 2m
d2 dx 2
1 2
m2x2
n
x
Enn x
其中
En
n
1 2
对应零点能
E0
1 2
基态波函数
0
x
cea2x2
/ 2 , a2
m
.
2
(1)基态波函数归一
第二章 波函数和薛定谔方程
2用-1.作s圆表周示运粒动子的在粒圆子轨的道切上向位动置量的和统角计动不量确分定别量为。p由t 和不L确z=定rp关t。系若
spt / 2 ，证明 Lz / 2 ，其中是粒子的角位置。
解：由测不准关系： spt / 2.
令 pt lz / r, s r. 代入有： Lz / 2
1 5
,
1 2
1 7
,
( n 1,3,5)
Pmax
1 1 , 2 3
(n 3)
A 2 a
1 n 1
n
, P1 4
2
2
2
转化为经典问题! 10
2 2m
2 x2
2 y 2
2 z 2
x, y, z
E
令 x,y,z XxYyZz
1 2 d2
1 2 d2
1 2 d2
X
2m
dx
2
X
Y
2m
dy
2
Y
Z
2m
dx
2
Z
E
4
1 2 d2X
X 2m
dx 2
E,
或者
d2x 2mE dx 2 2 X 0
解的
X(x)
2 nx
sin
a
a
0
2
E1 8ma2Biblioteka 2 42m
1 2
m
E0
1 2m
p2
1 2
Rx2
1 4
1 2
m2
1 2
m
1 2
3
2-4 借助一维无限深势阱的结果，试给出粒子在三维无限深 势阱中的能级和波函数（设三维阱宽分别为a,b,c）。（提示： 独立事件同时发生的概率幅是各概率幅之积）
解:在阱外 在阱内
0
2 2 E 2m
0 x a,0 y b,0 Z c
从而解得： Asina / 2 0 , Bcosa / 2 0
6
分两类解：第一类，A=0, cos(a/2)=0; 第二类，B=0, sin(a/2)=0.
因此有： a / 2 n / 2,
n为奇数为第一类，n为偶数为第二类.
n为奇数：
x Bcos nx
2 nx cos
aaa
n为偶数： x A sin nx 2 sin nx
写出粒子的能量本征方程，求能量本征值En和对应的本征函数 n
解：
2 d2
2m dx 2 E
通解：
1
x A sinx B cos x,
2 mE 2
2
在 x a/ 2 处应用边界条件，给出：
A sina / 2 B cosa / 2 0 , A sina/2 B cosa / 2 0
2-2原子从某一激发态向基态跃迁时,辐射的波列长度为L(相当干
长度),把L作为不确定度 x的大小，求光子的动量不确定度 px
由E=cp计算能量不确定度E，E正是激发态能级的宽度（所以从
具有一定能级宽度的激发态向基态跃迁时，辐射的光不是单色的), 它对应电子占据该激发态的寿命是有限的。证明： E / 2