2020-2021学年河北省衡水中学高一上学期一调数学试卷

【最新】河北省衡水中学高一上学期一调数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}{}
0)2)(1(,2,1,0,1,2<+-=--=x x x B A ，则=B A （ ） A ．{}0,1- B ．{}1,0 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0 2．下列关系中，正确的个数为 （ ） ①
R ∈2
2
①*0N ∈ ①{}Z ⊆-5 ①{}∅⊆∅ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知5-=ab ，则b
a
b a b a -+-
的值是（ ） A ．52 B ．0 C ．52- D ．52± 4．下列对应是集合A 到集合B 的映射的是（ ） A ．+=N A ．+=N B ．3:-→x x f
B ．{}平面内的圆=A ．{}
平面内的三角形=B ．作圆的内接三角形:f C ．{}20≤≤=x x A ．{}
60≤≤=y y B ．x y x f 2
1
:=→ D ．{}1,0=A ．{}1,0,1-=B ．中的数开平方A f : 5．下列四个函数中，在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x x f -=3)( B ．x x x f 3)(2
-= C ．1
1
)(+-=x x f D ．x x f -=)( 6．关于
x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两个实数根分别是21,x x ，且
7
2
221=+x x ，
则
m
的值是
（ ）
A ．5
B ．-1
C ．-5
D ．-5或1 7．已知54)1(2
-+=-x x x f ，则)(x f 的表达式是 （ ） A ．x x x f 6)(2
+=
B ．78)(2
++=x x x f
C ．32)(2
-+=x x x f D ．106)(2-+=x x x f
8．已知函数2)(2
-+=x x x f ，则函数)(x f 在区间[-1,1）上 （ ） A ．最大值为0，最小值为4
9
- B ．最大值为0，最小值为-2
C ．最大值为0，无最小值
D ．无最大值，最小值为4
9-
9．已知函数25,1()11,1x ax x f x x x
⎧-+<⎪
=⎨+≥⎪⎩在R 上单调，则实数a 的取值范围为
（ ）
A ．]2,(-∞
B ．),2[+∞
C ．),4[+∞
D ．]4,2[ 10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是 （ ）
A ．消耗1升汽油，乙车最多行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗的汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油
11．设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=1
,11,12
)(x x x x x f 则)101201()1013()1012()1011(f f f f ++++ 的值为
（ ）
A ．199
B ．200
C ．201
D ．202
12．已知函数x x g x a ax x f =+--=)(,1)3()(2
，若对于任意实数)(,x f x 与)(x g 至少
有
一
个
为
正
数
，
则
实
数
a
的取值范围是
（ ）
A ．30≤≤a
B ．90<≤a
C ．91<<a
D ．3<a
二、填空题 13．已知
，则实数的值是 ．
14．已知，则函数的单调递增区间是 ．
15．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的
解集为 ． 16．设
是整数集的一个非空子集，对于
，如果1,1k A k A -∉+∉，那么是的一个“孤立元”，给定,则
的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共
有 个．
三、解答题 17．已知
，分别求
．
18．（本小题满分12分）已知二次函数)(x f y =，当2=x 时函数取最小值-1,且
3)4()1(=+f f
（1）求)(x f 的解析式；
（2）若kx x f x g -=)()(在区间)4,1(上不单调，求实数k 的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知非空数集{}
),0[,,862+∞=∈++-==B R x m mx mx y y A ，且B A ⊆．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）当m 变化时，若集合A 中y 的最小值为)(m f ，求)(m f 的值域．
20．（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
（1）设当月应激纳此项税款为y 元，当月工资、薪金所得为x 元，把y 表示成x 的函数；
（2）某人一月份应激纳此项税款为26．78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 21．（本小题满分12分）已知函数c x
b
x x f ++
=2)(，其中c b ,为常数且满足5)2(,4)1(==f f ．
（1）求c b ,的值；
（2）证明函数)(x f 在区间)1,0(上是减函数，并判断)(x f 在),1(+∞上的单调性；
（3）若对任意的⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈3,2
1x ，总有m x f >)(成立，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数)(x f 满足
x x x f x x x f f +-=+-22)())((
（1）若3)2(=f ，求)1(f ；又若a f =)0(，求)(a f ；
（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求函数)(x f 的解析式．
参考答案
1．A 【解析】 试
题
分
析
：
{}{}(1)(2)0(2,1)2,1,0,1,2(2,1){1,0}
B x x x A B =-+
<=-∴=---=-
因此选A ． 考点：集合运算 2．C 【解析】
试题分析：因为①2R ∈ ①*
0N ∉ ①{}Z ⊆-5
①{}
∅⊆∅，所以选C
．
考点：元素与集合关系 3．
B 【解析】 试
题
分
析
：
0(0)||||a b ab a b ===+=<
选B ．
考点：代数式化简 4．C 【解析】
试题分析：因为
:30f N +
→∉，所以不是集合A 到集合B 的映射；因为
作圆的内接三角形:f 有无数个，所以不是集合A 到集合B 的映射；因为
1
:[0,2][0,1][0,6]2f x y x ∈→=
∈⊂，且唯一对应，所以是集合A 到集合B 的映射；因
为:1-f 开平方对应两个数1和1，所以不是集合A 到集合B 的映射；选C ． 考点：映射对应 5．C 【解析】
试题分析：x x f -=3)(在(,)-∞+∞上单调递减；2
()3f x x x =-在3(,)2-∞上单调递减；在3(,)2+∞上单调递增；11
)(+-
=x x f 在(1,)-+∞上单调递增，即在(0,)+∞上单调递增；
x
x f -=)(在(0,)+∞上单调递减；因此选C ．
考点：函数单调性
【名师点睛】函数单调性的判断
（1）常用的方法有：定义法、图象法及复合函数法．
（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
（3）复合函数的单调性：如果y ＝f （u ）和u ＝g （x ）的单调性相同，那么y ＝f[g （x ）]是增函数；如果y ＝f （u ）和u ＝g （x ）的单调性相反，那么y ＝f[g （x ）]是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u ＝g （x ）的值域必须是y ＝f （u ）的单调区间的子集． （4）在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 6．B 【解析】 试题分析：
22
2221212127()272(21)745015
x x x x x x m m m m m m +=⇒+-=⇒--=⇒--=⇒=-=或
又1
050m m =-∆>=∆<时，;时，，所以1m =-，选B ． 考点：韦达定理 7．A 【解析】
试题分析：
222
(1)45()(1)4(1)56f x x x f x x x x x -=+-⇒=+++-=+，选A ． 考点：函数解析式
【名师点睛】求函数解析式的主要方法
待定系数法、换元法、方程（组）法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若
已知复合函数f[g （x ）]的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，则常用解方程（组）法． 8．D 【解析】
试题分析：因为对称轴为21-
=x ，所以当21
-
=x 时，函数取最小值49-；当1x =时，函
数取最大值0；但1x ≠选D ． 考点：二次函数最值 9．D 【解析】
试题分析：由题意得：函数()f x 在R 上单调减，因此1
2a
≥且 1511a -+≥+，解得：
42≤≤a ，选D ．
考点：分段函数单调性
【名师点睛】为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接． 10．D 【解析】
试题分析：由图知：消耗1升汽油，乙车行驶里程可超过5千米；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车“燃油效率”最高，即消耗的汽油最少；甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，行驶的里程80千米，而此时每消耗1升汽油行驶的里程10千米，共消耗8升汽油；在速度为为80千米/小时以内，相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油，所以选D ． 考点：函数解析式表示法：图像法 11．C 【解析】
试题分析：22222
()(2)2,(1)1211x x x f x f x x x x x +-+-+-=
+==≠----
所以
12320112012[()()()()][()()]101101101101101101f f f f f f ++++=++
22003199[()()][()()]101101101101f f f f +++2011[(1)(1)][()+()]101101f f f f +++++ =2012⨯，因此123
201
()()()(
)201101
101101101f f f f +++
+=，选C ．
考点：倒序相加法求和 12．B 【解析】
试题分析：由题意得：当0≤x 时，()0f x >，而(0)1f =，因此只需：当0x <时，()0f x >，
从而2
0,(3)40a a a >--<或30,
02a
a a ->≥或0=a ，解得：90<≤a ，选B ．
考点：二次函数性质 13．-1 【解析】
试题分析：22
0,111(1)x x x x x x ≠≠⇒≠⇒=⇒=-舍去 考点：元素互异性
【名师点睛】对于集合中含有参数的问题，要注意将得到的参数的值代回集合中，对解出的元素进行检验，判断是否满足集合中元素的互异性． 14．
【解析】
试题分析：1
,33
(){1
,33
x x f x x x ->-=<-，所以函数的单调递增区间是
考点：分段函数单调性
【名师点睛】求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：（1）复合函数法：f （g （x ））的单调性遵循“同增异减”的原则；（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；（3）图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．
15．
【解析】 试题分析：
()0()0()()2()
00{{00f x f x f x f x f x x x x x
><--<⇒<⇒<>或
1001
{{100100
x x x x x x -<<<<⇒⇒-<<<<<>或或，解集为
考点：利用函数性质解不等式 【名师点睛】含“f”号不等式的解法
首先根据函数的性质把不等式转化为f （g （x ））>f （h （x ））的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意g （x ）与h （x ）的取值应在外层函数的定义域内． 16．13 【解析】
试题分析：由题意得：只有一个“孤立元”的集合为
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}
1,2,3,5,1,3,4,5,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,4,5,2,3,5,2,4,5,1,2,3,4,5共13个 考点：新定义
【名师点睛】以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与性质等． （1）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质． （2）按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． （3）对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
17．1,02A B ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦
，，
【解析】
试题分析：先分别解出集合A,B ：集合A 求二次函数值域，集合B 求函数定义域，再结合数轴求集合交、并、补． 试题解析：
．
．
．
．
．
考点：集合运算 【名师点睛】 解集合问题注意“三化”
（1）代表元素“意义化”：代表元素反映了集合中元素的特征．解题时要紧紧抓住代表元素及其属性，可通过列举元素，直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析．应做到“意义化”，即分清集合的类型（数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等）．
（2）元素组成“具体化”：有些集合中的元素所满足的条件是可以化简的，如果先化简再研究其关系，则可使问题变得简单明了，易于解决．
（3）数形结合“直观化”：结合数轴、坐标系（包括函数图象、平面区域等）及韦恩（Venn ）图可使问题直观化，更便于求解．
18．（1）
2
43y x x =-+（2）)4,2(- 【解析】
试题分析：（1）由题意可设二次函数解析式为顶点式：
)0(1)2(2
>--=a x a y ，再根据条件3)4()1(=+f f 求参数a （2）研究二次函数单调性，一般利用对称轴与定义区间位置关系进行研究，本题要不单调，就是要对称轴在定义区间内（不包含区间端点） 试题解析：（1） 二次函数)(x f y =在2=x 时取得最小值-1，
∴二次函数图像的顶点坐标为)1,2(-．
设解析式为
)0(1)2(2
>--=a x a y ． 325141)4()1(=-=-+-=+a a a f f ．
221.(2)143a y x y x x ∴=∴=--→=-+． （6分）
（2）
3)4()()(2++-=-=x k x kx x f x g 在区间)4,3(上不单调， 4241<+<∴k ，解得42<<-k ．
即实数k 的取值范围为)4,2(-
考点：二次函数解析式，二次函数单调性
19．（1）10≤≤m （2）]8,0[
【解析】
试题分析：（1）集合A 为求函数值域，分常函数与二次函数进行讨论： ①08,0≥=m ，符合题意； ①二次函数开口必须向上且在x 轴上方或与x 轴相切，即
⎩⎨⎧≤+--=∆>≠.0)8(4)6(.0,02m m m m m （2）集合A 为求函数值域的最小值，仍分常函数与二次函数进行讨论：8,0==y m ①；最小值就是8，而二次函数开口向上 ，对称轴3x =在定义区间[0,)+∞内，其最小值在顶点处取得：)8,0[884)6()8(4)(,102min ∈+-=--+==≤<m m m m m m f y m ②
试题解析：（1）由题意得0862≥++-m mx mx 对任意的R x ∈恒成立．
①08,0≥=m ，符合题意；
①
⎩⎨⎧≤+--=∆>≠.0)8(4)6(.0,02m m m m m 解得10≤<m
综合①①，10≤≤m ．
（2）8,0==y m ①；
)8,0[884)6()8(4)(,102min ∈+-=--+==≤<m m m m m m f y m ②．
综合①①，)(m f 的值域为]8,0[．
考点：二次函数值域及最值
【名师点睛】（1）二次函数的最值与值域一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．（2）二次函数的图像与性质要结合开口方向、对称轴位置及与x 、y 轴交点等来研究，综合二次函数的特征解决问题．
20．（1）
0.02000.(2000)5%.20002500.25(2500)10%.25004000.
175(4000)15%.40007000.x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩（2）2517．8 【解析】
试题分析：（1）由题意函数为分段函数，需分段求解：不超过2000元的部分不必纳税，不超过500元的部分，即为(2000,2500]部分纳税5%，为(2000)5%.x -⨯余下类推（2）先确定该人收入的范围：因为5005%2526.78;25150010%17526.78⨯=<+⨯=>，所以必有40002500≤<x ．然后再待定系数法求解：%10)2500(2578.26⨯-+=x
试题解析：（1）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⨯-+≤<⨯-+≤<⨯-≤≤=.70004000%.15)4000(175.
40002500%.10)2500(25.25002000%.5)2000(.20000.0x x x x x x x y （6分） （2）由于某人一月份应激纳此项税款为26．78元．
故必有40002500≤<x ．
从而%10)2500(2578.26⨯-+=x
解得8.2517=x 元．
所以，他当月的工资、薪金所得是2517．8元 （12分）
考点：分段函数
【名师点睛】（1）理解题意，由待定系数法，准确求出各段解析式，是求解的关键．要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值．
（2）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
21．（1）0,2==c b （2）详见解析（3）4m <
【解析】
试题分析：（1）两个未知数只需列两个条件，利用待定系数法求解即可由2 4.4 5.2
b c b c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得2,0b c ==．（2）从单调性定义出发证明函数单调性：先任取，再作差，最后变形确定符号，明确单调性，其中变形成因式是解题关键（3）不等式恒成立问题一般转化为最值问题，即求函数)(x f 最小值，利用（2）的结论可得函数)(x f 最小值，从而得出实数m 的取值范围．
试题解析：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧=
++=++.
524.
42c b c b 解得0,2==c b ．
（2）由（1），得x x x f 2
2)(+=．任取1021<<<x x ． 则)
2
2()2
2()()(221121x x x x x f x f +-+=-
212121)
1)((2x x x x x x --=．
1021<<<x x ．
0,01,0212121><-<-∴x x x x x x ．
)()(.0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即．
函数)(x f 在区间)1,0(上是减函数．
在区间),1(+∞上是增函数．
由（2），知x x x f 2
2)(+=在]
1,21[上单调递减，在]3,1[上单调递增．
∴ 4)1()(min ==f x f ．
4)(min =<∴x f m ．
考点：函数单调性定义，不等式恒成立
【名师点睛】
证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：
设x 1，x 2①（a ，b ），且x 1≠x 2，那么
（1）1212
()()0f x f x x x ->- ①f （x ）在（a ，b ）内是增函数； 1212
()()0f x f x x x -<- ①f （x ）在（a ，b ）内是减函数． （2）（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0 ①f （x ）在（a ，b ）内是增函数；（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＜0 ①f （x ）在（a ，b ）内是减函数．
需要指出的是（1）的几何意义：增（减）函数图象上任意两点（x 1，f （x 1）），（x 2，f （x 2））连线的斜率恒大于（或小于）零．
22．（1）1)1(=f ，a a f =)(（2）
)(1)(2R x x x x f ∈+-= 【解析】
试题分析：（1）抽象函数求值的方法，一般为赋值法：即根据题意恰当取自变量的值．由22)2()22)2((22+-=+-f f f 得1)1(=f ；22((0)00)(0)00f f f -+=-+得a a f =)(（2）本题关键为对条件“有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =”的理解：对任意
R x ∈，有02)(x x x x f =+-．令0x x =，所以0200=-x x ．故1000==x x 或．经验证知
1)(2+-=x x x f
试题解析：（1）因为对任意R x ∈，有
x x x f x x x f f +-=+-22)())((． 所以
22)2()22)2((22+-=+-f f f ． 又由3)2(=f ．得223)223(2
2+-=+-f ．即1)1(=f
若a f =)0(．则
00)00(22+-=+-a a f ．即a a f =)(． （2）因为对任意R x ∈，有x x x f x x x f f +-=+-22)())((． 又因为有且只有一个实数0x ，使得00)(x x f =．
所以对任意R x ∈，有02)(x x x x f =+-．
在上式中令0x x =，所以0200=-x x ．故1000==x x 或．
若00=x ．则0)(2=+-x x x f ，即
x x x f -=2)(． 但方程x x x =-2有两个不相同的实根，与题设条件矛盾。

故00≠x ； 若10=x ，则有
1)(2=+-x x x f ． 即
1)(2+-=x x x f ．易验证该函数满足题设条件． 综上，所求函数为
)(1)(2R x x x x f ∈+-=． 考点：抽象函数解法。