1电压与电流的关系

交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
XL ω L2 π f L
感抗XL是频率的函数
根据： i 2I sinω t
u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
可得相量式：I I 0
U U 90 Iω L 90
则：
UI
U I
90 jL
U jIω L I(jX L )
电感电路复数形式的欧姆定律
(2) 平均功率P （有功功率）
P 1
T
pdt
T0
1
T
[UI cos UI cos(2ω t )]dt
iR
L
di dt
1 C
idt
+ 设：i 2 I sinω t
_ C u_ C 则 u 2IR sinω t
为同频率 正弦量
2 I ( ω L)sin( ω t 90) 2I ( 1 )sin(ω t 90)
ωC
(2)相量法
I
+
+
R U_R
+
U jXL U_L
+
_ -jXC U_C
a、相量式
dt
的变化率成
2 U ωC sin(ω t 90) 正比。
ui
ui
① 频率相同
② I =UC
ωt ③电流超前电压90
90
相位差 u i 90
u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值 I U ωC 或 U 1 I
定义：
XC
1 ωC
1 2π fC
ωC
容抗（Ω）
则: U I XC
XC
1 2π f
C
直流：XC ，电容C视为开路
交流：f
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
XC
1 2π fC
容抗XC是频率的函数
由：u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
可得相量式 U U 0
I I 90 jUω C
则：
U
jI 1 ωC
jXC i 则
2 Is inωt
U IX C
I U U jIXC
-
u 2IωC XC 1/c
sin(t 90)
u落后 i 90°
0
UI - I2XC
实际的电阻、电容
电阻的主要指标 1. 标称值 2. 额定功率 3. 允许误差 种类: 碳膜、金属膜、 线绕、可变电阻
电容的主要指标 1. 标称值 2. 耐压 3. 允许误差 种类: 云母、陶瓷、涤纶 电解、可变电容等
R
ω
L
1/ R
C
由电路参数决定。
电路参数与电路性质的关系：
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i 呈感性
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 呈容性
当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相 呈电阻性
b、 相量图
I
+
+
UL
参考相量 UL
R
U jXL
_ -jXC
电压 u 超前电流 i 90°
u 31.4 2sin(314t 60)A
（3）有供功率 P=0 无供功率
Q U I 31.4 5 157 var
4.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
基本关系式： i C du
设：u 2 U sin ω t dt
i
+
u
C
_
则：i C du 2 UC ω cos ω t 电流与电压
jIX C
电容电路中复数形式的欧姆定律
I I超前 U90
U 相量图
2.功率关系
i
由 u 2Usinω t
+
i
2Uω C sin( ω t 90)
u _
C
(1) 瞬时功率
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
Um Im sin2 ω t (2) 平均2功率 Ｐ
RLC串联交流电路中
设：i 2 I C
U?=IR + IL + I 1/ C
交流电路中UI与参数R、L、C、 间的关系如何？
4.4 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
(1) 瞬时值表达式
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
根据KVL可得：
u uR uL uC
R
三角形
由阻抗三角形：
R Z cos X Z sin
由相量图可求得:
U U R2 (U L UC )2 I R2 (X L XC )2 I R2 X 2 I Z Z R2 ( X L XC )2
arctan X L XC
R
2.功率关系
i
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
阻抗
复数形式的 欧姆定律
Z
UI&&
U I
u i
Z
U
I
u i
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u、i 的相位差。
注意 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
Z Z R j XL XC
阻抗模： Z 阻抗角： u
U I i
R2 arctan
(
X L XC )2 XL XC arctan
电感L是储 ωt 能元件。
储能 放能 储能 放能
(3) 无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率 达到的最大值表征，即
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
Q U I I2XL U2 XL
单位：var
例6: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦
电源上，求I，如保持U不变，而电源f =
U UR UL UC 设 I I0 （参考相量）
则 UR IR
UL I(jX L )
UC I(jXC )
U IR I(jX L ) I(jXC ) 总电压与总电流
IR jX L XC
的相量关系式
根据 U IR j X L XC
令 Z R jXL XC
则 U IZ
R
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
4.3.2 电感元件的交流电路
1. 电压与电流的关系
基本关系式：u
设：i 2 I sin
ω
eL
t
L
di dt
u L d( Imsinω t) dt
2 Iω Lsin(ω t 90)
i
+
-
u L eL
-
+
2 U sin ( ω t 90 )
ui u i
5000Hz, 这时I为多少？
解： (1) 当 f = 50Hz 时
XL 2fL 2 3.14 50 0.1 31.4Ω
I U 10 318mA X L 31.4
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2fL 2 3.14 5000 0.1 3140Ω
I U 10 3.18mA X L 3140
U_R UL UC + U_LXL > XC
+
U_C
UC
U
UL
(> UC
U
XL < XC
UR
I UL UC
0 感性)
UC
UR I
U
( < 0 容性)
UX 由电压三角形可得:
UR
电压 三角形
UR Ucos U x Usin
2) 相量图
U
UL UC UX
电压
UR 三角形
Z
X XL XC 阻抗
UI
sin 2 ω t
P 1
T
p dt
T0
1
T
UI sin (2 ω t )dt 0
T0
C是非耗 能元件
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
u,i i u
o
i
+
u
i u+
-i u
-i u
- -++
p
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
结论： 纯电容不消
ω t 耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
相量式：
I I 0 U U 0 IR
相位差 ： u i 0
2. 功率关系
(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 I sin ω t
ui
iu
u 2 U sin ω t
小写
O
ωt
p ui
Um Im sin2 ω t
pp
1
2 Um Im (1 cos 2 ω t) O
ωt
结论: p 0 （耗能元件）,且随时间变化。
所以电容C是储 ωt 能元件。
充电 放电 充电 放电
(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
i 2I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 )
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q
UI
I 2XC
U2 XC
单位：var
【例8】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
u iR U IR
I
U
L
jXL jω L
u L di dt
U jX LI
U
I
C
jXC
j
1 ωC
i C du dt
U jXC I
I
U
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路图 基本 (参考方向) 关系
阻抗
i
+
Ru
u iR R
-
电压、电流关系
瞬时值
有效值
设
i 2Isinωt
则
U IR
u 2Usinωt
(2) 平均功率(有功功率)P
i
瞬时功率在一个周期内的平均值
+
u
1T
1T
P T 0 p dt T 0 u i dt
大写 1 T 1
p
_ p
R
T
0 2 Um Im (1 cos 2ω t)dt
P
1T
UI(1 cos2ω t)dt UI
T0
O
ωt
P U I I 2R U 2 单位:瓦（W）
绿、棕、金、金—— 表示5.1 5%的电阻
四环
五环
倍 有效 率
误
数字 10n 差
有效 数字
倍误 率 10n 差
如电阻的5个色环颜色依次为：
棕、绿、黑、金、红—— 表示15.0 2%的电阻
4.4 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
直流电路两电阻串联时
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
U IR1 IR2
在电阻电路中： 在电感电路中：
在电容电路中：
IU R
iU R
i u R
I U R
i u XL
I U ωL
U jωL I
U I jX L
UI X L
u L di dt
i u ωL
U I ωC
u i XC
I U jωC
UI
1 jω C
单一参数电路中的基本关系
参数 阻抗
基本关系 相量式
相量图
RR
① 频率相同
② U =I L
O
ωt ③ 电压超前电流90
90
相位差 u i 90
i 2I sinω t
u 2I ω Lsin ( ωt 90 )
有效值: U I ω L
或 I U
L
定义： XL L 2 f L 感抗(Ω)
则: U I X L
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。
电阻器的色环表示法
四环
五环
倍 有效 率
误
数字 10n 差
有效 数字
倍误 率 10n 差
黑、棕、红、橙、黄、绿、蓝、紫、灰、白、金、银
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01
误差: 1 2
0.5 0.2 0.1
5 10
（%）
如电阻的4个色环颜色依次为：
+
_ C u_ C
(1) 瞬时功率
设：i Im sinω t
u Umsin(ω t )
p u i Um sin(ω t ) Imsinω t
UmImcos sin2 ω t UI sin sin2ω t
耗能元件上 的瞬时功率
储能元件上 的瞬时功率
在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉,一部分与储能 元件进行能量交换。
1T
P T
o
p dt
1
T
UI sin (2ω t ) dt 0
To
L是非耗 能元件
分析：瞬时功率 ：p i u UI sin2 ωt
u i
结论：
纯电感不消
o
ωt 耗能量，只和
i
+
u
i u
i u
i u+
- ++-
p 可逆的能量
转换过程 + p <0 + p <0
o
p >0
p >0
电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
4.3 单一参数的交流电路
4.3.1 电阻元件的交流电路
i
1. 电压与电流的关系
+
根据欧姆定律: u iR
设 u Umsinω t
u
R
_
i u Umsinω t 2U sinω t
R
R
R
I
Imsin ω t 2 I sin ω t
相量图 U
① 频率相同 ②大小关系：I U
R
③相位关系 ：u、i 相位相同
所以电感元件具有通低频阻高频的特性
例7： 一只L=20mH的电感线圈，通以 i 5 2sin(314t 30)A的电流
求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)有功功率和无 功功率。
解：（1）感抗 X L 2 fL L
314 2010-3 6.28Ω
（2）有效值: U I ω L = 5 6.28 = 31.4V
功率 相量图 相量式 有功功率 无功功率
I U
UI
U IR I 2R 0
u、 i 同相
i
设
U
L
+ u
u L di dt
jX L
i
则
2 Isinωt U IX L
X L L
UI
I U jIX L 0 I 2 X L
-
u 2Iω L
sin(t 90)
u领先 i 90°
i
设
+