人教版初中数学第二十六章反比例函数知识点

第二十六章 反比例函数

26.1 反比例函数

26.1.1 反比例函数

例、用函数解析式表示下列问题中的关系：

（1）京沪线铁路全程为1463千米，某次列车的平均速度v （千米/小时）

随此次列车的全程运行时间t （小时）的变化而变化

（2）某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪的长y

（米）随宽x （米）的变化而变化

（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S 随全市总人口n （人）的变化而变化 上述解析式都具有k y x =的形式，其中k 是非零常数. 1、一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x =（k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.

注：（1）．()0k y k x

=≠可以写成()10y kx k -=≠的形式，注意自变量x 的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数()0k ≠这一限制条件；

（2）．()0k y k x

=≠也可以写成xy k =的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式； （3）．反比例函数k y x =

的自变量()0x ≠，故函数图象与x 轴、y 轴无交点. 例.下列等式中，哪些是反比例函数? 并指出常数k 的值.

（1）3x y = （2）x

y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-

= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 （8）y=3x －1 例. 若函数12n y x -=是反比例函数，则n=______.

解：∵反比例函数自变量x 的系数为-1

∴n-1=-1，解得n=0

26.1.2 反比例函数的图象和性质

1．函数解析式： ()0k y k x

=≠

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线. k 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.

k 越小，图象的弯曲度越大.

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线.

当0k >时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；

当0k <时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大.

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则(),a b --在双曲线的另一支上. 图象关于直线y x =±对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则(),b a 和(),b a --在双曲线的另一支上.

4．k 的几何意义

如图1，设点P （a ，b ）是双曲线()0k y k x

=≠上任意一点，作PA x ⊥轴于A 点，PB y ⊥轴于B 点，则矩形PBOA

如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC

的面积为2

5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

（2）直线1y k x =与双曲线y =

当120k k ⋅<时，两图象没有交点；当120k k ⋅>时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 例. 已知反比例函数的图象经过点()2,6A .

（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？

（2）点()3,4B ，点142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

和()2,5D 是否在这个函数的图象上？

解：（1）设函数表达式为xy k =，将点A 的坐标代入得：

26,12k k ⨯== ，则函数为y =120> ，所以函数分布在第一、三象限，根据图象可知：

y 随x 增大而减小；

（2）将点B 、C 、D 的坐标分别代入得：

3412⨯=，所以点B 在此函数图象上；

()2.5 4.812-⨯-=，所以点C 在此函数图象上；

251012⨯=≠，所以点D 不在此函数图象上.

例. 正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x =

的图象有一个交点的横坐标是2.

(1)当3x =-时，求反比例函数y =

(2)当31x -<<-时，求反比例函数y =

解：(1)在y x =中，当2x =时，2y =，则交点坐标是()2,2，

把()2,2代入y =

4k =，

当3x =-，y =

(2)当3x =-时， y =当1x =-时，4y =-，

则当当31x -<<-时，y 的范围是: 4y -<<

例. 在反比例函数y =

解：∵反比例函数y =10k ∴->，

计算得出1k >.

例：如图所示，已知一次函数()0y x b b =+>的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数

()0m y m x

=≠的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D. AB 1=. （1）求点A 、B 的坐标;

（2）求一次函数和反比例函数的解析式.

解（1）一次函数y x b =+，

当0x =时， y b =，

当0y =时， x b =-，

OB OA b ∴==，

AB 由勾股定理得: 222AB OA OB =+，

2

22b b ∴=+，

计算得出: 1b =，

()()1,00,1A B ∴-

（1）把1b =代入y x b =+得: 1y x =+，

1OD = ，

∴把1x =代入1y x =+得: 2y =，

()1,2C ，

代入y =2m =，

y ∴=26.2 实际问题与反比例函数