第六节 空间曲线及其方程

空间曲线在xoy 面上的投影曲线 H(x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T( x, z) 0
y
0
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
二、空间曲线在坐标面上的投影
[1]. 投影柱面
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线关于xoy 的投影柱面
投影柱面的特征：
可视为以此空间曲线为准线，母线垂直 于所投影的坐标面的一个柱面.
[2]. 投影曲线 曲线的投影柱面与所投影的平面的交线.
z
s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
(2) 对称式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程 也称点向式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
,
y 0
（3）消去x 得投影
y2
z2
2y z
0 .
x 0
空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2
和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy
面上的投影.
解
半球面和锥面的交线为
C
:
z
z
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
第六节 空间曲线 直线及其方程
一、空间曲线及其方程 二、空间曲线在坐标平面上的投影 三、空间直线及其方程 四、小结
一、空间曲线及其方程
[1]. 空间曲线方程的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点： 曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 x 不能同时满足两个方程.
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
其中 1 // 2
2
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
[2]. 空间直线的对称式与参数式方程
(1) 方向向量的定义：
如果一非零向量平行于一
条已知直线，这个向量称为 这条直线的方向向量.
t
o
M
•
x A M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
特性：
( t,
b v)
上升的高度与转过的角度成正比.
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
的全部点.
例3 如果空间一点M 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角 速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升(其中 、v 都是常数),那么点
M 构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x2
y2
3 4,
z 0
（2）因为曲线在平面 z 1 上， 2
所以在 xoz 面上的投影为线段.
z
1 2,
y 0
| x | 3 ; 2
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
z
1 2,
x 0
| y | 3 . 2
例5 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
如图,
（1）消去z 得投影
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y 得投影
x2 5z2 2xz 4x 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
来自百度文库
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
表示怎样的曲线？
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
[2]. 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
直线的一般方程化 为对称式方程：
(1)取点 (2)求方向向量 (3)写出直线的对称式
例8 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
m
n
p
(3) 参数式方程
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数 它是其一个方向向量 的坐标。
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
空间直线的一般式与对称式方程的互化 例7 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
4 x2 y2, 3( x2 y2 ),
x2 y2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为 是一个圆,
x2 y2 1.
三、直线及其方程
[1]. 空间直线的一般方程 定义 空间直线可看成两平面的交线.
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
z
S1
S2
C
o
y
x2 y2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
z a2 x2 y2
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4