北师大版八年级数学上册第3课时 三角形的外角 (习题课件)【新版】
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八年级数学上册第七章三角形内角外角关系应用的七种常见题型习题pptx课件新版北师大版
∠ DAE 的度数.(直接写出结论)
解：(3)∠ DAE ＝ (α－β).
1
2
34Biblioteka 567第七章 平行线的证明
专项突破19
三角形内角、外角关系应用
的七种常见题型
题型1三角形内角和在叠放中的应用
1. [2024舟山中学月考] 如图，有一块直角三角尺 DEF 放置
在△ ABC 上，三角尺 DEF 的两条直角边 DE ， DF 恰好分
别经过点 B ， C . 请写出∠ BDC 与∠ A ＋∠ ABD ＋
∠ ACD 之间的数量关系，并说明理由.
1
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5
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7
解：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD . 理由如下：
∵∠ BDC ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°，∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝
180°，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD .
∴∠ BAC ＝180°－100°＝80°.
∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°.
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7. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中， AD ⊥
BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )
解：(3)∠ DAE ＝ (α－β).
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34Biblioteka 567第七章 平行线的证明
专项突破19
三角形内角、外角关系应用
的七种常见题型
题型1三角形内角和在叠放中的应用
1. [2024舟山中学月考] 如图，有一块直角三角尺 DEF 放置
在△ ABC 上，三角尺 DEF 的两条直角边 DE ， DF 恰好分
别经过点 B ， C . 请写出∠ BDC 与∠ A ＋∠ ABD ＋
∠ ACD 之间的数量关系，并说明理由.
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解：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD . 理由如下：
∵∠ BDC ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°，∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝
180°，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD .
∴∠ BAC ＝180°－100°＝80°.
∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°.
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7. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中， AD ⊥
BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )
三角形的外角北师大版八年级数学上册ppt演讲教学
三角形的外角北师大版八年级数学上 册ppt演 讲教学
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重难易错
7. 如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°， AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE平分∠BAC. （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B=α，∠ACB=β，其他条件不变，请直接 写出∠DAE与α，β的数量关系.
二级能力提升练 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，如 果∠A=40°，那么∠1+∠2的大小为 220° .
三角形的外角北师大版八年级数学上 册ppt演 讲教学
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11. 如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落 在点A′，若∠C=125°，∠A=15°，则∠A′DB的度数 为 100° .
∠ACB的外角平分线相交于点Q. 直接写出∠A与∠Q的
数量关系为
.
三角形的外角北师大版八年级数学上 册ppt演 讲教学
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三级检测练
一级基础巩固练
8. 如图，下列结论：①∠A>∠ACD；②
∠AED>∠B+∠D；③∠B+∠ACB<180°；④∠HEC>∠B.
其中正确的是
. （填②上③你④认为正确的
所有序号）
三角形的外角北师大版八年级数学上 册ppt演 讲教学
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重难易错
7. 如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°， AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE平分∠BAC. （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B=α，∠ACB=β，其他条件不变，请直接 写出∠DAE与α，β的数量关系.
二级能力提升练 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，如 果∠A=40°，那么∠1+∠2的大小为 220° .
三角形的外角北师大版八年级数学上 册ppt演 讲教学
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11. 如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落 在点A′，若∠C=125°，∠A=15°，则∠A′DB的度数 为 100° .
∠ACB的外角平分线相交于点Q. 直接写出∠A与∠Q的
数量关系为
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三级检测练
一级基础巩固练
8. 如图，下列结论：①∠A>∠ACD；②
∠AED>∠B+∠D；③∠B+∠ACB<180°；④∠HEC>∠B.
其中正确的是
. （填②上③你④认为正确的
所有序号）
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2020-2021北师大八年级数学上册---三角形的外角-课件ppt
比较角的大小
解：∵∠2是△ABC的外角 ∴∠2＞∠1.
变式运用
已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB,PC.
求证：∠P =∠A+∠ABP +∠ACP2
P
34
B
CB
D
C
问题解决
一次胡师傅的徒弟小王在为一架飞机模型做零 件，其中需要一个零件的形状如图所示，按规定 ∠A应等于89°，∠B，∠C应分别等于32°和21°， 小王量得∠BDC=144°，话音刚落，胡师傅就脱口 而出：这零件不合格．
∠2、∠3、∠4的大小关系.
2.你能用文字语言把你发现的关系叙述出来吗？
3.请证明你的结论；
A
53
2 1
4
EC
B
D
学以致用
说出下图中∠1和∠2的度数：
50°
32°
∠1= 18°, ∠2=130°
典例解析
例1：如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C
求证：AD∥BC.
E
A
D
B
C
学以致用
D
使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．
E
求证：∠1 =2∠A+∠2
2 A/
D
F
1
C E
B
C
达标检测
3．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠， 使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．
求证：∠1 =2∠A+∠2
证明：由折叠得：∠A=∠A'，
∵ ∠1是△ADF的外角，∠AFD是△A ' EF的外角，
A
E
2 A/
D
F
1
∴∠1=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠2，
解：∵∠2是△ABC的外角 ∴∠2＞∠1.
变式运用
已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB,PC.
求证：∠P =∠A+∠ABP +∠ACP2
P
34
B
CB
D
C
问题解决
一次胡师傅的徒弟小王在为一架飞机模型做零 件，其中需要一个零件的形状如图所示，按规定 ∠A应等于89°，∠B，∠C应分别等于32°和21°， 小王量得∠BDC=144°，话音刚落，胡师傅就脱口 而出：这零件不合格．
∠2、∠3、∠4的大小关系.
2.你能用文字语言把你发现的关系叙述出来吗？
3.请证明你的结论；
A
53
2 1
4
EC
B
D
学以致用
说出下图中∠1和∠2的度数：
50°
32°
∠1= 18°, ∠2=130°
典例解析
例1：如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C
求证：AD∥BC.
E
A
D
B
C
学以致用
D
使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．
E
求证：∠1 =2∠A+∠2
2 A/
D
F
1
C E
B
C
达标检测
3．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠， 使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．
求证：∠1 =2∠A+∠2
证明：由折叠得：∠A=∠A'，
∵ ∠1是△ADF的外角，∠AFD是△A ' EF的外角，
A
E
2 A/
D
F
1
∴∠1=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠2，
北师大版数学八年级上册 三角形的外角
(2) 三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍. ( )
(3) 三角形的一个外角等于任意两个内角的和. ( )
(4) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( )
(5) 三角形的一个外角大于任何一个内角.
()
(6) 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( )
2. 如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F 等于
∠AEC =∠ADC +∠BAE，
∴∠AEC =∠B +∠BCE +∠BAE
= 45° + 20° + 36° = 101°.
4. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD，
∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
A
解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】(一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°，
∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A
思路点拨：添加适当的辅助线将
51°
四边形问题转化为三角形问题.
20°
D
B C
解法一：连接 AD 并延长到点 E.
你能借助平行 线的知识证明
A 相邻的内角 C
D
此结论吗？
验证结论
已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B.
A
E 证明：过 C 作 CE∥AB，
则∠1 = ∠B
2 1
(两直线平行，同位角相等)，
B
C D ∠2 = ∠A
(两直线平行，内错角相等).
北师版八年级上册数学精品教学课件 第2课时 三角形的外角
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和．
A
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
2
证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180° （三角形内角和定理）
3 41
B
C
D
即∠2+ ∠3= 180°-∠4
又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)
即∠1 = 180°-∠4
不等关系的证明思路
课后练习
见本课时练习
∠ACD=35°,∠ABE=20°.
求： （1）∠BDC度数；
（2）∠BFD度数．C来自F EDA
B
练一练
已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角， E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2
D
2 C
E
A
B1
F
今天的收获
三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角
∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)
证明：三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角． A
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
2
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
31
B
C
D
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）
∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
想一想
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
F
北师大版八年级数学上册：7.5.2《三角形的外角》
-������ ,������ < 0.
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点三 平方根、算术平方根、立方根 1.平方根 (1)定义:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a 的平方根(也叫二次方根),数a的平方根记作___________ ± ������(������ ≥ 0) . (2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根, 它是0本身;负数没有平方根. 2.算术平方根
基础自主导学
考点梳理
自主测试
考点二 实数的有关概念 1.数轴 (1)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度; (2)实数与数轴上的点是一一对应的. 2.相反数 (1)实数a的相反数是-a,0的相反数是0; (2)a与b互为相反数⇔a+b=0. 3.倒数 1 (1)实数a的倒数是 ������ (a≠0),0没有倒数; (2)a与b互为倒数⇔ab=1. 4.绝对值 (1)数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|. ������,������ > 0, (2)|a|= 0,������ = 0,
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4.如图,已知直线 AB∥CD,∠C=115°,则∠A+∠E=
.
关闭
115°
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5.如图,已知△ABC 中,∠A=40°,剪去∠A 后成四边形,则∠1+∠ 2= .
关闭
220°
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
6.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,∠BCD=35°. (1)求∠EBC 的度数; (2)求∠A 的度数.
北师大版八年级数学上册ppt课件7.5 第2课时 三角形的外角
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●70 ● B °O
40 °
● A
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－
∠CBA=70°，
思所考以：∠像BC∠DB=C1D80这°样－的∠角B有CA什=么110特°征. 吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
讲授新课
一三定角义形的外角的概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角. A
B
A
C
相邻的内角
三角形的外角
D
你能用作平行线的方 法证明此结论吗？
北师八年级上册7.5第2课时三角形的外角PPT课件共41页
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
北师八年级上册7.5第2课时三角形的 外角PPT课件
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、Leabharlann 吁嗟身后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
北师八年级上册7.5第2课时三角形的 外角PPT课件
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、Leabharlann 吁嗟身后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
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倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
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21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
北师大八年级数学课件-三角形的外角
（5）三角形的一個外角大於任何一個內角.
（）
（6）三角形的一個內角小於任何一個與它不相鄰的外角.（ ）
2.如圖，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那麼∠F
等於
A.26° B.63° C.37° D.60°
（ A） F
A
EB
C
D
3.（1）如圖，∠BDC是_△__A_D__C__
A
的外角,也是 △ADE 的外角；
你還有其他 解法嗎？
E A
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
B2
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
F
3
C
D
解法二：如圖，∠BAE+∠1=180 ° ① ， E
∠CBF +∠2=180 ° ②，
A
∠ACD +∠3=180 ° ③，
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， B 2 ①+ ②+ ③得
=51° +20°+30°=101°.
你發現了什 麼結論？
解法二：延長BD交AC於點E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A
(
51 °
F
E
所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
20 ° D 30 ° B
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
D A
C
練一練：說出下列圖形中∠1和∠2的度數：
2024八年级数学上册第七章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时三角形的外角习题课件新版北师大版
(
A
)
A. 73°
B. 63°
C. 83°
D. 93°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 如图，将一副直角三角尺按如图③放置，使三角尺①的
长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图
③中的∠1的度数为(
D
)
A. 70°
B. 85°
C. 100°
D. 105°
1
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10
11
(1)若∠ ABC ＝50°，∠ ACB ＝60°，求∠ E 的度数；
1
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11
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解：(1)∵∠ ACB ＝60°，
∴∠ ACM ＝180°－∠ ACB ＝120°.
∵ BE 是∠ ABC 的平分线， CE 是外
角∠ ACM 的平分线，∴∠ EBC ＝ ∠ CBA ＝
∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ AEB ＋∠ CFD ＝240°.
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2
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则∠ ACD ＝∠ A ＋∠ B .
1
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(1)如图②，线段 AB ， CD 相交于点 O ，连接 AC ， BD ，
A
)
A. 73°
B. 63°
C. 83°
D. 93°
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10. 如图，将一副直角三角尺按如图③放置，使三角尺①的
长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图
③中的∠1的度数为(
D
)
A. 70°
B. 85°
C. 100°
D. 105°
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(1)若∠ ABC ＝50°，∠ ACB ＝60°，求∠ E 的度数；
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解：(1)∵∠ ACB ＝60°，
∴∠ ACM ＝180°－∠ ACB ＝120°.
∵ BE 是∠ ABC 的平分线， CE 是外
角∠ ACM 的平分线，∴∠ EBC ＝ ∠ CBA ＝
∴∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ AEB ＋∠ CFD ＝240°.
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则∠ ACD ＝∠ A ＋∠ B .
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(1)如图②，线段 AB ， CD 相交于点 O ，连接 AC ， BD ，
7.5.3三角形的外角定理北师大版八年级数学上册习题PPT课件
∴∠CEB＝90°－65°＝25°. 又∠BEC＝∠B＋∠C，得∠B＝∠EFC.
C．三角形的外角和等于所有外角的和的一半 10．如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是（ ）
3．【中考•乐山】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( ) 2．关于三角形的外角，下列说法中错误的是( )
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长 线于点E.
(1)求∠CBE的度数； 解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝12∠CBD＝65°
45°＝75°.
1(2．)在下图列②各中图，中已，知∠解A1是E∥：△BACB因，C求的为∠外A角F∠D的的是度E( 数D．)C＝50°，所以∠DBC＋∠DCB＝50°.
A．∠ACB＞∠ACD
因为 BD，CD 第七章 平行线的证明
A．一个三角形只有三个外角
分别为∠ABC，∠ACB
的平分线，
A．75°
【点拨】本题易因对三角形外角的性质不熟练而出错．
8．下列对三角形的外角和叙述正确的是( )
A．三角形的外角和等于180° A．∠ACB＞∠ACD
1．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( ) C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角
B．三角形的外角和就是所有外角的和 又因为∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°，故选C.
【答案】B
∴∠CAE＝∠C＝30°. 如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4相交所形成的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是( ) A．一个三角形只有三个外角
C．三角形的外角和等于所有外角的和的一半 10．如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是（ ）
3．【中考•乐山】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( ) 2．关于三角形的外角，下列说法中错误的是( )
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝ 40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长 线于点E.
(1)求∠CBE的度数； 解：∵在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE＝12∠CBD＝65°
45°＝75°.
1(2．)在下图列②各中图，中已，知∠解A1是E∥：△BACB因，C求的为∠外A角F∠D的的是度E( 数D．)C＝50°，所以∠DBC＋∠DCB＝50°.
A．∠ACB＞∠ACD
因为 BD，CD 第七章 平行线的证明
A．一个三角形只有三个外角
分别为∠ABC，∠ACB
的平分线，
A．75°
【点拨】本题易因对三角形外角的性质不熟练而出错．
8．下列对三角形的外角和叙述正确的是( )
A．三角形的外角和等于180° A．∠ACB＞∠ACD
1．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( ) C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角
B．三角形的外角和就是所有外角的和 又因为∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD＝∠A＋∠B，所以∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°，故选C.
【答案】B
∴∠CAE＝∠C＝30°. 如图是四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4相交所形成的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论中正确的是( ) A．一个三角形只有三个外角
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（3）在△ABC中，若把∠A没有剪掉，而是把它折成如图
③所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由. (2)∠1＋∠2＝180°＋∠A. 理由：∵∠1，∠2为△AEF的外角， ∴∠1＝∠A＋∠AEF， ∠2＝∠A＋∠AFE. ∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE.
又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°， ∴∠1＋∠2＝∠A＋180°. (3)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下： ∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF. ∴∠1＝180°－2∠AFE，
A.120°
B.90°
C.100°
D.30°
返回
7.（中考•乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平
分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于
（ C）
A.35°
B.95°
C.85°
D.75°
返回
8.（中考•宜宾）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝
24°，则∠E等于（ B ）
A.24°
返回
2．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是（ D ）
返回
3．关于三角形的外角，下列说法中错误的是（ A ） A.一个三角形只有三个外角 B.三角形的每个顶点处都有两个外角 C.三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D.一个三角形共有六个外角
返回
知识点 2 三角形内外角的关系
4．三角形的一个外角等于和它__不__相__邻___的两个内角的
返回
题型 2
三角形内外角的关系在判断两角数 量关系中的应用
16．如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P.
（1）若∠ABC＝50°，∠A＝70°，求∠P的度数；
（2）若∠A＝68°，求∠P的度数；
（3）根据以上计算，试直接写出∠P
与∠A的数量关系.
解：(1)∵∠ABC＝50°，∠A＝70°， ∴∠ACB＝180°－50°－70°＝60°. ∵△ABC的两个外角的平分线交于点P， ∴∠PBC＝12×(180°－50°)＝65°， ∠PCB＝12×(180°－60°)＝60°. 在△PBC中，∠P＝180°－65°－60°＝55°.
C.∠ACB＞∠2＋∠3
D.以上都正确
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知识点 3 三角形的外角和
12．在△ABC的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 度数和是___3_6_0_°__.
返回
13．下列对三角形的外角和叙述正确的是（ C ） A.三角形的外角和等于180° B.三角形的外角和就是所有外角的和 C.三角形的外角和等于所有外角的和的一半 D.以上都不对
返回
14．一个三角形的三个外角中，最多有（ A ）个锐角.
A.1
B.2
C.3
D.不能确定
返回
题型 1 三角形内外角的关系在求角中的应用
15.（中考•重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交 GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在 GH上，求∠BDC的度数.
解：∵EF∥GH， ∴∠ABD＋∠FAC＝180°. ∴∠ABD＝180°－72°＝108°. ∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC， ∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝5小关系是（ B ） A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠1>∠2>∠A D.∠2>∠A>∠1
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11．如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，
连接AD，AE，则下列式子中正确的是（ C ）
A.∠ACB＞∠ACD
B.∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
返回
题型 3
三角形内外角的关系在探究角的和倍 关系中的应用
18．探索归纳：
（1）如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若 沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于（ C ） A.90° B.135° C.270° D.315°
（ 2 ） 如 图 ② ， 已 知 在 △ ABC 中 ， 剪 去 ∠ A 后 得 到 四 边 形 BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由；
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)． 又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
返回
比较大小法 19．如图，在△ABC中，O为其内部一点，试比较∠BOC
和∠A的大小.
【思路点拨】思路一：要比较∠BOC与∠A的大小，由于 三角形一个外角大于和它不相邻的任一内角，因此需将 ∠BOC构造成一个三角形的外角，将∠A转化为一个三角 形的内角；思路二：连接AO并延长.
＝90°－
1 2∠A.
∴∠P＝90°－34°＝56°.
(3)∠P＝90°－
1 2
∠A.
返回
题型 3 三角形内外角的关系在求多角和中的应用
17．如图，在五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数.
解：如图所示． ∵∠AGF＝∠C＋∠E， ∠AFG＝∠B＋∠D， 且∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
即∠BOC>∠BAC.
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(2)∵△ABC的两个外角的平分线交于点P，
∴∠1 ∠ABPCB)C＝＋12∠(∠PCAB＋＝∠12A(C∠B1A＋＋∠∠AABCCB＋)＋∠A12)(＝∠A＋ 2 (180°＋∠A)＝90°＋ 2 ∠A.
在△PBC中，∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝
180°－
90＋
1 2
A
解：法一：如图①，延长CO交AB于点D. ∵∠BOC是△ODB的一个外角， ∴∠BOC>∠BDO. 又∵∠BDO是△ADC的一个外角， ∴∠BDO>∠A. ∴∠BOC>∠A.
解法二：如图②，连接AO并延长交BC于点D.
∵∠3是△ABO的一个外角，
∴∠3>∠1.
同理∠4>∠2.
∴∠3＋∠4>∠1＋∠2，
和；三角形的一个外角__大__于___任何一个和它不相邻
的内角.这两个定理是由_三__角__形__内__角__和__定__理__推导出的.
5．由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个
基本事实或定理的___推__论___.
返回
6.（中考•黔东南州）如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，
则∠A的度数是（ C ）
B.59°
C.60°
D.69°
返回
9.（中考•荆州）一把直尺和一块三角尺ABC（含30°、 60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角尺的 两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角尺的两 直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝40°，那么 ∠BAF的大小为（ D ） A.40° B.45° C.50° D.10°
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理 第3课时 三角形的外角
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知识点 1 三角形外角的定义
1．三角形内角的一条边与另一条边的_反__向__延__长__线__组成 的角，称为三角形的外角；三角形的每个顶点处都 有____2___个外角且这两个外角__相__等___.
③所示的形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由. (2)∠1＋∠2＝180°＋∠A. 理由：∵∠1，∠2为△AEF的外角， ∴∠1＝∠A＋∠AEF， ∠2＝∠A＋∠AFE. ∴∠1＋∠2＝∠A＋∠A＋∠AEF＋∠AFE.
又∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°， ∴∠1＋∠2＝∠A＋180°. (3)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下： ∵△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF. ∴∠1＝180°－2∠AFE，
A.120°
B.90°
C.100°
D.30°
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7.（中考•乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平
分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于
（ C）
A.35°
B.95°
C.85°
D.75°
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8.（中考•宜宾）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝
24°，则∠E等于（ B ）
A.24°
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2．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是（ D ）
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3．关于三角形的外角，下列说法中错误的是（ A ） A.一个三角形只有三个外角 B.三角形的每个顶点处都有两个外角 C.三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D.一个三角形共有六个外角
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知识点 2 三角形内外角的关系
4．三角形的一个外角等于和它__不__相__邻___的两个内角的
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题型 2
三角形内外角的关系在判断两角数 量关系中的应用
16．如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P.
（1）若∠ABC＝50°，∠A＝70°，求∠P的度数；
（2）若∠A＝68°，求∠P的度数；
（3）根据以上计算，试直接写出∠P
与∠A的数量关系.
解：(1)∵∠ABC＝50°，∠A＝70°， ∴∠ACB＝180°－50°－70°＝60°. ∵△ABC的两个外角的平分线交于点P， ∴∠PBC＝12×(180°－50°)＝65°， ∠PCB＝12×(180°－60°)＝60°. 在△PBC中，∠P＝180°－65°－60°＝55°.
C.∠ACB＞∠2＋∠3
D.以上都正确
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知识点 3 三角形的外角和
12．在△ABC的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 度数和是___3_6_0_°__.
返回
13．下列对三角形的外角和叙述正确的是（ C ） A.三角形的外角和等于180° B.三角形的外角和就是所有外角的和 C.三角形的外角和等于所有外角的和的一半 D.以上都不对
返回
14．一个三角形的三个外角中，最多有（ A ）个锐角.
A.1
B.2
C.3
D.不能确定
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题型 1 三角形内外角的关系在求角中的应用
15.（中考•重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交 GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在 GH上，求∠BDC的度数.
解：∵EF∥GH， ∴∠ABD＋∠FAC＝180°. ∴∠ABD＝180°－72°＝108°. ∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC， ∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝5小关系是（ B ） A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠1>∠2>∠A D.∠2>∠A>∠1
返回
11．如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，
连接AD，AE，则下列式子中正确的是（ C ）
A.∠ACB＞∠ACD
B.∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3
返回
题型 3
三角形内外角的关系在探究角的和倍 关系中的应用
18．探索归纳：
（1）如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若 沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于（ C ） A.90° B.135° C.270° D.315°
（ 2 ） 如 图 ② ， 已 知 在 △ ABC 中 ， 剪 去 ∠ A 后 得 到 四 边 形 BCEF，试探究∠1＋∠2与∠A的关系，并说明理由；
∴∠1＋∠2＝360°－2(∠AFE＋∠AEF)． 又∵∠AFE＋∠AEF＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
返回
比较大小法 19．如图，在△ABC中，O为其内部一点，试比较∠BOC
和∠A的大小.
【思路点拨】思路一：要比较∠BOC与∠A的大小，由于 三角形一个外角大于和它不相邻的任一内角，因此需将 ∠BOC构造成一个三角形的外角，将∠A转化为一个三角 形的内角；思路二：连接AO并延长.
＝90°－
1 2∠A.
∴∠P＝90°－34°＝56°.
(3)∠P＝90°－
1 2
∠A.
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题型 3 三角形内外角的关系在求多角和中的应用
17．如图，在五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数.
解：如图所示． ∵∠AGF＝∠C＋∠E， ∠AFG＝∠B＋∠D， 且∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
即∠BOC>∠BAC.
返回
(2)∵△ABC的两个外角的平分线交于点P，
∴∠1 ∠ABPCB)C＝＋12∠(∠PCAB＋＝∠12A(C∠B1A＋＋∠∠AABCCB＋)＋∠A12)(＝∠A＋ 2 (180°＋∠A)＝90°＋ 2 ∠A.
在△PBC中，∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝
180°－
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解：法一：如图①，延长CO交AB于点D. ∵∠BOC是△ODB的一个外角， ∴∠BOC>∠BDO. 又∵∠BDO是△ADC的一个外角， ∴∠BDO>∠A. ∴∠BOC>∠A.
解法二：如图②，连接AO并延长交BC于点D.
∵∠3是△ABO的一个外角，
∴∠3>∠1.
同理∠4>∠2.
∴∠3＋∠4>∠1＋∠2，
和；三角形的一个外角__大__于___任何一个和它不相邻
的内角.这两个定理是由_三__角__形__内__角__和__定__理__推导出的.
5．由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个
基本事实或定理的___推__论___.
返回
6.（中考•黔东南州）如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，
则∠A的度数是（ C ）
B.59°
C.60°
D.69°
返回
9.（中考•荆州）一把直尺和一块三角尺ABC（含30°、 60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角尺的 两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角尺的两 直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝40°，那么 ∠BAF的大小为（ D ） A.40° B.45° C.50° D.10°
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理 第3课时 三角形的外角
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知识点 1 三角形外角的定义
1．三角形内角的一条边与另一条边的_反__向__延__长__线__组成 的角，称为三角形的外角；三角形的每个顶点处都 有____2___个外角且这两个外角__相__等___.