2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文

图 2.1 下降到月面的各轨道段示意图(俯视图)
图 2.2 下降到月面的各轨道段示意图
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3 模型的假设及符号说明
3.1 模型的假设
1. 2. 3. 4. 不考虑月球自传及地月引力的影响； 将月球近似看为一个正球体； 不考虑悬停时间及悬停时的能量消耗； 不考虑着陆器推力方向改变对燃料消耗。
3.2 符号的说明
4.1 问题一的物理模型的建立与求解过程
对于此问题我们将建立两个数学物理模型， 利用必要的物理学相关知识对嫦娥三号 着陆准备轨道近远月点位置及其相应速度大小和方向求解。
4.1.1 物理模型的建立
我们假设航天器运行轨道过月南北极点且垂直于月赤道， 并以南北极点连线为 y 轴， x 轴过月心且垂直 y 轴；且悬停阶段对应经纬度即为目标降落点经纬度；同时将航天器 下落过程看为推力 F 时刻变化， 以满足航天器下落过程中加速度投影至 y 轴的分量和投 影至 x 轴的分量做匀减速运动。 设定 R 为月球半径，G 为万有引力常数，M 为月球质量，g1 为嫦娥三号在主减速阶 段投影至 y 轴的平均加速度，a1 为嫦娥三号在主减速阶段投影至 x 轴的平均加速度，h1 为近月点轨道高度，h2 为远月点轨道高度，v1 为近月点速度，v2 为远月点速度，b 为降 落点海拔高度绝对值，t 为主减速阶段所用时间。由此通过动能定理及角动量守恒我们 构造出模型一
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2 问题的分析
本文主要研究嫦娥三号由 100km 圆周绕月轨道开始，进行变轨、着陆过程的最优控 制问题。 探测器从环月轨道开始，首先进行霍曼变轨，由一个大约 100km 高度的近似圆形环 月停泊轨道进入一条远月高度 100km，近月高度 15km 的椭圆轨道；当达到近月点时， 发 动机点火制动，探测器进入动力下降阶段；当到达 3km 处时，应达到水平速率为 0，纵 向速率为 57m/s，此时侧向发动机点火，调整姿态使得主发动机对准月面，到达 2400m 处；此时悬停进行粗避障，其后到达 100m 处，进行精避障；而后到达离月面 4m 处， 悬 停，发动机熄火，探测器做自由落体运动，着陆。
关键词：最优控制；月球软着陆；最优轨道；两点边值问题
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1 问题的重述
1.1 背景
随着科学技术的进步和发展，了解太空、探索地球以外的物质，一直是人类不懈追 求的目标。深空探测已成为二十一世纪航天活动的三大热点之一(小卫星或微小卫星星 座、载人航天、深空探测)，主要指对月球、行星及其卫星、行星际进行探测。美国、 俄罗斯、欧洲和日本等拥有空间技术实力的国家都把深空探测作为 21 世纪的重要战略 目标，同时随着各国空间技术的进步和国际合作的扩大，目前已经有更多的国家加入到 这一领域中。而且，随着空间技术的进一步发展，人类深空探测的目的将从认识和探索 空间环境，转而进入开发和利用空间环境及资源[1]。 月球是地球唯一的天然卫星，也是除流星和人造天体之外离我们最近的天体，很自 然的成为初期深空探测的重点， 而且月球探测将为继空间站之后载人航天的下一步—人 类重返月球和建立月球基地提供依据。 在世界各国纷纷制定和实施“重返月球”的战略计划之际，我国月球探测工程的展 开，对于积极参与到月球资源的开发、维护我国对月球的权益，进而促进我国航天技术 的创新与发展有着重要的意义。我国的探月工程（又称嫦娥工程）经过 10 年的酝酿， 最终确定分为“绕”、“落”、“回”3 个阶段。 我们所研究的正是处于第二阶段中的“嫦娥三号”计划的着陆阶段，我们知道解决 航天工程中的燃料最优问题是具有十分重大意义的， 不仅仅在于燃料的发送和燃料本身 的昂贵和珍少，更在于我们的航天器飞的更久更远的技术瓶颈。同样，由于着陆过程速 度极短，基于遥控遥测技术的基本时间条件，航天器无法短时间迅速接受远方控制人员 的指令，这就要求一套算法使得航天器自带处理系统能够自行判断解决着陆地点问题。
2.2 问题 2 的分析
问题 2：对于该问题，我们采用二维模型，也就是以月心为原点，以近月点与月心 连线的延长线为 y 轴，以过月心且在 19.51W 的平面的 y 轴垂线为 x 轴，建立直角坐标 系，在该问题中，不考虑月球自传及日月引力的影响等自然因素，由此我们将动力下降 过程分为四个阶段，第一阶段：主减速段 15km 到 3km，我们由问题可以得出着陆器的 质心运动学方程，同时依据问题所给及第一问所求数据，得出相应变量的初始值，由此 得出条件和约束，最后我们通过性能指标函数得出该问题的目标函数，以求目标函数的 最小值为目的，则当得出该最小值时，其所对应的函数及相关变量即为嫦娥三号的最优 控制策略和着陆轨道；第二阶段：姿态调整 3km 到 2.4km，此阶段可以参照第一阶段做 最优控制；第三阶段：避障阶段 2.4km 到 4m，此阶段通过数字高程图对所摄图片进行 分析，找出地势平缓段；第四阶段：自由落体段，发动机熄火，降落着陆。阶段示意图 如下：
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. A
14017009
东华理工大学 王天宏 陈翠琳 程文俊
(打印并签名)：
许志军
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日
2.1 问题 1 的分析
问题 1：对于该问题，建立以月心为原点，以南北极点连线为 y 轴，x 轴过月心且 垂直 y 轴的直角坐标系， 假设推力 F 的变化满足航天器下落过程中加速度投影至 y 轴的 分量和投影至 x 轴的分量做匀减速运动， 则按照牛顿运动学公式及月面距离对经纬度的 换算模型得出近月点经纬度，由物理学知识通过近月点经纬度得出远月点经纬度。
1.2 要解决的问题
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对于设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
1.3 具体条件及数据
嫦娥三号 100km 绕月轨道运行质量：2.4t； 下部主减速发动机可调节推力：1500N 到 7500N； 比冲（即单位质量的推进剂产生的推力） ：2940m/s； 嫦娥三号的预定着陆点：19.51W，44.12N；海拔：-2641m； 月球平均半径：1737.013km； 22 月球质量：7.3477×10 k； 2 月球重力加速度：1.63 m/s ；
GMm 1 1 2 GMm mv12 mv2 2 R h1 b R h2 b 2 v1 ( R h1 b) v2 ( R h2 b)
4 模型的建立与求解
针对本题中轨道确定及最优控制问题，依据前面的问题分析：
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对问题一，本文将用动能定理及角动量守恒构造的物理模型对近远月点速度求解， 而后由本文假设通过运动学公式求出嫦娥三号从近月点至 3km 处相对月面移动距离， 依 据该距离，利用经纬度换算模型得出近月点的经纬度。 对问题二，在本文假设条件下，建立软着陆坐标系，通过坐标系设立相应量的微分 函数，得出约束，通过对问题一的求解所得数据和题给数据，获得各因变量的初始值， 设立目标函数：某时刻探测器质量与初始时刻探测器质量的差值。以此编写程序，获得 目标函数最小者，及在此情况下各变量的变化情况，以此获得最优控制下的轨道，而各 变量的变化情况即为我们应该设置的最优控制策略。 对问题三，通过控制各变量的改变，得出各变量对消耗燃料值的影响，并通过软件 得出具体的灵敏度分析报告。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略的研究
摘要:本文借助当前研究成果，给出了嫦娥三号的最优控制模型，模型的控制变量为推
力的大小及方向，状态变量为着陆器的速度、位置和质量，目标泛函为消耗的能量， 利 用 Pontryagin 极大值原理将此最优控制问题转化为常微分方程组的两点边值问题，并使 用文献中的初值猜测方法和猜测结果求出状态变量、共轭变量和最优控制策略。 针对问题一，通过机械能守恒等物理学相关知识，得出近月点速度为 1.6935km/s， 远月点速度为 1.6150 km/s， 航天器水平移动距离为 354.482km， 近月点的位置为 19.51W， 44.12±11.7N，远月点的位置为 19.51W，44.12±11.7S。 针对问题二，利用间接法求解最优控制问题，即利用两点边值问题的数值解法求出 各阶段的轨道和最优控制策略，嫦娥三号软着陆总时长为 534s（未考虑悬停时间） ，总 消耗燃料为 1175kg。 1）主减速阶段：推力大小恒为 7500N，推力方向时变，飞行时长为 421s ，消耗燃 料约为 1100kg 。 2）快速调整阶段：推力大小恒为 7500N，推力方向时变，飞行时长为 15s，消耗燃 料约为 39kg 。 3）粗避障阶段：推力前约 50s 时恒零，后约 10s 恒为 7500N，推力方向不变，飞行 时长为 1min ，消耗燃料约为 30kg 。 4）精避障阶段：推力前 30s 时恒零，后 2s 恒为 7500N，推力方向不变，飞行时长 为 32s，消耗燃料约为 5kg。 5）缓速下降阶段：推力前 22m 时恒零，后 4m 恒为 7500N，推力方向不变，飞行时 长约为 6s ，消耗燃料约为 1kg 。 对于避障问题，我们以高度的方差作为评判标准，选取方差最小的区域作为最佳着 陆区域，对 2400m 处和 100m 处的数字高程图都进行粗、细二次扫描搜索，得出在 2400m 处应选取高程图中的[18 , 100]×[118,200]作为着陆区，在 100m 处应选取高程图中的 [109, 77]×[114, 82]作为着陆区。 对问题三，我们简单通过计算分析，初始值对本文最后结果具有影响。
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》 （以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ， 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。
1.r:探测器到月心的距离； 2.v:探测器时实速率； 3.F:常值推力，取 Fmax 或 0； 4. :探测器与月心的连线和 y 轴的夹角； 5. :探测器的角加速度； 6. :推力方向与 or 垂线的夹角； 7.m:探测器的质量； 8.g:月球的引力常数； 9. ve ：比冲； 10. m1 :消耗燃料的质量； 11.R:月球平均半径; 12.G：万有引力常数; 13.M：月球质量; 14.g1：嫦娥三号在主减速阶段投影至 y 轴的平均加速度； 15.a1：嫦娥三号在主减速阶段投影至 x 轴的平均加速度； 16.h1：近月点轨道高度； 17.h2：远月点轨道高度； 18.v1：近月点速度； 19.v2：远月点速度； 20.b：降落点海拔高度绝对值； 21.t：主减速阶段所用时间