面面垂直判定方法
面面垂直判定定理
C D
面面 垂直
例1.A是Δ BCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD 的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B E
C
D
例2 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O 所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意 一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
A A O
l
O B
B
哪个对?怎么画才对?
10
(4)二面角的范围
[0 ,180 ]
A
。
。
(5)直二面角 平面角为直角的二面角 叫做直二面角
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于棱)；
（
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
(1)除了定义之外,如何判定两个平面 互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子?
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l α l 符号表示： αβ B l β
面面垂直的判定定理
复 习
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面 互相垂直． 记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂 直．
1 二面角及二面角的平面角
(1)半平面: 平面的一条直线把平面分 为两部分，其中的每一部 分都叫做一个半平面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。
面面垂直
面面垂直的判定、面面垂直的性质1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．4．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．5．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．6.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.10. 如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.(1)现给出三个条件：①PB＝3；②PB⊥BC；③平面P AB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．解：法一：(1)选取条件①在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝ 2.又∵P A＝AC，∴P A＝ 2.∴在△P AB中，AB＝1，P A＝ 2.又∵PB＝3，∴AB2＋P A2＝PB2.∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，V三棱锥P－ABC＝13P A·S△ABC＝13×2×12×12＝26.法二：(1)选取条件②∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2，∴P A＝2，∴V三棱锥P－ABC＝13P A·S△ABC＝13×12AB·BC·P A＝13×12×1×1×2＝26.法三：(1)选取条件③若平面P AB⊥平面ABC，∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)同法二．。
面面垂直 的 判定
面面垂直的判定面面垂直与线面垂直是高中数学学习的重点内容，面面垂直是指两条直线或两个平面垂直相交的情况，线面垂直是指一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
在解题中，已知面面垂直可推导出线面垂直。
面面垂直的判定1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。
3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
面面垂直的证明方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。
2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。
面面垂直怎么推出线面垂直面面垂直推线面垂直的方法：任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线，因为是同一个面内，所以一定能做出来，然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。
直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
高中数学面面垂直解题技巧1、确定面面垂直的两个面或者直线。
2、利用垂直的性质，如垂直的两条直线斜率的积为-1，或者两个向量垂直的充要条件为它们的内积为0。
3、根据题目条件列方程，利用已知垂直的性质解方程，求解未知数。
4、注意题目中的单位和精度要求，最终结果要进行合理的约分和四舍五入。
面面垂直的性质定理是什么性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。
2.3.2面面垂直的判定
A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2
B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
面面垂直的判定
2) 若PA=AB=a, 6 求二面角A AC = a，求二面角A− PB − C的大 。 小 3
解：过点A在平面 在平面PAC内作 内作AF ⊥ ，交PC于F， ⊥PC， 过点 在平面 内作 于 ， 过点A在平面 内作AE ⊥ ，交PB于E，连EF， ⊥PB， 过点 在平面PAB内作 在平面 内作 于 ， ， E F
P
A
O C
B
课堂练习： 课堂练习：
一、判断： 判断： 1.如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一 如果平面α内有一条直线垂直于平面 如果平面 内有一条直线垂直于平面β内的一 × 直线， 条 直线，则α⊥β.（ ） ⊥ （ 2.如果平面 内有一条直线垂直于平面 内 如果平面α内有一条直线垂直于平面 如果平面 内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线， 的两条直线，则α⊥β.（ ⊥ （ ） × 3. 如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两 如果平面α内的一条直线垂直于平面 内的一条直线垂直于平面β内的两 √ 条相交直线, 条相交直线 则α⊥β.（ ⊥ （ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √ 若 ⊥ ， ， ⊥
证明： 证明：
AB是圆O AB是圆O的直径 是圆 BC⊥ ⇒BC AC 是圆周上异于A 的一点 C是圆周上异于A、B
⇒ BC ⊥ 平面PAC 平面PAC
平面ABC PA ⊥ 平面ABC ⇒BC ⊥ PA BC⊂ 平面ABC BC 平面ABC 平面PAC PAC， 平面PAC AC ⊂ 平面PAC，PA⊂ 平面PAC ACIPA = A
A B D
α α
l
5
B
β A 二面角α－ l－ β
二面角C－AB－ D
α β
β
l
面面垂直的判定公开课课件
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是
直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如图，
面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直
面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直
线面垂直）
性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题
的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般
用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直
通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。
面面垂直的判定
探究2： 已知AB ⊥ 面BCD, BC ⊥ CD 探究2 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC ⊥ 面BCD ∵ AB ⊥ 面BCD 面ABC ⊥ 面ACD ∵ CD ⊥ 面ABC 面ABD ⊥ 面BCD ∵ AB ⊥ 面BCD
B C D A
.如图,四面体P-ABC中 例题 PA ⊥ 平面ABC BC ⊥ AC
1、二面角的画法： 、二面角的画法：
）、平卧式 （1）、平卧式 ）、
（2）、直立式 ）、直立式 ）、
以二面角的棱上任意一点为端点， 棱上任意一点为端点 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上 垂直于棱的两条射线 分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的 分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的 叫做二面角的平面角。 角叫做二面角的平面角。 ∠AOB = ∠A′O′B′ ?
∴ AA1 ⊥ BD ∵ BD ⊥ AC 且AC ∩ AA1 = A
D1 B1
C1
又 ∵ BD ⊂ 面ABCD
D A B
C
∴ BD ⊥ 面AAC1C 1 ∵ BD ⊂ 面A1BD
∴面AAC1C ⊥ 面A1BD 1
P
F
E
A C
B
(1)问此图中有多少个直角三角形?
问此图形中有多少直角三角形？
(2)过A作AE ⊥ PC于E, 过A作AF ⊥ PB于F，连接EF
学完一节课或一个内容， 学完一节课或一个内容， 应当及时小结 小结， 应当及时小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法： 证明面面垂直的方法： （1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直 2、
平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线， 一个平面过另一个平面的垂线，则 这两个平面垂直. 这两个平面垂直. β
面面垂直的判定公开
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
面面垂直的判定
B1
D1
模拟巩固
E
A1
G
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已
知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，
D1D，C1C的中点.
D
求证：平面ABHG⊥平面DEFC
分析: 平面ABHG⊥平面DEFC
A
F B1
线BH⊥平面DEFC
B
线BH⊥线FC 线BH⊥线DC
面ABC 面ACD CD 面ABC 面ABD 面BCD AB 面BCD
D C
例1 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在
的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点, 求证:平面PAC⊥平面PBC.
证: 设已知⊙O平面为α
PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC AC BC
PA AC A
PA 面PAC, AC 面PAC BC 面PBC
BC 面PAC
面PAC 面PBC
模拟巩固
填空
1.过平面α的一条垂线可作_无___数_个平面
与平面α垂直.
练 习
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
是 硬
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
四、直二面角
A
平面角为直角的二面角 叫做直二面角。
B
O
平面和平面垂直
两个平面互相垂直定义
一般地，如果两个平面所成二面角为直 二面角，我们就说这两个平面互相垂直。
记作：
画法：
l
A
情景建构：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平 面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直。
高中数学-面面垂直的判定
复 习
二、二面角的平面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二面角
1、定义
2、求二面角的平面角方法
①点P在棱上
②点P在一个半平面上
③点P在二面角内
A
B
P
γ
β
α
ι
α
β
ι
A
B
α
β
ι
p
ι
p
α
β
A
B
p
α
β
ι
A
B
O
—定义法
—三垂线定理法
—垂面法
二面角
4、直二面角——
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
O
A
B
3、二面角的范围：
[0。,180。]
添加你的文本
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两个平面垂直的判定
两个平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所成二面角为直二面角，则两个平面垂直。
记作：
A
B
C
画法：
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
P
A
B
C
O
2、PD ⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？
P
D
A
B
C
正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点. 求证：平面AH⊥平面DF
请问哪些平面互相垂直的,为什么?探来自：ABC
D
练习、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD D A C B E
证明面面垂直的方法及知识点
证明面面垂直的方法及知识点证明面面垂直的方法及知识点面面垂直是几何图形的一种体现，那该怎么证明呢？证明的方法是的呢？下面就是店铺给大家整理的怎样证明面面垂直内容，希望大家喜欢。
证明面面垂直的方法如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)为方便，下面#后的代表向量。
#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD两组对边平方和分别为：AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BCAD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的.垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
面面垂直的知识点一、初中部分1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
性质定理∶如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
一、面面垂直
（一）定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
（二）性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
二、线面垂直
（一）定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二
维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的"桥梁"。
（二）判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）∶一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1∶如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2∶如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
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2.画法
平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面
的垂线，则这两个平面垂直.
β l
α
l ,l
3.面面垂直判定方法 （1）定义 直二面角
（2）判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直。
Aα
线面垂直 面面垂直
D
a ,a
A A1
范围 [0°，180°]
9
直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
相交成直二面角的两个平面，叫做互 相垂直的平面.
附:角与二面角之间的关系
角
二面角
从平面内一点出
定义 发的两条射线所
组成的图形.
从空间一条直线出 发的两个半平面所
组成的图形.
A 边
面
• 图形 顶点 O
边
B
A 棱 面a
A
C
B
A1
E
C1
B1
β
B
C
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB 是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上 不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
B
O
如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为___9__0_0__； (2)二面角B－PA－D的度数为____9_0_0__； (3)二面角B－PA－C的度数为___4__5_0__；
∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE，
图2-4-2
返回目录
∴SA⊥BC. 又∵AD⊥BC,AD∩AS=A, ∴BC⊥平面SAD.
∵SH 平面SAD，∴SH⊥BC.
又∵SH⊥AD,AD∩BC=D, ∴SH⊥平面ABC.
【评析】证明线面垂直，需先有线线垂直，抓住条件中 两个等腰三角形共用一条边，抓住公共边的中点，通过 作辅助平面，找到所需要的另一条直线.
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面
为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M
为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
作业：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱指底面是正三角形，侧棱与底面垂
直的三棱柱），E为B B1 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
一、二面角
半平面
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
1
1、二面角定义：
B
类比
O A
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
记为：二面角－AB－
2、画法
A
B
二面角－AB－
D1
C1
A1
B1
Q
P
D
C
1
A
B
变式：（１）求直线AC与平面A1B1CD所成的角
中心：等边三角形特有的 重心：三角形三边上的中线的交点 垂心：三角形底边上高的交点 内心：三角形角平分线的交点 外心：三角形三边垂直平分线的交点
过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心. 2).若PA = PB = PC,∠C = 900 ,则O是AB边的__点. *3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC 的_____心.
练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为 △ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC
(1)四面体P-ABC中有几个直角三角形
(2)指出PB,PC与平面ABC所成的角 AC,PC与平面PAB所成的角 P
A
C
B
例３练习在正方体ABCD—A1B1C1D1 中， 求直12线..两两A1平B直与行线平直与面线一A和1个B一1平CD个面所平所成面成的所的角成角的相角等相,它等们吗平？行吗 ？
l
C B D
A
二面角C－AB－ D
二面角－ l－
3、二面角的平面角
二面角的大小如何来度量？
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角－ l－ 的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
B1 B
？ ∠A O B
∠A1O1B1
l
O1 O
∵AC 平面AKC，∴BD⊥AC.
如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，
作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，
求证：
SH⊥平面ABC.
【分析】考查线面垂直的判定定理.
【证明】取SA的中点E， 连接EC，EB.
∵SB=AB,SC=AC,
∴SA⊥BE,SA⊥CE.
又∵CE∩BE=E,
复习
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
la
l b a Βιβλιοθήκη l
b
a b A
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
l
b
Aa
线面垂直的判定
在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
B
构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面
表示法 AOB
二面角
a 或 AB
一、二面角的平面角的作法和求法
1、定义 构造普通三角形求角
2、作(找)面的垂线 构造直角三角形求角
A O•
l
B
A•
D
O
l
二、面面垂直 1.定义
两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直。