05 金属自由电子气体模型

pˆ = −ih∇ --动量算符
处在 ψ kv (rv)态的电子具有一个与矢量 kv 成正比的确
定的动量： pv = hkv 速度：vv = pv = hkv
mm
能量：ε = p2 = 1 mv 2 2m 2
波长：λ = 2π
k
7
4.1 模型及基态性质
将平面波解代入边界条件：
e ikxL = e ikyL = e ikzL = 1
2m 3ε
12
µ
=
ε
F
⎡ ⎢1 ⎢⎣
−
π2 12
⎜⎛ ⎝
kBT εF
⎟⎞2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
一般T,
kBT << ε F
µ ≈εF
16
4.2 自由电子气体的热性质
三 电子比热
定容比热：
cV
=
⎜⎛ ⎝
∂u ∂T
⎟⎞ ⎠V
u=U V
∑ ∑ U—内能： U = 2 kv ε (kv) fkv
N =2 kv
f kv
假设碰撞后电子出现的方向是随机的，
vv0 对总体的电子平均速度 vv平无影响，
vv平 由各电子的附加速度取平均获得：
vvd
=
vv平
=
−
eEvτ m
23
4.3 电场中的自由电子
电流密度：
Jv
=
−nevvd
=
ne 2τ m
Ev
Jv = σEv --欧姆定律
σ = ne2τ m
电导率∝传导电子浓度，与m成反比
9
4.1 模型及基态性质
在 kv 标度下的态密度 g(kv)：
dN
=
g(kv)dτ kv
=
V 4π
3
dτ kv
态密度 g(ε ) ：单位体积样品、单位能量间隔，包
含自旋的电子态数。
dN = Vg(ε )dε
由 的球ε =面h。2k 2自2由m 所电确子定在的kv 空关间系的，等在能kv空面间是是球半面径。为 2mε h
+1
µ --系统化学势：在温度和体积不变的条件下，系 统增加一个电子所需自由能.
N
=
∑
fi
=V
∞
∫0
g(ε
)f
(ε
)dε
i
14
4.2 自由电子气体的热性质
1 T→0
lim
T →0
f
(ε i
)
=
1,
εi < µ
lim
T →0
f
(ε i
)
=
0,
εi > µ
绝对零度时，能量在 µ 以下的状态全部被电子占满，
理学院 物理系 沈嵘
第四章 金属自由电子气体模型
4.1 模型及基态性质 4.2 自由电子气体的热性质 4.3 电场中的自由电子 4.4 霍尔效应和磁阻 4.5 金属的热导率 4.6 自由电子气体模型的局限性
1
4.1 模型及基态性质
4.1 模型及基态性质
一 经典电子气模型的基本假设
金属：价电子→传导电子
4
4.1 模型及基态性质
二 量子自由电子气模型--单电子本征态和本征能量
1 薛定谔方程 ⇒ 三维势井中的单电子问题
V (x, y, z) = 0 0 < x, y,z < L
势能：
V (x, y, z) = ∞ x, y, z ≤ 0或 x, y, z ≥ L
每一电子满足波动方程：
− h2 ∇2ψ (rv) = εψ (rv)
pv = mvv
29
4.4 霍尔效应和磁阻
( ) m⎜⎛ d ⎝ dt
+
1 τ
⎟⎞v ⎠
x
=
−e
Ex
+ vyB
( ) m⎜⎛ d ⎝ dt
+
1 τ
⎟⎞v ⎠
y
=
−e
Ey
− vxB
m⎜⎛ ⎝
d dt
+
1 τ
⎞⎟v ⎠
z
=
−eEz
对静电场中的稳态，时间导数为零，漂移速度为：
vx
=
−
eτ m
Ex
− ωcτv y
vy
=
−
eτ m
Ey
+
ωcτv x
ωc
=
eB m
--回旋频率
vz
=
−
eτ m
Ez
30
5
Jv = −nevv σ = ne2τ m
σ 0 E x = J x + ωcτJ y σ 0 E y = −ωcτJ x + J y
4.4 霍尔效应和磁阻
长方体样品, 沿x轴施加外电场Ex, 存在电流Jx, 在z轴 加磁场B后, 产生洛仑兹力在负y方向作用到电子上.
pv (t
+
dt
)
=
⎜⎛ ⎝
1
−
dt τ
⎞⎟[
⎠
pv (t
)
+
Fv
(t
)dt
]
pv (t
+
dt ) − pv(t ) = Fv (t )dt −
dpv(t )dt=Fra bibliotekFv(t
)
−
pv (t
τ
)
pv (t
)
dt τ
——自由电子在外场作用下的动力学方程
21
4.3 电场中的自由电子
三 金属的电导率
1 经典图象 无外场：传导电子作无规运动：vv平 = 0
2m
−
h2 2m
⎜⎜⎝⎛
∂2 ∂2x
+
∂2 ∂2 y
+
∂2 ∂2z
⎟⎟⎠⎞ψ
(
x,
y,
z
)
=
εψ
(
x,
y,
z
)
5
4.1 模型及基态性质
2 边界条件 ——周期性边界条件：
ψ (x + L, y, z, t ) =ψ (x, y, z, t ) ψ (x, y + L, z, t ) =ψ (x, y, z, t ) ψ (x, y, z + L, t ) =ψ (x, y, z, t )
电子聚集在导体负y方向一侧，在y方向建立电场。
平衡时，这个横向场—霍尔电场Ey对电子的作用将
抵消洛仑兹力。电流沿x方向。
31
4.4 霍尔效应和磁阻
J y = 0 时，霍尔电场：
Ey
=
− ωcτ σ0
Jx
=
−
B ne
Jx
定义
RH
=
Ey JxB
--霍尔系数
RH
=
−1 ne
对自由电子，霍尔系数为负.
测定霍尔系数是确定载流子浓度的重要手段之一.
4.3 电场中的自由电子
一 准经典模型
1 电子受到散射
牛顿定律、热平衡
2 弛豫时间（relaxation time) τ
dt 碰撞几率： dt τ
∆x
≈
h ∆p
>>
1 kF
≈
rs
准经典： vth → vF
经典处理
相差 ε F kBT 倍
20
4.3 电场中的自由电子
二 电子的动力学方程 t pv(t ) dt
标轴方向的间隔都是 2π L ，每个代表点占有体积:
∆kv = ⎜⎛ 2π ⎞⎟3 = 8π 3 ⎝ L⎠ V
8
4.1 模型及基态性质
∆kv = ⎜⎛ 2π ⎟⎞3 = 8π 3 ⎝ L⎠ V
单位 kv 空间体积中 kv 值数目：
1 ∆k
=
V 8π
3
对位每kv 一空间kv 态 体，积电所子允有许两的种单电不子同态的数自目旋：状V态4。π 3∴单
Jv
=
−nevvd
=
ne 2τ m
Ev
σ = ne2τ Jv = σEv
m
3 电子的平均自由程 经典电子气：l = v0τ
量子电子气：l = vFτ
电子平均自由程比经典理论结果大很多.
27
4.3 电场中的自由电子
经典电子气—电子之间、电子与晶格原子实间的 碰撞产生电阻。 量子电子气—理想周期破坏，即原子实振动，缺 陷等对电子的散射产生电阻。
2
索末菲电子气图象
自由电子： mvv = hkv
在均匀的与时间无关的电场中： Fv = −eEv
24
4
4.3 电场中的自由电子
由牛顿第二定律：
Fv
=
m
d dt
vv
=
h
d dt
kv
=
−eEv
积分，得：kv(t
)
−
kv(0)
=
−
e h
Evt
没有碰撞时，恒定的外加电场使
kv 空间中
的费米球匀速移动. 电子气填充以 kv 空间原点为中心的费米球.
u
=
∫∞ 0
εg(ε
)
f
(ε
)dε
n
=
∫∞ 0
g(ε
)
f
(ε
)dε
u
=
u0
⎡ ⎢1 + ⎢⎣
5π 2 12
⎜⎛ ⎝
T TF
⎟⎞
2
⎤ ⎥
⎠ ⎥⎦
u0 --基态时电子的平均能量
cV
=
⎜⎛ ⎝
∂u ∂T
⎟⎞ ⎠V
=π2 2
T nkB TF
17