高三数学培优补差上(易错题分析)精品!!

高三培优补差（易错题分析）精品！！
1. 集合与函数、导数部分易错题分析
2.
不等式单元易错题分析
3. 三角函数易错点解析
集合与函数、导数部分易错题分析
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.
2．你会用补集的思想解决有关问题吗？
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{
}1|2-=
x y x 、{
}1|2-=x y y 、{}
1|),(2-=x y y x 的区别是什么？
4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：(
)
012
2
>--b x a
6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？
7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
什么是映射、什么是一一映射？
[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个
A 到
B 上的一一映射.
9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？
[问题]：已知函数()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()
2
2
x f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是
是否将定义域放在首位）
[问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=,1
32图象与()11
+=-x f
y 的图象关于直线()的值对称，求11g x y =.
10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗?
[问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log x x x f a 在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。

12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）
13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成
立问题）.这几种基本应用你掌握了吗？ [问题]：写出函数)0()(>+
=m x
m
x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方
法与利用均值不等式求函数的最值的联系是什么？
[问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解
1、忽略φ的存在： 例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．
【错解】A ⊆B ⎩⎨
⎧≤-+≤-⇔5
121
2m m ，解得：33≤≤m －
【分析】忽略A =φ的情况.
【正解】（1）A ≠φ时，A ⊆B ⎩
⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －； （2）A =φ 时，121->+m m ，得2<m .综上所述，m 的取值范围是（∞-,3]
2、分不清四种集合：{
}()x y f x =、{
}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}
()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =
，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为
（ ） （A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2 【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D .
【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，{
}()x y f x =、{}
()y y f x =、
{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥分别表示函数)(x f y =定义域，值域，图象上的点的坐标，
和不等式()()g x f x ≥的解集.
【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个
交点.即本题选C .
3、搞不清楚是否能取得边界值：
例题3、A ={x |x <－2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且B ⊆A ，求m 的范围. 【错解】因为B ⊆A ，所以：12
9110m m m -<-⎧⇒>⎨
+>⎩
.
【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.【正解】因为B ⊆A ，所以：12
9110
m m m -≤-⎧⇒≥⎨
+≥⎩.
4、不理解有关逻辑语言： 例题4、“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M 的元素都不是P 的元素；⑵M 中有不属于P 元素；⑶M 中有P 的元素；⑷M 的元素不都是P 的元素，其中真命题的个数有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【错解】常见错误是认为第（４）个命题不对.
【分析】实际上，由“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题知非空集合M 不是集合P 的子集，故“M 的元素不都是P 的元素”（M 的元素有的是、有的不是集合P 的元素，或M 的元素都不是P 的元素）是正确的.【正解】正确答案是B （2、4两个命题正确）.
5、解集错误地写成不等式或不注意用字母表示的两个数的大小：
例题5、若a <0, 则关于x 的不等式0542
2
>--a ax x 的解集是 . 【错解】x <－a 或x >5 a
【分析】把解集写成了不等式的形式；没搞清5 a 和－a 的大小.【正解】{x |x <5 a 或x >－a } 6、不能严谨地掌握充要条件的概念：
例题6、题甲“a ，b ，c 成等比数列”，命题乙“ac b =
”，那么甲是乙的………………（ ）
（A ） 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又非必要条件 【错解】选C 【分析】若a ，b ，c 成等比数列，则b ac =±；若ac b =
，则有可能0,0b a c ==或.
【正解】正确答案为：D
7、考虑充要条件时，忽略了前提条件： 例题7、△ABC 中，“A =B ”是“sinA =sinB ”的…………………………………（ ）条件 （A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ） 非充分非必要 【错解】错选A
【分析】实际上，由“A =B ”能推出“sinA =sinB ”；在△ABC 中，由正弦定理2sin ,2sin a R A b R B ==及“sinA =sinB ”，可知a b =，从而有“A =B ”成立.【正解】正确答案为C . 8、不能正确地理解有关概念，导致推理错误：
例题8、已知直线m 、n 和平面α、β，其中m ⊂α、n ⊂β，则α∥β的一个充分不必要条件是：（ ） （A ）α⊥γ,β⊥γ （B ） m ∥β, n ∥β
（C ） α∥γ,β∥γ （D ）α内不共线的三点到β的距离相等 【错解】错选A .【分析】注意：寻找的是一个充分不必要条件.
学生往往错误地认为：α∥β⇒某条件，且某条件不能推出α∥β.
而实际上，应该是：某条件⇒α∥β，且α∥β不能推出某条件.【正解】正确答案为C .
9、逻辑推理混乱：
例题9、使不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立的充分而不必要的条件是…………………（ ）
（A ）}11|{>-<x x x 或 （B ） }11|{<<-x x （C ） }11|{≠->x x x 且 （D ）}11|{-≠<x x x 且 【错解】搞不清所要求的条件和不等式0)1|)(|1(>+-x x 的关系.
【分析】所要求的“某条件”满足：（1）“某条件”⇒不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立； （2）“某条件”
不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立；【正解】正确答案为：B
10、不会用“等价命题”推理：
例题10、设命题p ：|4x －3|≤1，命题q ：2
(21)(1)0x a x a a -+++≤，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，
则实数a 的取值范围是 . 【错解】常见错误解答是：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【分析】解答此题比较好的思路是：由⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件得知p 是q 的充分而不必要条件，然
后再解两个不等式，求a 的取值范围.【正解】正确答案是10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
11、不注意数形结合，导致解题错误.
例题11、曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个不同交点的充要条件是 【错解】误将半圆241x y -+=认为是圆.
【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为：
53124
k <≤ 二、函数部分
1、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称. 例题1、函数x
x
x x f -+-=11)
1()(的奇偶性为 【错解】偶函数.【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误. 【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数 2、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识： 例题2、()sin f x x x =⋅，若12,[,]22
x x ππ
∈-
时，12()()f x f x >，则x 1、x 2满足的条件是 ；
【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题. 【分析】可以判断出f (x )是偶函数，且在[0,]2
π上是增函数.
【正解】由f (x )在[,]22ππ
-
上的图象可知答案为12 || ||2
x x π
≥≥. 3、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：
例3、函数log (01),a y x a a =>≠且当[)2,x ∈+∞时，1,y ≥则a 的取值范围是…（ ） （A ）2102≤
<≥a a 或（B ）212≥≤a a 或 （C ） 21121≤<<≤a a 或 （D ） 22
1
≤≤a 【错解】只想到1a >一种情况，选D
【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.【正解】正确答案为：C 4、不理解函数的定义：
例4、函数y =f (x )的图象与一条直线x=a 有交点个数是……………………………（ ） （A ）至少有一个 （B ） 至多有一个 （C ）必有一个 （D ） 有一个或两个 【错解】选A 、C 或D
【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A 到非空数集B 的映射，故定义域内的一个x 值只能对应一个y 值）.【正解】正确答案为：B 变式、在同一坐标系内，函数1
1()2
,()2x x f x g x +-==的图象关于…………………（ ）
（A ） 原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ） 直线y =x 对称
【错解】没有思路.【分析】要知道1()2,()2x
x f x g x ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
两函数的图象关于y 轴对称.
【正解】1
()2
x f x +=的图象由的图象向左平移1个单位而得到，1()2
x
g x -=＝1
12x -⎛⎫ ⎪⎝⎭
的图象由12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的
图象向右平移一个单位而得到.故选C.
基础练习题
1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}
2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ C ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或2
2、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ C ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]
3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x
+=的图象必定不经过（ A ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4、将函数()x
x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关
于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ B ） A. ()11log 2+-=x y B. ()11log 2--=x y C. ()11log 2++=x y D. ()11log 2-+=x y
5、已知函数()()x x f a
-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()
2
1log x x g a -=的单调减区间是
（ D ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 6、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ B ）
A. ⎪⎭
⎫
⎝⎛23,2ππ B. ()ππ2, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,23ππ D. ()ππ3,2
7、设()x x x f sin =，1x 、⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（ D ）
A. 1x ＞2x
B. 1x +2x ＞0
C. 1x ＜2x
D. 2
1x ＞2
2x 8、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ A ）
A. α＜β
B. α＞β
C. α=β
D. 无法确定α与β的大小
9、若α、β是关于x 的方程()05322
2
=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根，则2
2βα+的最大值等
于（ C ） A. 6 B. 9
50
C. 18
D. 19 10、若ax y =与x
b y -
=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3
的单调性描述正确的是（ C ） A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数
C. 在()+∞∞-,上是减函数
D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数
11、已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是（ B ）
A. ()1,3--
B. ()()3,11,1 -
C. ()()+∞-,30,3
D. ()()+∞-,21,3
12、不等式()
32log 2
+-x x a ≤1-在R x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ C ）
A. [)+∞,2
B. (]2,1
C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21
D. ⎥⎦⎤
⎝⎛21,0
13、方程0122
=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是（ C ）
A. 0<a ≤1
B. a ＜1
C.a ≤1
D. 0<a ≤1或a < 0 14、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1
-=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是C
（A ） （B ）
（C ） （D ）
15、函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈（0，3）时()x
x f 2
=，则当x ∈（6-，
3-）时，()x f =（ B ）
A. 6
2
+x B. 6
2
+-x C. 6
2
-x D. 6
2
--x
16、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=34812
3
的图象关于原点中心对称，则()x f B
A. 在[]34,34-上为增函数
B. 在[]
34,34-上为减函数
C. 在[)+∞,34上为增函数，在(]34,-∞-上为减函数
D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数
17、ααcos sin +=t 且αα3
3
cos sin +＜0，则t 的取值范围是（ A ） A. [)0,2- B. []2,2- C. ()(]2,10,1 - D. ()(
)
+∞-,30,3
18、二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ D ）
A. ()+∞,0
B. [)+∞,2
C. (]2,0
D. [2,4] 19、已知函数()d cx bx ax x f +++=2
3
则 （ B ）
A. ()0,∞-∈b
B. ()1,0∈b
C. ()2,1∈b
D. ()+∞∈,2b
20、设(){}
12,2++==bx x y y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}
φ==P M b a S ,，则S 的面积是 （ A ） A. 1 B. π C. 4 D. 4π
二、填空题：
21、函数x y 1=
（x ＞-4）的值域是____()1,0,4⎛
⎫-∞+∞ ⎪
⎝
⎭________________.
22、函数52--+=x x y 的值域是______[]7,7-__________________.
23、函数x x y -+=
3的值域是________
_________________.
24、若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x =______10____. 25、设定义在区间[
]
222,22
---a a
上的函数()x x x f --=33是奇函数，则实数a 的值是
_________2______________.
26、函数()12-=
x x f （x <-1）的反函数是___)0y x =>____.
27、函数()2
p
x p x x f +-
=在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是______1p ≥______________.
28、已知集合{}
a x ax x x A -≤-=2，集合(){}21log 12≤+≤=x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值
范围是___[]1,3____.
29、已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()x f 是单调递增的，则不等式()1+x f ＞
()x f 21-的解集是____()(),02,-∞+∞________.
30、已知()()
x x x f a a log log 2
+-=对任意⎪⎭
⎫
⎝⎛∈21,
0x 都有意义，则实数a 的取值范围是_______1,116⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
_______
31、函数432
--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--
4,425，则实数m 的取值范围是______3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
________________.
32、函数()cox x xcox
x f ++=
sin 1sin 的值域是___121,11,22⎡⎤⎛⎤
---- ⎢⎥
⎥ ⎣⎦⎝
⎦___. 33、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，
2
1
23+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_________2___________________.
34、已知a ＞1，m ＞p ＞0，若方程m x x a =+log 的解是p ，则方程m a x x
=+的解是
_______m p -_____________.
35、已知函数()()3122
--+=x a ax x f （a ≠0）在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,23上的最大值为1，则实数
a 的值是____
34
或32--________________.
36、对于任意实数x 、y ，定义运算x *y 为：x *y =cxy by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式
右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，则m =____________4_____.
37、已知函数()()()[]
111lg 2
2
+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是_____5
3
a >
或1a ≤- ___________________.
38、若函数())4(log -+
=x
a
x x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是___04a <≤或1a ≠_____________.
39、若曲线()2
1a x y --=与2+=x y 有且只有一个公共点P ，O 为坐标原点，则
OP 的取值范围是___
2⎤⎦_____.
40、若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足
()()()[]n x f x f x f n
++211
≤⎪⎭
⎫
⎝
⎛++n x x x f n 21
，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是
41、正实数x 1，x 2及函数，f (x )满足1)()(,)
(1)
(1421=+-+=
x f x f x f x f x
且，则)(21x x f +的最小值为
（ B ） A ．4
B ．
5
4 C ．2 D ．
4
1 42、已知函数0)1(),0()(2
=>++=f a c bx ax x f ，则“b > 2a ”是“f (－2) < 0”的（ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
43、一次研究性课堂上，老师给出函数)(|
|1)(R x x x
x f ∈+=
，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给
出命题：
甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：若规定|
|1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*
∈N n 恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有（ D ）A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
44、已知函数3
()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞))； 45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个
格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π
③x
x f )3
1()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 ①②④ .（填上
所有满足题意的序号）
46、已知二次函数)1(,)(2
++=x f bx ax x f 为偶函数，函数f （x ）的图象与直线y=x 相切. （1）求f （x ）的解析式
（2）若函数),(])([)(+∞-∞-=在x k x f x g 上是单调减函数，求k 的取值范围. （1）∵f （x+1）为偶函数，∴即),1()1(+=+-x f x f
)1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立，即（2a+b ）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a
∴ax ax x f 2)(2
-=∵函数f （x ）的图象与直线y=x 相切， ∴二次方程0)12(2
=+-x a ax 有两相等实数根， ∴004)12(2=⨯-+=∆a a ，x x x f a +-=-=∴22
1
)(,21 （2）∵kx x x x g -+-
=23
2
1)(， '23
()2,()(,)2g x x x k g x ∴=-+--∞+∞在上是单调减函数上恒成立，在),(0)('+∞-∞≤∴x g
32,0))(23(44≥≤---=∆∴k k 得，故k 的取值范围为),3
2
[+∞
48、定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两
个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为____ (答：(sin )(cos )f f αβ>)； 49、函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)
50、如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是__ (答：12
x =-
)． 51、已知函数3
()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或
24540x y --=）。

52、已知函数3
2
()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，15
2
-） 53、函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）
54、设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____
（答：)}2,2{(--）
55、}012|{2
=--=x ax x A ，如果φ=+
R A ，求a 的取值。

（答：a ≤0）
56、已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求
实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2
-） 57、若函数
)(x f 的导函数为)1()(+-='x x x f ，则函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调递减区间是（C ）
（A ）]0,1[- （B ）]1,0(),,1[+∞a
（C ）]1,1[a
（D ）),1[],1,(+∞-∞a
a
58、定义在R 上的函数)(x f y =，它同时满足具有下述性质： ①对任何);()(33x f x f R x =∈均有
②对任何).()(,,212121x f x f x x R x x ≠≠∈均有则=-++)1()1()0(f f f 0 .
59、已知全集U =R ，集合},3|{},,2|{3R x x x y y B R x y y A x ∈-==∈-==，则 A ．}04
9
|{<<-
x x B ．}49|{-<x x
C ．{（1，－2）}
D ．}4
9
|{-≤x x （ ）
60、若y ＝3|x |(x ∈[a ，b ])的值域为[1，9]，则a 2＋b 2－2a 的取值范围是（ ） A ．[2，4] B ．[4，16] C ．[2，23] D ．[4，12] 61、若函数)2,2()(2
1
)(-++=
在为常数，a x ax x f 内为增函数，则实数a 的取值范围（A ） A ．),21(+∞ B ．),21[+∞ C ．)21,(-∞ D ．]2
1,(-∞
62、 (12分)设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，32()T t at bt ct d =+++，(0)a ≠其中温度的单位
是C ，时间的单位是小时。

t=0表示12:00, t 取正值表示12:00点以后。

若测得该物体在8:00的温度为8C ,12:00的温度为60C ,13:00的温度为58C ,且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率。

（1）写出该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；
（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00,14:00）何时温度最高？并求出最高温度。

（1）2
()32,T t at bt c '=++依题意得
2264164860583(4)2(4)3424a b c d d a b c d a b c a b c
-+-+=⎧⎪=⎪
⎨
+++=⎪
⎪-+-+=⋅+⋅+⎩ 解得：a=1,b=0,c =－3,d=60 故T(t)=t 3
-3t+60 （2）()3(1)(1)T t t t '=-+=0,得：1t =±
比较T （－2）,T （－1）,T （1）,T （2）知，在10:0014:00这段时间中，该物体在11:00和14:00的温度最
高，且最高温度为62C .
不等式单元易错题练习
1、不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）
，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若
0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则
a b
c d
>）
；
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n
a b >>（4）若0,ab a b >>，
则
11a b <；若0,ab a b <>，则11
a b
>.如（1） （2）已知11,13x y x y -≤+≤≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；
（3）已知a b c >>，且0a b c ++=则
c a 的取值范围是______（答：12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭）
2. 不等式大小比较的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ；（8）图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如 （1）设01,0a a t >≠>且，比较11
log log 22
a a
t t +和的大小 答：当1a >时，11log log 22a a
t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22
a a t t +≥（1t =时取等号））；
（2）设2421
2,,22
a a a p a q a -+->=+
=-，2a >，试比较,p q 的大小（答：p q >）
； （3）比较1log 3x +与()2log 201x x x >≠且的大小. 答：当01x <<或43x >
时，1log 32log 2x x +>；当413x <<时，1log 32log 2x x +<；当4
3
x =时，1log 32log 2x x +=
3. 利用重要不等式求函数最值时，有：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

如（1）下列命题中正确的是
A 、1y x
x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2
C 、()4
230y x x x =--
>的最大值是2-
D 、()4
230y x x x
=-->的最小值是2-（答：C ）；
（2）若21x y +=，则24x y
+的最小值是______（答：；
（3）正数,x y 满足21x y +=，则11
x y
+的最小值为______
（答：3+）； 4.常用不等式有：
（1
2
112a b a b
+≥≥+ (根据目标不等式左右的运算结构选用) ；
（2）2
2
2
,,,a b c R a b c ab bc ca ∈++≥++，（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则
b b m
a a m
+<
+（糖水的浓度问题）。

如：如果正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是____（答：[)9,+∞）
5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、
配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。

). 常用的放缩技巧有：
()()211111111111n n n n n n n n n
-=<<=-++--
=
<<=如（1）已知a b c >>，求证：2
2
2
2
2
2
a b b c c a ab bc ca ++>++ ； （2） 已知,,a b c R ∈，求证：()22
22
22
a b b c c a abc a b c ++>++；
（3）已知*
,,,a b x y R ∈，且
11
,x y a b
>>，求证：
x y x a y b >++； （4）若,,a b c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222
a b b c c a a b c +++++>++ （5）若*
n N ∈
()1n n +<；
（7）已知a b ≠，求证：
a b a b a b a b -+≤
-+； （8）求证：2
22111
1223
n
+
+++
<。

6.简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

如（1）解不等式()()2
120x x -+≥。

（答：{}|12x x x ≥
=-或）；
（2）不等式(20x -≥的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）；
（3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<，
()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x ⋅>的解集为______（答：()
[),12,-∞+∞；
（4）要使满足关于x 的不等式2
290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式2
430
x x -+<和2
680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：817,
8⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
） 7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

如（1）解不等式
25123
x
x x -<---（答：()
()1,12,3-）
； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式
02
ax b
x +>-的解集为____________
（答：()(),12,-∞-+∞）.
8.绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式31
2242
x x -
≥-+（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞）
（4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

（答：43⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
） 9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之
后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若()2log 3a
x a R >∈，则a 的取值范围是__________（答：1a >或2
03
a <<）
； （2）解不等式
()21ax x a R ax >∈-（答：0a =时，{}|0x x <；0a >时，1|0x x x a ⎧⎫
><⎨⎬⎩⎭或；0a <时，1|00x x x a ⎧⎫
<<<⎨⎬⎩⎭
或 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

如关于x 的不等式0ax b ->的解集为(),1-∞，则不等式2
0x ax b
->+的解集为__________（答：（－1,2））
10.含绝对值不等式的性质：
,a b 同号⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；,a b 异号⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.
如设()2
13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()()
21f x f a a -<+
11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分
离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
如（1）设实数,x y 满足()2
2
11x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______
（答：)
1,+∞）；
（2）不等式43x x a -+->对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（答：1a <）；
（3）若不等式()
2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答
：
⎝⎭
）
； （4）若不等式()
()1
112n n
a n
+--<+
对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：32,2⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
）；
（5）若不等式2
2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12
m >-） 2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
如已知不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >） 3). 恰成立问题
若不等式()f x A >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x A >的解集为D ； 若不等式()f x B <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()f x B <的解集为D . 例题选讲：
例题1 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①2
2
,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,2
2
； ③2
2
,0b ab a b a >><<则若；④b
a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b
c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11
,
a b a b
>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； 例题2、已知二次函数2
()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。

错解：
(1)f a b -=-，(1)f a b =+，
{
1225
a b a b ≤-≤≤+≤∴37
22
13
22
a b ≤≤≤≤⎧⇒⎨⎩ 又
(3)93f a b -=-
9(3)30f ∴≤-≤
正解：设(3)(1)(1)f mf nf -=-+，则有93()()a b m a b n a b -=-++，即
{
{
96
3
3m n m m n n +==-==⇒ (3)6(1)3(1)f f f ∴-=-+
又
1(1)2f ≤-≤， 2(1)5f ≤≤， 12(3)27f ∴≤-≤
剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围
的题时务必要检查等号能否成立。

例题3、已知703
x <<
，求2
()(73)f x x x =-的最大值。

错解：2
311273343(73)2(73)()22354
x x x x x x x x ++--=-≤=
343()54f x ∴≤，即()f x 的最大值为343
54。

正解1：2431372337232
394)37(232394)37()(3
2=⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-++≤-⋅⋅⋅=-=x x x x x x x x x f 因此，当且仅当
3147329x x x =-⇔=时，()f x 的最大值为
1372
243。

正解2：（用导数知识解）
223()(73)73f x x x x x =-=-，
∴2
()149f x x x
'=-，令()0f x '=，得2
14900x x x -=⇒=或14
9
x =
又703x <<
，且当14(0,)9x ∈时，()0f x '>；当147
(,)93
x ∈时，()0f x '< ∴当149x =时，()f x 的最大值为1372243。

剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、三相等”中的第三个
条件，因为无论x 在7
03
x <<
中取何值，等式273x x x ==-都不成立。

例题4、已知0a >且1a ≠，关于x
的不等式1x
a >
的解集是{
}
0x x >，解关于x 的不等式1log ()0
a x x
-<的解集。

错解：21111log ()011022
a x x x x x x x +-<⇔-
<⇔-
-<⇔<< 正解：因为关于x 的不等式1x
a >的解集是{
}
0x x >，所以1a >，故
1011
11
log ()012x x
a x x x x x ->-<
⎧--<⇔⇔-<<
⎨⎩或1x <<
∴ 原不等式的解集是115
(1,(1,
2
2
+-。

剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于0，其二、忽视了分式不等式正确解法。

例题5、已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+
，1
b b
β=+，求αβ+的最小值。

错解：
a 、
b 都是正数，
∴21
21,212
1=⋅≥+==⋅
≥+=b
b b b a a a
a βα ∴ 11224a
b a b
αβ+=+++≥+=，即αβ+的最小值为4。

正解：a 、b 都是正数，且1a b +=，∴2
11
()424a b ab ab
+≤=⇒≥
∴ 1111()()1a b a b a b a b a b ab αβ++=+++=+++=+115ab
=+≥
∴ 当且仅当12
a b ==时，αβ+的最小值为5。

剖析：21
21=⋅≥+
=a
a a a α中等号成立的条件是当且仅当1a =，而 21
21=⋅≥+
=b
b b b β中等号成立的条件是当且仅当1b =。

这与1a b +=矛盾， 因此解题中忽视了条件1a b +=，从而造成错误。

例题6 解不等式(
10x -≥.
错解一：原不等式可化为⎩⎨⎧≥--≥-.
02,
012x x x ， 解得x≥2．∴原不等式的解集是{x|x≥2}.
错解二：在不等式f(x)·)(x g ≥0中，按f(x)的取值情况分类，
有⎪⎩⎪⎨⎧≥>0)(,0)(x g x f ，或⎪⎩⎪⎨⎧≥=0
)(,0)(x g x f ． 当x – 1 > 0，即x > 1时，原不等式等价于x 2
– x – 2 ≥ 0，解得x ≥ 2； 当x – 1 = 0，即x = 1时，显然)(x g 无意义，其解集为Φ．
综上所述，原不等式的解集为{x|x ≥ 2}． 错因：错解一中，当x = - 1时，原不等式也成立，漏掉了x = - 1这个解．原因是忽略了不等式中“≥”
具有相等与不相等的双重性．事实上， 不等式f(x)·)(x g ≥0与⎩
⎨
⎧>≥0)(,
0)(x g x f 或g(x) = 0同解.
错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况⎩⎨
⎧=<.
0)(,
0)(x g x f
即当x – l < 0，且x 2
– x – 2 = 0时也合乎条件，即补上x = - 1． 故原不等式的解集为{x|x≥2，或x = - 1}．
分析一：符号“≥”是由符号“>”“ = ”合成的，故不等式f(x)·)(x g ≥ 0可转化为f(x)·)(x g > 0或f(x)·)(x g = 0．
正解一：原不等式可化为(I)(x-1)22--x x > 0，或(Ⅱ)(x - 1)02--x x = O ．
(I)中,由⎩⎨⎧>-->-.
02,012x x x 得x > 2； (Ⅱ)中，由x 2
– x – 2 = 0，或x – 1 = O ，
且x 2
– x - 2有意义，得x = 1，或x = 2． ∴原不等式的解集为{x|≥2，或x = - 1}． 分析二：在不等式f(x)·)(x g ≥0中，按g(x)的取值情况分类，有两种情况：
(1)g(x) > 0时,等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>≥,
0)(,
0)(x g x f (2)g(x) = 0时'只须f(x)有意义即可.
正解二：分两种情况讨论．
(1)当x 2
– x – 2 > 0，即x > 2，或x < - 1时，原不等式等价于⎩
⎨⎧>--≥-02,
012x x x ．解得x > 2．
(2)当x 2
– x – 2 = 0，即x = 2，或x = - 1时，显然有意义，是原不等式的解．
综上所述．原不等式的解集是{x|x≥2，或x = - 1}． 例题7 设函数(
)f x ax =
，其中0a >，解不等式()1f x ≤．
错解：∵不等式f(x)≤1，∴12+x ≤1 + ax．两边平方，得x 2
+ 1≤(1 + ax)2
,
即x·[(a 2
- 1)x + 2a]≥0．∵a > 0，∴当a > 1时，x ≥ 0，或x ≤-1
22
-a a
； 当0 < a < 1时，0 ≤ x ≤
2
12a
a
-． 错因：未能从已知条件中挖掘出隐含条件：“1 + ax ≥ 1”，即“ax≥0”，进而由a > 0可得x≥0． 正解：不等式f (x)≤1，即12+x ≤1 + ax． 由此得1≤1 + ax，即ax≥O，其中a > 0．
∴原不等式等价于不等式组⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥≥+-.
0,
0]2)1[(2x a x a x
∴当0 < a <1时，原不等式的解集为{x|0≤x≤
2
12a
a
-};当a≥1时,原不等式的解集为{x|x≥O}． 小结：解不等式常见的思维误区有：
（1）概念模糊。

变形不同解.常见于解分式不等式、对数不等式、无理不等式、指数不等式、含绝对值不等
式、含排列数或组合数的不等式等等.
（2）以偏概全，未分类或分类不全，对某些含有参数的不等式，未进行分类讨论，片面认为是某种情况.如
例题6.
（3）忽视隐含条件，信息不能被全部挖掘出来.如例题7. 例题8 不等式证明的错解的成因及分析策略
不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别 式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.
一、用新教材中新增知识点证明不等式这一思考方法很不适应
例1 (2003年江苏新课程高考试题)已知0a >,n 为整数.(Ⅰ)设()n
y x a =-,证明:1
()
n y n x a -'=- ;
(Ⅱ)设()()n n
n f x x x a =--,对任意n ≥a ,证明:1(1)(1)()n n f n n f n +''+>+ .
分析 这是一道江苏考生错误率较高的一道考题,考生对导数法证明不等式这一思考方法很不适应,以致于丢分现象极其严重,这反映学生未能真正把握新教材的思想内涵,不能做到学以致用,融会贯通,这一现象值得注意.
证明 (Ⅰ)∵ 0
()()n
n
k n k k n
k x a C
a x -=-=
-∑ ,
∴1
11
111
1
()
()()n
n
k n k
k k n k k n n
n k k y kC
a x
nC a x n x a -------=='=
-=-=-∑∑ . (Ⅱ)对函数()()n n
n f x x x a =--求导数,得
1111()()[()]n n n n n f x nx n x a n x x a ----'=--=-- ,所以11()[()]n n n f n n n n a --'=-- .当x ≥a >0时, ()0n f n '> .
故当x ≥a 时,()()n n
n f x x x a =--是关于x 的增函数,因此,当x ≥a 时,
1(1)(1)[(1)(1)](1)[()]n n n n n f n n n n a n n n a +'+=++-+->+-- 1(1)[()](1)()n n n n n n n a n f n -'>+--=+ .
即对任意n ≥a , 1(1)(1)()n n f n n f n +''+>+ .
评述 导数及其它向量、方差等知识点的引入,使相应的数学方法、教学工具和数学语言更加丰富,应用形式更
加灵活多样,新课程卷将导数与传统的不等式有机结合在一起设问,这是一种新颖的命题模式,它体现了导数作为工具分析和解决一些性质问题的方法,应予以重视. 二、忽视向量不等式等号成立条件,造成范围失真
向量不等式||||||p q p q +≥±等号成立的条件为,当向量p ∥q 且p 与q 方向相同时“+”不等式取等号; 当向量p ∥q 且p 与q 方向相反时“-”不等式取等号.
例
错解 设(,4),(4,6)p a q a ==- ,由||||||p q p q +≥-||||p q =+
|||(,4)(4,6)||(4,2)|p q a a ≥-=--=-==≥成因分析 向量不等式||||||p q p q +≥-等号成立的条件是 p ∥q ,且向量p 与q 方向相反,而当p ∥q 时,
得8a =-,此时(8,4),(12,6)p q =-=-方向相同,故等号不成立,使不等式范围缩小了.
正解 设(,4),(4,6)p a q a ==- ,由 ||||||p q p q +≥+,得
||||p q =+||p q ≥+
|(,4)(4,6)||(4,10)|a a =+-=== . 当p ∥q 即8
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a =时,,p q 方向相同,故等号成立.
评述 向量作为新教材中的另一个新增知识点,利用数量积不等式||||||p q p q ⋅≤⋅与和差不等式
||||||||||||p q p q p q -≤±≤+证明不等式,有着其它方法所不能比拟的优越性,应适当推广及应用.。