伯努利不等式证明

伯努利不等式

设x>-1,且x工0,n是不小于2的整数则(1+x) n> 1+nx. 证明:

先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：

当n=1,上个式子成立，

设对n-1,有：

(1+x) n-1>1+(n-1)x 成立，

则

(1+x) n

=(1+x) n-1 (1+x)

耳1+( n-1) x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x 2=1+ nx+nx 2-x2

>1+nx

就是对一切的自然数，当

x >-1,有

(1+x) n>1+nx

下面把伯努利不等式推广到实数幕形式：

若r <或r >,有(1+x) r> 1 + rx

若0 w r < 1(1+xj|*r < 1 + rx

这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：

如果r=0 , 1，则结论是显然的

如果r 工01,,作辅助函数f(x)=(1+x) r-(1+rx),那么f(x)=r*(1+x) r-1 -r,则f'(x)=0 ? x=0;

下面分情况讨论：

1.0 < r < 1，则对于x > 0 , f(x) < 0 ;对于? 1 < x < 0 , f'(x) > 0。严

格递增，因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x) r< 1+rx 。

2.r < 0 或r > 1，则对于x > 0 , f(x) > 0 ;对于? 1 < x < 0 ,

f'(x) < 0。

严格递减，因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)r> 1+rx 命题得证