七年级下册数学三角形全等动点问题(最新整理)

初一数学全等三角形之动点问题专题（B 类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，PP还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题1、单动点问题A 引例：已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动. 设点 P 的运动时间为（s ），那么 t= 时，△PBC 是直角三角形？BC2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 向点B 运动，动点 Q 从点B 出发，沿 BC 向点C 运动，如果动点 P 、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t （s ），那么 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?ABQC巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于 D. 如果动点 P 、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为 t （s ），那么 当 t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?ABCQPD变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形.动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于 D. 如果动点 P 、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t （s ），连接 PC. 请探究：在点 P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？ABQ变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向点 C 运动，连接 CP 、AQ 交于 M ， 如果动点 P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=度。

(2) 若动点 P 、Q 继续运动，分别沿射线 AB 、BC 方向运动，.∠AMP=60°的结论还成立吗？二、实战训练1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边 AB 上一动点（不与点 A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为 E ，F ，则 DE ＋DF ＝．PDC2、如图，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB，F 是AB 边上的中点，点D、E 分别在AC、BC 边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE 是等腰直角三角形3、如图，在等边∆ABC 的顶点A、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1 各单位的速度油A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小条件不变，求证：∠CQE = 60︒（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE交AC 于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确4、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别EB，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．图1 图2 图3DQP5、如图，已知△ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点 D 为 AB 的中点． （1） 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， △BPD 与△CQP 是 否全等，请说明理由；②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使△BPD 与△CQP 全等？（2） 若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ABC 的哪条边上相遇？ABC6、（2009 年本溪）在△ABC 中， AB = AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B 、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE ，使 AD = AE ，∠DAE = ∠BAC ，连接CE ． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果∠BAC = 90° ，则∠BCE = 度； （2）设∠BAC =， ∠BCE = ．①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点 D 在直线 BC 上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．AAEEBDC BD C 图1 图2A AB C B C备用图备用图7、如图 a，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的△CEF绕点C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的△ABC绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.N E MNDME8、已知，如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为BE，CD 的中点．（1）求证：① BE =CD ；② AM =AN ；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.CCB ABAD图①图②BEAC FD9、 直 线 CD 经 过 ∠BCA 的 顶 点 C ， CA=CB ． E 、 F 分 别 是 直 线 CD 上 两 点 ， 且 ∠BEC = ∠CFA = ∠．（1） 若直线 CD 经过∠BCA 的内部，且 E 、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：①如图 1，若∠BCA = 90 , ∠= 90 ，则 EF BE - AF （填“ > ”，“ < ”或“ = ”号）；②如图 2，若0< ∠BCA < 180，若使①中的结论仍然成立，则 ∠与∠BCA 应满足的关系是 ；（2） 如图 3，若直线 CD 经过∠BCA 的外部， ∠= ∠BCA ，请探究 EF 、与 BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．BE F DCA 图 1图 2图 310、 如图1，已知正方形 ABCD 的边CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE ， GC .（1） 试猜想 AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2） 将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在 BC 边上，如图2，连接 AE和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BFE DCA附加题之等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1.如图，∆ABC 中，AB =AC ，∠BAC = 90︒，D 是BC 中点，ED ⊥FD ，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE =AF ，AE =CF ．AFEB D C2.两个全等的含30 ，60 角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME, MC ．试判断∆EMC 的形状，并说明理由．MBDEAC考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在AB 边上滑动（点E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与∠CBM的平分线 BF 相交于点 F.⑴ 如图14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：① 通过测量DE，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是；② 连接点E 与AD 边的中点N，猜想NE 与BF 满足的数量关系是；③ 请证明你的上述两猜想.⑵ 如图14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明HGF2. 在 Rt△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB＝90°，D 是 AC 的中点，DG⊥AC 交 AB 于点 G.（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF 与 CF ，过点 F 作 FH⊥FC，交直线 AB 于点 H ． ①求证：DG=DC②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明．（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。