小波包变换及matlab程序编写

1 小波变换的基本理论

信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。小波变换（DWT ）是现代谱分析工具，他既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察局部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，处理起来也得心应手。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换能将图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效压缩和存储，此外，小波的粗略边缘可以更好地表现图像，因为他消除了DCT 压缩普遍具有的方块效应。通过缩放母小波（Mother wavelet ）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。 小波变换是当前应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。它是以局部化函数所形成的小波基作为基底展开的，具有许多特殊的性能和优点，小波分析是一种更合理的进频表示和子带多分辨分析。

2小波包变换的基本理论和原理

概论：由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。

2.1小波包的定义：

正交小波包的一般解释 仅考虑实系数滤波器.

{}n n Z h ∈{}n n Z

g ∈()11n

n n

g h -=-(

)()(

)()22k k Z k

k Z t h t k t g t k φφψφ∈∈⎧=-⎪⎨

=-⎪⎩

为便于表示小波包函数，引入以下新的记号：

通过,,h,g 在固定尺度下可定义一组成为小波包的函数。 由 递归定义的函数,n=0,1,2,…称为由正交尺度函数=确定的小波包。

2.2 小波分解及小波包分解

()()()()

01::t t t t μφμψ=⎧⎪⎨=⎪⎩(

)()(

)()

001022k k Z k k Z

t h t k t g t k μμμμ∈∈⎧=-⎪⎨=-⎪⎩

(

)()221()2()2n k n k

n k n k t h t k t g t k μμμμ+⎧=-⎪⎨

=-⎪⎩0

μ

1

μ

μ

2

μ

μ

1

μ

3

μ

h

h

h

g

g

g

h

g

0L L

V U =3

L =

2.3小波包变换的原理和公式

由于正交小波变换只对信号的低频部门做进一步的分析，而对高频部分以及信号的细节部分不再继续分解，所以小波包变换能够很好的表征以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地结合表示包含大量细节信息（细小细节或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图像、地震信号和生物医学信号灯。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中频、高频信息的信号能后进行更好的时频局部化分析。

小波包分解算法：

小波包重购：

[][][]221

122n n n j k l j k l j

l Z

l Z

d k h d l g d l ++--∈∈=+∑∑

信号小波包分析的基本实现步骤：

1）选择适当的小波录波器，对给定的采样信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数。

2）选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3）对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。

4）对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。

3 小波包变换的matlab 实现

x=imread('girl.jpg'); imshow(x);

t=wpdec2(x,2,'db1'); plot(t); %划出四叉树结构 %对分解结构进行重建 rective=wprec2(t);

subplot(1,2,1),imshow(x),title('原始图像')

subplot(1,2,2),imshow(wprec2(t)),title('重构后的图像')

4小波包变换的仿真图

[][][][]2212121n n j l k j l Z

n n j l k j l Z d k h d l d k g d l -+∈+-+∈⎧=⎪⎨=⎪

⎩∑∑

四叉树结构图

小波包变换图