五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程

matlab_pde

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五点差分格式在MATLAB中实现
A=-4*eye((nx-2)*(ny-2),(nx-2)*(ny-2)); b=zeros((nx-2)*(ny-2),1); for i=1:(nx-2)*(ny-2); if mod(i,nx-2)==1 if i==1 A(1,2)=1; A(1,nx-1)=1; b(1)=-u0(1,2)-u0(2,1); else if i==(ny-3)*(nx-2)+1 A(i,i+1)=1; A(i,i-nx+2)=1; %注意边界节点的离散方式 b(i)=-u0(ny-1,1)-u0(ny,2); else A(i,i+1)=1; A(i,i-nx+2)=1; A(i,i+nx-2)=1; b(i)=-u0(floor(i/(nx-2))+2,1); end end else if mod(i,nx-2)==0 if i==nx-2 9
一维对流方程——迎风格式算例
end u0=u1; end if a>0 u=u1((M+1):M+n); else u=u1(1:n); end format long;
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一维对流方程——迎风格式算例
然后在MATLAB窗口输入下列命令： u=peHypbYF(1,0.005,101,0,1,100);
基于Matlab的偏微分方程数值解
求数值解方法
差分方法有限元方法
MATLAB的pedpe函数
MATLAB的PDEtool工具箱
偏微分方程分类
椭圆偏微分方程双曲线偏微分方程抛物线偏微分方程
椭圆偏微分方程特例—拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是最简单的椭圆偏微分方程，以下以拉

差分法求解偏微分方程MAAB

南京理工大学课程考核论文课程名称：高等数值分析论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨学号：成绩：有限差分法求解偏微分方程一、主要内容1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：具体求解的偏微分方程如下：2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；3.编写MATLAB程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；4.结论及完成本次实验报告的感想。

二、推导几种差分格式的过程：有限差分法（finite-differencemethods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。

有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：()2100000000()()()()()()()......()(())1!2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+-(2-1)求解区域的网格划分步长参数如下：11k k k kt t x x h τ++-=⎧⎨-=⎩(2-2) 2.1古典显格式2.1.1古典显格式的推导由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得2,(,)(,)()()(())i i k i k k k uu x t u x t t t o t t t∂=+-+-∂(2-3) 当1k t t +=时有21,112,(,)(,)()()(())(,)()()i k i k i k k k k k i k i k uu x t u x t t t o t t tuu x t o tττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂(2-4)得到对时间的一阶偏导数1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t uo t ττ+-∂+∂(2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u uu x t u x t x x x x o x x x x∂∂=+-+-+-∂∂(2-6)当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得2231,1,1122231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i iu u u x t u x t x x x x o x x x xu u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得2231,,22231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()2!i k i k i k i k i k i k i k i ku u u x t u x t h h o h x xu u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩(2-8) 得到对位置的二阶偏导数2211,22(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t uo h x h+--+∂=+∂(2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得(2-10)为了方便我们可以将式(2-10)写成11122k kk k k k i i i i i i u u u u u f h ατ++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦(2-11) ()11122k k k k k k i i i i i i u u uu u f hτατ++----+=(2-12)最后得到古典显格式的差分格式为()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++(2-13)2r hτ=其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。

现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。

现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

五点差分格式

《微分方程数值解》大作业（一）——椭圆型方程编程计算：采用五点差分格式求如下椭圆型方程2222uu x y f (x,y),(x,y);∂∂∂∂--=∈Ω其中f (x,y)、Ω及边条件为：1． f (x,y)0,= (1,2)(0,1)Ω=⨯，且边条件如下：222u(x,0)2ln x,u(x,1)ln(x 1)1x 2;u(1,y)ln(1y ),u(2,y)ln(4y ),0y 1.⎧==+<<⎪⎨=+=+<<⎪⎩，问题存在精确解为： 22(,)ln()u x y x y =+2．f (x,y)4,=- (0,1)(0,2)Ω=⨯，且边条件如下：2222u(x,0)x ,u(x,2)(x 2)0x 1;u(0,y)y ,u(1,y)(y 1),0y 2.⎧==-<<⎪⎨==-<<⎪⎩，问题存在精确解为： 2(,)()u x y x y =-3．f (x,y)cos(x y)cos(x y),=++- (0,)(0,)2πΩ=π⨯，且边条件如下：u(x,0)cos x,u(x,)00x ;2u(0,y)cos y,u(,y)cos y,0y .2π⎧==<<π⎪⎪⎨π⎪=π=-<<⎪⎩，问题存在精确解为： (,)cos cos u x y x y =.代码：主函数1，差分解function g=fivepoints(x1,x2,y1,y2,M,N)%变步长法h=(x2-x1)/M; %横轴步长k=(y2-y21/N; %纵轴步长m=M-1;n=N-1;h1=h^2;r=h1/k^2; %五点中的上下两个点的系数t=2+2*r; %五点中的中心点的系数x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M; %x，y向量表示横纵坐标y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N;a=zeros(m*n,m*n);b=zeros(m*n,1);%初始化a，b矩阵，a为系数矩阵%内部的（m-2）*（n-2）个点for i=2:m-1for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1));endend%下边缘j=1;for i=2:m-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-2) -1 t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1));end;%右边缘i=m;for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(j-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+right(y(j+1));end%上边缘j=n;for i=2:m-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-2) -1 t -1 zeros(1,m-i-1)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1));end%左边缘i=1;for j=2:n-1a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,i-1+(j-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2) -rzeros(1,(n-j)*m-i)];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+left(y(j+1));end;%左下角的那个点i=1;j=1;a(1,:)=[t -1 zeros(1,m-2) -r zeros(1,(n-1)*m-1)];b(1)=h1*f(x(2),y(2))+r*bottom(x(2))+left(y(2));%右下角的那个点i=m;j=1;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,m-2) -1 t zeros(1,m-1) -r zeros(1,(n-2)*m)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*bottom(x(i+1))+right(y(j+1)); %左上角的那个点i=1;j=n;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-2)*m) -r zeros(1,m-1) t -1 zeros(1,m-2)]; b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+left(y(j+1));%右上角的那个点i=m;j=n;a(i+(j-1)*m,:)=[zeros(1,(n-1)*m-1) -r zeros(1,m-2) -1 t];b(i+(j-1)*m)=h1*f(x(i+1),y(j+1))+r*top(x(i+1))+right(y(j+1));u=a\bab2，精确解：function g=ni(x1,x2,y1,y2,M,N)m=M-1;n=N-1;x=x1+(x2-x1)*(0:M)/M;y=y1+(y2-y1)*(0:N)/N;for i=1:mfor j=1:nu1(i+(j-1)*m)=f1(x(i+1),y(j+1))endend（1）辅助函数function g=f(x,y)g=0;function g=bottom(x)g=2*log(x);function g=right(y)g=log(4+y^2);function g=top(x)g=log(x^2+1);function g=left(y)g=log(1+y^2);function g=f1(x,y)g=log(x^2+y^2);运行fivepoints(1,2,0,1,4,4)u =数值解0.4847467147016780.8376456266975491.1390195099193150.5944295076643080.9158860659528741.1974022894530100.7539416986884711.0340668399966291.287784599003526a =4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4b =0.5069117244448540.8109302162163292.5210301235267010.2231435513142101.4469189829363251.3872704470929461.1786549963416462.919669266564466运行ni(1,2,0,1,4,4)u1 =精确解Columns 1 through 30.485507815781701 0.838329190404443 1.139434283188365 Columns 4 through 60.594707107746693 0.916290731874155 1.197703191312341 Columns 7 through 90.753771802376380 1.034073767530539 1.287854288306638 误差很小（2）辅助函数function g=f(x,y)g=-4;function g=bottom(x)g=x^2;function g=right(y)g=(y-1)^2;function g=top(x)g=(x-2)^2;function g=left(y)g=y^2;function g=f1(x,y)g=(x-y)^2;fivepoints(1,2,0,1,4,4)fivepoints(0,1,0,2,4,4)u =0.062500000000000-0.0000000000000000.0625000000000000.5625000000000000.2500000000000000.0625000000000001.5625000000000001.0000000000000000.562500000000000a =Columns 1 through 32.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000 -0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000000 0 00 0 00 0 0Columns 4 through 6-0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000002.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000 -0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.250000000000000Columns 7 through 90 0 00 0 00 0 0-0.250000000000000 0 00 -0.250000000000000 00 0 -0.2500000000000002.500000000000000 -1.000000000000000 0 -1.000000000000000 2.500000000000000-1.0000000000000000 -1.000000000000000 2.500000000000000b =0.015625000000000-0.1875000000000000.1406250000000000.750000000000000-0.250000000000000-0.2500000000000002.7656250000000000.3125000000000000.390625000000000精确解ni(0,1,0,2,4,4)u1 =u1 =Columns 1 through 30.062500000000000 0 0.062500000000000 Columns 4 through 60.562500000000000 0.2500000000000000.062500000000000Columns 7 through 91.562500000000000 1.0000000000000000.562500000000000误差很小（3）辅助函数function g=f(x,y)g=cosd(x+y)+cosd(x-y);function g=bottom(x)g=cosd(x);function g=right(y)g=-cosd(y);function g=top(x)g=0;function g=left(y)g=cosd(y);function g=f1(x,y)g=cosd(x)*cosd(y);数值解Pi=3.1415926fivepoints(0,pi,0,pi/2,4,4)u =0.6578183624886530.000000024999241-0.6578183271343870.5049807980892560.000000019229497-0.5049807708946410.2736443626241530.000000010432161-0.273644347870850a =10 -1 0 -4 0 0 0 0 0 -1 10 -1 0 -4 0 0 0 0 0 -1 10 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0 10 -1 0 -4 0 0 0 -4 0 -1 10 -1 0 -4 0 0 0 -4 0 -1 10 0 0 -4 0 0 0 -4 0 0 10 -1 0 0 0 0 0 -4 0 -1 10 -1 0 0 0 0 0 -4 0 -1 10b =4.5582604075302670.000000137720159-4.5582602127645491.323957*********0.000000023374742-1.3239570281549570.7165204234523470.000000012650320-0.716520405562093精确解ni(0,pi,0,pi/2,4,4)u1 =Columns 1 through 30.653281493003155 0.000000024755257-0.653281457993935Columns 4 through 60.500000013397448 0.000000018946853-0.499999986602551Columns 7 through 90.270598066826879 0.000000010253963-0.270598052325585误差很小注：（1）需要对数值解与精确解作比较，以及不同步长选取下的误差比较。

椭圆型微分方程

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称椭圆型方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级信计0902
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)

−2
�� 2 �� 2 �� 2 �� 2
�� +1/2,�� + ��−1/2,�� + �� ,�� −1/2 + �� ,�� +1/2 + ��
而 f 是（n − 1）维的列向量，具体如下： ��11 ��12 ⋮ �� = ��1,��−1 ��21 ⋮ ⋮ �� −1,��−1
2
三、求解过程
3.1 对系数矩阵的分析对上述模型的求解就是对线性方程组的求解。通过观察，我发现 P 是一个对角占优的矩阵，这不仅确定了解的唯一性，还保证了迭代法的收敛性。此外，还可以确定进行 LU 分解，若使用高斯消去法还可以省去选主元的工作。
二、问题分析与模型建立
2.1 微分方程上的符号说明 �� , �� = �� , �� = �� , �� = �� + �� , �� = �� − �� , �� = 1�� , �� = y 2 e y x 2 e x e xy y 2 x 2 1 e xy 2.2 课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为： �� − ��−1,�� −1,�� + �� ,�� −1 �� ,�� −1 + �� +1,�� +1,�� + �� ,�� +1 �� ,�� +1 = ��

基于MATLAB的偏微分方程差分解法

基于MATLAB的偏微分方程差分解法学院：核工程与地球物理学院专业：勘查技术与工程班级：1120203学号：姓名:2014/6/11在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。

在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。

偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。

随着计算机技术的发展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。

近些年来，求解偏微分方程的数值方法取得进展，特别是有限差分区域分解算法，此类算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。

使人从感觉上认为这样得到的解会比全局隐式得到的解的精度差，但大量的数值实验表明事实正好相反，用区域分解算法求得的解的精度更好。

差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。

它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。

如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。

因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：（i ）选取网格；（ii ）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；（iii ）求解差分格式；（iv ）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。

下面对偏微分方程具体例题的差分解法作一简要的介绍。

§1 双曲型方程中波动方程的有限差分解法。

1.1 双曲型的差分方程通过建立网格并求解中心差分方程结果为：22,1,1,1,,1(22)(),2,3,1i j i j i j i j i j u r u r u u u i n ++--=-++-=-。

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲 Matlab 求解微分方程（组）理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一.(2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t 上的解，则令tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.表1 Matlab中文本文件读写函数说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x是向量）在命令窗口输入:Fofx=inline(‘x .^2*cos(a*x)-b’ , ‘x’,’a’,’b’); g= Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1) 系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数inline 不需要另外建立m 文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m 文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline 来定义函数. 二．实例介绍1.几个可以直接用Matlab 求微分方程精确解的实例例1 求解微分方程2'2x y xy xe -+=程序：syms x y; y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x ’)例 2 求微分方程'0x xy y e +-=在初始条件(1)2y e =下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y; y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x ’);ezplot(y)例 3 求解微分方程组530tdx x y e dtdy x y dt⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩在初始条件00|1,|0t t x y ====下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t') simple(x); simple(y)ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例 4 求解微分方程初值问题2222(0)1dy y x xdx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩的数值解，求解范围为区间[0,0.5].程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); plot(x,y,'o-')例 5 求解微分方程22'2(1)0,(0)1,(0)0d y dyy y y y dt dtμ--+===的解，并画出解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令12,,7dyx y x dtμ===，则 121221212,(0)17(1),(0)0dx x x dtdx x x x x dt⎧==⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 编写M-文件vdp.m function fy=vdp(t,x)fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; end在Matlab 命令窗口编写程序 y0=[1;0][t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)练习与思考：M-文件vdp.m 改写成inline 函数程序？ 3.用Euler 折线法求解Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商()()y x h y x h +-替代微商dydx，于是00()()(,())()k k k k y x h y x f x y x h y y x +-⎧=⎪⎨⎪=⎩记1,(),k k k k x x h y y x +=+=从而1(),k k y y x h +=+于是0011(),,0,1,2,,1(,).k k k k k k y y x x x h k n y y hf x y ++=⎧⎪=+=-⎨⎪=+⎩例 6 用Euler 折线法求解微分方程初值问题22(0)1dyx y dxy y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的数值解（步长h 取0.4），求解范围为区间[0,2].分析：本问题的差分方程为00110,1,0.4,0,1,2,,1(,).k k k k k k x y h x x h k n y y hf x y ++===⎧⎪=+=-⎨⎪=+⎩程序：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=0.4; >> n=(b-a)/h+1; >> x=0; >> y=1;>> szj=[x,y];%数值解 >> for i=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs ，替换函数 x=x+h; szj=[szj;x,y]; end >>szj>> plot(szj(:,1),szj(:,2))说明：替换函数subs 例如：输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a 用4替换掉，返回 4+b ，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符alpha 替换a 和2替换b ，返回 cos(alpha)+sin(2)特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta 法求解，Euler 折线法实际上就是一阶Runge-Kutta 法，Runge-Kutta 法的迭代公式为001112341213243(),,(22),6(,),0,1,2,,1(,),22(,),22(,).k k k k k k k k k k k k y y x x x h h y y L L L L L f x y k n h h L f x y L h h L f x y L L f x h y hL ++=⎧⎪=+⎪⎪=++++⎪⎪=⎪=-⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎪⎪=++⎩相应的Matlab 程序为：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=0.4; >> n=(b-a)/h+1; >> x=0; >> y=1;>> szj=[x,y];%数值解 >> for i=1:n-1l1=subs(f, {'x','y'},{x,y});替换函数 l2=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f, {'x','y'},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=[szj;x,y]; end>>szj>> plot(szj(:,1),szj(:,2))练习与思考：(1)ode45求解问题并比较差异. (2)利用Matlab 求微分方程(4)(3)''20y y y -+=的解.(3)求解微分方程''2',2(1)0,030,(0)1,(0)0y y y y x y y --+=≤≤==的特解. (4)利用Matlab 求微分方程初值问题2''''00(1)2,|1,|3x x x y xy y y ==+===的解. 提醒：尽可能多的考虑解法三．微分方程转换为一阶显式微分方程组Matlab 微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE 解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab 可接受的标准形式.当然，如果ODEs 由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs 为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：()'''(1)'''(1)()'''(1)'''(1)(,,,,,,,,,,)(,,,,,,,,,,)m m n n m n x f t x x x x y y y y y g t x x x x y y y y ----⎧=⎨=⎩Step 2 为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外'''(1)123'''(1)123,,,,,,,,,m m n m m m m n x x x x x x x x x y x y x y x y--++++========注意：ODEs 中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式''''122334123''12123,,,,(,,,,,),,(,,,,,)m m n m m m nm n x x x x x x x f t x x x x xx xg t x x x x +++++======练习与思考：(1)求解微分方程组**'''3312*'''3312()()22x x x y x r r y y y x y r r μμμμμμ⎧+-=+--⎪⎪⎨⎪=+--⎪⎩其中2r =1r =*1,μμ=-1/82.45,μ=(0) 1.2,x =(0)0,y ='(0)0,x ='(0) 1.049355751y =-(2)求解隐式微分方程组''''''''''''2235x y x y x y x y xy y ⎧+=⎨++-=⎩ 提示：使用符号计算函数solve 求'''',x y ，然后利用求解微分方程的方法四．偏微分方程解法Matlab 提供了两种方法解决PDE 问题，一是使用pdepe 函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 问题，PDEtoll 有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE 问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了GUI 界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过File —>Save As 直接生成M 代码.1.一般偏微分方程（组）的求解(1)Matlab 提供的pdepe 函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)@pdefun 是PDE 的问题描述函数，它必须换成标准形式：(,,)[(,,,)](,,,)m m u u u uc x t x x f x t u s x t u x t x x x-∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 这样，PDE 就可以编写入口函数：[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)，m,x,t 对应于式中相关参数，du 是u 的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s 这三个函数.@pdebc 是PDE 的边界条件描述函数，它必须化为形式：(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂==∂ 于是边值条件可以编写函数描述为：[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du),其中a 表示下边界，b 表示上边界.@pdeic 是PDE 的初值条件，必须化为形式：00(,)u x t u =，故可以使用函数描述为：u0=pdeic(x)sol 是一个三维数组，sol(:,:,i)表示i u 的解，换句话说，k u 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)，通过sol ，我们可以使用pdeval 函数直接计算某个点的函数值.(2)实例说明求解偏微分2111222221220.024()0.17()u u F u u t xu u F u u tx ⎧∂∂=--⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩ 其中， 5.7311.46()xx F x e e -=-且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1(0,)0,u t x ∂=∂221(0,)0,(1,)1,(1,)0uu t u t t x∂===∂ 解：(1)对照给出的偏微分方程和pdepe 函数求解的标准形式，原方程改写为111221220.024()1.*()10.17u u F u u x u F u u u t x x ∂⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦可见1121220.024()10,,,()10.17u F u u x m c f s F u u u x ∂⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤∂====⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦ %目标PDE 函数function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du) c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp)) end(2)边界条件改写为：下边界2010.*00f u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦上边界1110.*000u f -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦%边界条件函数function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) pa=[0;ua(2)]; qa=[1;0]; pb=[ub(1)-1;0]; qb=[0;1]; end(3)初值条件改写为：1210u u ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%初值条件函数 function u0=pdeic(x) u0=[1;0]; end(4)编写主调函数 clc x=0:0.05:1; t=0:0.05:2; m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); subplot(2,1,1) surf(x,t,sol(:,:,1)) subplot(2,1,2) surf(x,t,sol(:,:,2))练习与思考： This example illustrates the straightforward formulation, computation, and plotting of the solution of a single PDE.2()u u t x xπ∂∂∂=∂∂∂ This equation holds on an interval 01x ≤≤ for times 0t ≥. The PDE satisfies the initial condition (,0)sin u x x π= and boundary conditions(0,)0;(1,)0t uu t e t xπ-∂=+=∂ 2.PDEtool 求解偏微分方程(1)PDEtool （GUI ）求解偏微分方程的一般步骤在Matlab 命令窗口输入pdetool ，回车，PDE 工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解，整个过程大致可以分为六个阶段Step 1 “Draw 模式”绘制平面有界区域Ω，通过公式把Matlab 系统提供的实体模型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域.Step 2 “Boundary 模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件.Step 3 “PDE 模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d ，根据具体情况，还可以在不同子区域声明不同系数.Step 4 “Mesh 模式”网格化区域Ω，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网格进行多次细化，使网格分割更细更合理.Step 5 “Solve 模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界条件后可以求出给定时刻t 的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值.求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解.Step 6 “View 模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型问题的解还可以进行动画演示.(2)实例说明用法求解一个正方形区域上的特征值问题：12|0u u u u λ∂Ω⎧-∆-=⎪⎨⎪=⎩ 正方形区域为：11,1 1.x x -≤≤-≤≤(1)使用PDE 工具箱打开GUI 求解方程(2)进入Draw 模式，绘制一个矩形，然后双击矩形，在弹出的对话框中设置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,确认并关闭对话框(3)进入Boundary 模式，边界条件采用Dirichlet 条件的默认值(4)进入PDE 模式，单击工具栏PDE 按钮，在弹出的对话框中方程类型选择Eigenmodes,参数设置c=1,a=-1/2,d=1,确认后关闭对话框(5)单击工具栏的按钮，对正方形区域进行初始网格剖分，然后再对网格进一步细化剖分一次(6)点开solve菜单，单击Parameters选项，在弹出的对话框中设置特征值区域为[-20,20](7)单击Plot菜单的Parameters项，在弹出的对话框中选中Color、Height(3-D plot)和show mesh项，然后单击Done确认(8)单击工具栏的“=”按钮，开始求解。

MATLAB中的偏微分方程数值解法

MATLAB中的偏微分方程数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解决偏微分方程的精确解往往非常困难，因此数值方法成为求解这类问题的有效途径。

而在MATLAB中，有丰富的数值解法可供选择。

本文将介绍MATLAB中几种常见的偏微分方程数值解法，并通过具体案例加深对其应用的理解。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最为经典和常用的偏微分方程数值解法之一。

它将偏微分方程的导数转化为差分方程，通过离散化空间和时间上的变量，将连续问题转化为离散问题。

在MATLAB中，使用有限差分法可以比较容易地实现对偏微分方程的数值求解。

例如，考虑一维热传导方程（Heat Equation）：∂u/∂t = k * ∂²u/∂x²其中，u为温度分布随时间和空间的变化，k为热传导系数。

假设初始条件为一段长度为L的棒子上的温度分布，边界条件可以是固定温度、热交换等。

有限差分法可以将空间离散化为N个节点，时间离散化为M个时刻。

我们可以使用中心差分近似来计算二阶空间导数，从而得到以下差分方程：u(i,j+1) = u(i,j) + Δt * (k * (u(i+1,j) - 2 * u(i,j) + u(i-1,j))/Δx²)其中，i表示空间节点，j表示时间步。

Δt和Δx分别为时间和空间步长。

通过逐步迭代更新节点的温度值，我们可以得到整个时间范围内的温度分布。

而MATLAB提供的矩阵计算功能，可以大大简化有限差分法的实现过程。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种常用的偏微分方程数值解法，特点是适用于复杂的几何形状和边界条件。

它将求解区域离散化为多个小单元，通过构建并求解代数方程组来逼近连续问题。

在MATLAB中，我们可以使用Partial Differential Equation Toolbox提供的函数进行有限元法求解。

偏微分方程的matlab解法PPT课件

求解抛物型方程的例子
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边
保持在100 °C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，
t t 其他边及内孔边界保持绝缘。初始
°C ，于是概括为如下定解问题;
是板的温度为0 0
d u u0 , t
u 1 0 0 ,在左边界上
u 1，在右边界上 n u = 0，其他边界上 n
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3
先确定方程大类
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4
Draw Mode
画图模式，先将处理的区域画出来，二维，方形，圆形，支持多边形，可以手动更改坐标，旋转rotate
例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界条件和初始条件按照题意制定
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5
Boundary Mode
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20
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21
第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和 Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解，如图22.5所示.
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22
第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击plot菜单中parameter 选项，在plot selection对话框中选中 contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图，如图2.6所示。
2u (2u t 2 x2
u t to 0
区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4),

matlab中求解偏微分方程

文章标题：深入探讨 Matlab 中求解偏微分方程的方法和应用一、引言在现代科学和工程中，偏微分方程是一种重要的数学工具，用于描述各种自然现象和物理过程，如热传导、流体力学、电磁场等。

Matlab 是一个用于科学计算和工程应用的强大工具，提供了丰富的数值计算和数据可视化功能，其中包括求解偏微分方程的工具箱，本文将深入探讨在Matlab中求解偏微分方程的方法和应用。

二、基本概念偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是关于多个变量的函数及其偏导数的方程。

在物理学和工程学中，PDE广泛应用于描述空间变量和时间变量之间的关系。

在Matlab中，求解PDE通常涉及到确定PDE类型、边界条件、初始条件和求解方法等步骤。

三、求解方法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是求解PDE的常用数值方法之一，它将PDE转化为差分方程组，并通过迭代求解得到数值解。

在Matlab中，可以使用pdepe 函数来求解具有一维、二维或三维空间变量的PDE，该函数可以直接处理边界条件和初始条件。

2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是另一种常用的数值方法，它将求解区域离散化为有限数量的单元，并通过单元之间的插值来逼近PDE的解。

Matlab提供了pdenonlin函数来求解非线性PDE，该函数支持各种复杂的几何形状和非线性材料参数。

3. 特征线法（Method of Characteristics）特征线法适用于一维双曲型PDE的求解，该方法基于特征线方程的性质来构造数值解。

在Matlab中，可以使用pdegplot函数来展示特征线，并通过构造特征线网格来求解PDE。

四、实际应用1. 热传导方程的求解假设我们需要求解一个长条形的材料中的热传导方程，可以通过在Matlab中定义边界条件和初始条件，然后使用pdepe函数来求解得到温度分布和热流线。

微分方程数值解实验报告

微分方程数值解法课程设计报告班级：姓名：学号：成绩：2017年 6月 21 日摘要自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。

其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。

但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。

，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体的算例，结合MATLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。

同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。

关键词：微分方程数值解、MATLAB目录摘要 (2)目录 (3)第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理 (4)1.1常微分方程数值解法的基本思路 (4)1.2用matlab编写源程序 (4)1.3常微分方程数值解法应用举例及结果 (5)第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理 (6)2.1常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 (6)2.2 用matlab编写源程序 (7)2.3常系数扩散方程的经典差分格式的应用举例及结果 (8)第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理 (10)3.1椭圆型方程的五点差分格式的基本思路 (10)3.2 用matlab编写源程序 (10)3.3椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果 (12)第四章总结 (12)参考文献 (12)第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理1.1常微分方程数值解法的基本思路常微分方程数值解法(numerical methods forordinary differential equations)计算数学的一个分支.是解常微分方程各类定解问题的数值方法.现有的解析方法只能用于求解一些特殊类型的定解问题，实用上许多很有价值的常微分方程的解不能用初等函数来表示，常常需要求其数值解.所谓数值解，是指在求解区间内一系列离散点处给出真解的近似值.这就促成了数值方法的产生与发展.1.2用matlab编写源程序龙格库塔法：M文件:function dx=Lorenz(t,x)%r=28,sigma=10,b=8/3dx=[-10*(x(1)-x(2));-x(1)*x(3)+28*x(1)-x(2);x(1)*x(2)-8*x(3)/3];运行程序：x0=[1,1,1];[t,y]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);subplot(2,1,1) %两行一列的图第一个plot(t,y(:,3))xlabel('time');ylabel('z');%画z-t图像subplot(2,2,3) %两行两列的图第三个plot(y(:,1),y(:,2))xlabel('x');ylabel('y'); %画x-y图像subplot(2,2,4)plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');%画xyz图像欧拉法：h=0.010;a=16;b=4;c=49.52;x=5;y=10;z=10;Y=[];for i=1:800x1=x+h*a*(y-x);y1=y+h*(c*x-x*z-y);z1=z+h*(x*y-b*z);x=x1;y=y1;z=z1;Y(i,:)=[x y z];endplot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3));1.3常微分方程数值解法的应用举例及结果应用举例：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=--=)()()()()()()()()())()(()(t bz t y t x dt t dz t z t x t y t rx dt t dy t y t x a dt t dx a=10,b=8/3,0<r<+∞,当1<r<24.74时，Lorenz 方程有两个稳定的不动点c()1(-r b ，)1(-r b ，r-1)和c '（-)1(-r b ，-)1(-r b ，r-1），一个稳定的不动点0=（0，0，0），当r>24.74时，c 和c '都变成不稳定的，此时存在混沌和奇怪吸引子。

五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程-（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0<x<2; 0<y<1U(0,y)=sin(pi*y),U(2,y)=e^2sin(pi*y); 0=<y<=1U(x,0)=0, U(x,1)=0; 0=<x<=2先自己去看一下关于五点差分法的理论书籍Matlab程序：unction [p e u x y k]=wudianchafenfa(h,m,n,kmax,ep)% g-s迭代法解五点差分法问题%kmax为最大迭代次数%m,n为x,y方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;%e为误差，p为精确解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h;y=0+(0:n)*h;for(i=1:n+1)u(i,1)=sin(pi*y(i));u(i,m+1)=exp(1)*exp(1)*sin(pi*y(i));endfor(i=1:n)for(j=1:m)f(i,j)=(pi*pi-1)*exp(x(j))*sin(pi*y(i));endendt=zeros(n-1,m-1);for(k=1:kmax)for(i=2:n)for(j=2:m)temp=h*h*f(i,j)/4+(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j))/4; t(i,j)=(temp-u(i,j))*(temp-u(i,j));u(i,j)=temp;endendt(i,j)=sqrt(t(i,j));if(k>kmax)break;endif(max(max(t))<ep)break;endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(x(j))*sin(pi*y(i));e(i,j)=abs(u(i,j)-exp(x(j))*sin(pi*y(i)));endEnd在命令窗口中输入：[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.1,20,10,10000,1e-6) k=147surf(x,y,u) ;xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);zlabel(‘u’);Title(‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例1’)就可以得到下图ｓｕｒｆ（ｘ，ｙ，ｐ）ｓｕｒｆ（ｘ，ｙ，ｅ）[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.05,40,20,10000,1e-6)[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80,40,10000,1e-6)为什么分得越小，误差会变大呢？我们试试运行：[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80，40,10000,1e-8)K=2164surf(x,y,e)误差变小了吧还可以试试[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80，40,10000,1e-10) K=3355误差又大了一点再试试[p e u x y k]=wudianchafenfa(0.025,80,40,10000,1e-11) k=3952误差趋于稳定总结：最终的误差曲面与网格数有关，也与设定的迭代前后两次差值（ep,看程序）有关；固定网格数，随着设定的迭代前后两次差值变小，误差由大比变小，中间有一个最小值，随着又增大一点，最后趋于稳定。

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲 Matlab 求解微分方程（组）理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.注意，系统缺省的自变量为t2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一.(2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解.(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t 上的解，则令tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的).(4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.表1 Matlab中文本文件读写函数说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x是向量）在命令窗口输入:Fofx=inline(‘x .^2*cos(a*x)-b’ , ‘x’,’a’,’b’); g= Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1) 系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使用内联对象函数inline 不需要另外建立m 文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m 文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline 来定义函数. 二．实例介绍1.几个可以直接用Matlab 求微分方程精确解的实例例1 求解微分方程2'2x y xy xe -+=程序：syms x y; y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x ’)例 2 求微分方程'0x xy y e +-=在初始条件(1)2y e =下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y; y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x ’);ezplot(y)例 3 求解微分方程组530tdx x y e dtdy x y dt⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩在初始条件00|1,|0t t x y ====下的特解并画出解函数的图形.程序：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t') simple(x); simple(y)ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）例 4 求解微分方程初值问题2222(0)1dy y x xdx y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩的数值解，求解范围为区间[0,0.5].程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1); plot(x,y,'o-')例 5 求解微分方程22'2(1)0,(0)1,(0)0d y dyy y y y dt dtμ--+===的解，并画出解的图形.分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令12,,7dyx y x dtμ===，则 121221212,(0)17(1),(0)0dx x x dtdx x x x x dt⎧==⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩ 编写M-文件vdp.m function fy=vdp(t,x)fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; end在Matlab 命令窗口编写程序 y0=[1;0][t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy)练习与思考：M-文件vdp.m 改写成inline 函数程序？ 3.用Euler 折线法求解Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商()()y x h y x h +-替代微商dydx，于是00()()(,())()k k k k y x h y x f x y x h y y x +-⎧=⎪⎨⎪=⎩记1,(),k k k k x x h y y x +=+=从而1(),k k y y x h +=+于是0011(),,0,1,2,,1(,).k k k k k k y y x x x h k n y y hf x y ++=⎧⎪=+=-⎨⎪=+⎩例 6 用Euler 折线法求解微分方程初值问题22(0)1dyx y dxy y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的数值解（步长h 取0.4），求解范围为区间[0,2].分析：本问题的差分方程为00110,1,0.4,0,1,2,,1(,).k k k k k k x y h x x h k n y y hf x y ++===⎧⎪=+=-⎨⎪=+⎩程序：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=0.4; >> n=(b-a)/h+1; >> x=0; >> y=1;>> szj=[x,y];%数值解 >> for i=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs ，替换函数 x=x+h; szj=[szj;x,y]; end >>szj>> plot(szj(:,1),szj(:,2))说明：替换函数subs 例如：输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a 用4替换掉，返回 4+b ，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符alpha 替换a 和2替换b ，返回 cos(alpha)+sin(2)特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta 法求解，Euler 折线法实际上就是一阶Runge-Kutta 法，Runge-Kutta 法的迭代公式为001112341213243(),,(22),6(,),0,1,2,,1(,),22(,),22(,).k k k k k k k k k k k k y y x x x h h y y L L L L L f x y k n h h L f x y L h h L f x y L L f x h y hL ++=⎧⎪=+⎪⎪=++++⎪⎪=⎪=-⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎪⎪=++⎩相应的Matlab 程序为：>> clear >> f=sym('y+2*x/y^2'); >> a=0; >> b=2; >> h=0.4; >> n=(b-a)/h+1; >> x=0; >> y=1;>> szj=[x,y];%数值解 >> for i=1:n-1l1=subs(f, {'x','y'},{x,y});替换函数 l2=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2}); l3=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2}); l4=subs(f, {'x','y'},{x+h,y+l3*h}); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=[szj;x,y]; end>>szj>> plot(szj(:,1),szj(:,2))练习与思考：(1)ode45求解问题并比较差异. (2)利用Matlab 求微分方程(4)(3)''20y y y -+=的解.(3)求解微分方程''2',2(1)0,030,(0)1,(0)0y y y y x y y --+=≤≤==的特解. (4)利用Matlab 求微分方程初值问题2''''00(1)2,|1,|3x x x y xy y y ==+===的解. 提醒：尽可能多的考虑解法三．微分方程转换为一阶显式微分方程组Matlab 微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE 解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab 可接受的标准形式.当然，如果ODEs 由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs 为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：()'''(1)'''(1)()'''(1)'''(1)(,,,,,,,,,,)(,,,,,,,,,,)m m n n m n x f t x x x x y y y y y g t x x x x y y y y ----⎧=⎨=⎩Step 2 为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外'''(1)123'''(1)123,,,,,,,,,m m n m m m m n x x x x x x x x x y x y x y x y--++++========注意：ODEs 中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式''''122334123''12123,,,,(,,,,,),,(,,,,,)m m n m m m nm n x x x x x x x f t x x x x xx xg t x x x x +++++======练习与思考：(1)求解微分方程组**'''3312*'''3312()()22x x x y x r r y y y x y r r μμμμμμ⎧+-=+--⎪⎪⎨⎪=+--⎪⎩其中2r =1r =*1,μμ=-1/82.45,μ=(0) 1.2,x =(0)0,y ='(0)0,x ='(0) 1.049355751y =-(2)求解隐式微分方程组''''''''''''2235x y x y x y x y xy y ⎧+=⎨++-=⎩ 提示：使用符号计算函数solve 求'''',x y ，然后利用求解微分方程的方法四．偏微分方程解法Matlab 提供了两种方法解决PDE 问题，一是使用pdepe 函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 问题，PDEtoll 有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE 问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了GUI 界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过File —>Save As 直接生成M 代码.1.一般偏微分方程（组）的求解(1)Matlab 提供的pdepe 函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)@pdefun 是PDE 的问题描述函数，它必须换成标准形式：(,,)[(,,,)](,,,)m m u u u uc x t x x f x t u s x t u x t x x x-∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 这样，PDE 就可以编写入口函数：[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)，m,x,t 对应于式中相关参数，du 是u 的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s 这三个函数.@pdebc 是PDE 的边界条件描述函数，它必须化为形式：(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂==∂ 于是边值条件可以编写函数描述为：[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du),其中a 表示下边界，b 表示上边界.@pdeic 是PDE 的初值条件，必须化为形式：00(,)u x t u =，故可以使用函数描述为：u0=pdeic(x)sol 是一个三维数组，sol(:,:,i)表示i u 的解，换句话说，k u 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)，通过sol ，我们可以使用pdeval 函数直接计算某个点的函数值.(2)实例说明求解偏微分2111222221220.024()0.17()u u F u u t xu u F u u tx ⎧∂∂=--⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩ 其中， 5.7311.46()x x F x e e -=-且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1(0,)0,u t x ∂=∂221(0,)0,(1,)1,(1,)0uu t u t t x∂===∂ 解：(1)对照给出的偏微分方程和pdepe 函数求解的标准形式，原方程改写为111221220.024()1.*()10.17u u F u u x u F u u u t x x ∂⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦可见1121220.024()10,,,()10.17u F u u x m c f s F u u u x ∂⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤∂====⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∂⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦ %目标PDE 函数function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du) c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp)) end(2)边界条件改写为：下边界2010.*00f u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦上边界1110.*000u f -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦%边界条件函数function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) pa=[0;ua(2)]; qa=[1;0]; pb=[ub(1)-1;0]; qb=[0;1]; end(3)初值条件改写为：1210u u ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦%初值条件函数 function u0=pdeic(x) u0=[1;0]; end(4)编写主调函数 clc x=0:0.05:1; t=0:0.05:2; m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); subplot(2,1,1) surf(x,t,sol(:,:,1)) subplot(2,1,2) surf(x,t,sol(:,:,2))练习与思考： This example illustrates the straightforward formulation, computation, and plotting of the solution of a single PDE.2()u u t x xπ∂∂∂=∂∂∂ This equation holds on an interval 01x ≤≤ for times 0t ≥. The PDE satisfies the initial condition (,0)sin u x x π= and boundary conditions(0,)0;(1,)0t uu t e t xπ-∂=+=∂ 2.PDEtool 求解偏微分方程(1)PDEtool （GUI ）求解偏微分方程的一般步骤在Matlab 命令窗口输入pdetool ，回车，PDE 工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解，整个过程大致可以分为六个阶段Step 1 “Draw 模式”绘制平面有界区域Ω，通过公式把Matlab 系统提供的实体模型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域.Step 2 “Boundary 模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件.Step 3 “PDE 模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d ，根据具体情况，还可以在不同子区域声明不同系数.Step 4 “Mesh 模式”网格化区域Ω，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网格进行多次细化，使网格分割更细更合理.Step 5 “Solve 模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界条件后可以求出给定时刻t 的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值.求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解.Step 6 “View 模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型问题的解还可以进行动画演示.(2)实例说明用法求解一个正方形区域上的特征值问题：12|0u u u u λ∂Ω⎧-∆-=⎪⎨⎪=⎩ 正方形区域为：11,1 1.x x -≤≤-≤≤(1)使用PDE 工具箱打开GUI 求解方程(2)进入Draw 模式，绘制一个矩形，然后双击矩形，在弹出的对话框中设置Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,确认并关闭对话框(3)进入Boundary 模式，边界条件采用Dirichlet 条件的默认值(4)进入PDE 模式，单击工具栏PDE 按钮，在弹出的对话框中方程类型选择Eigenmodes,参数设置c=1,a=-1/2,d=1,确认后关闭对话框(5)单击工具栏的按钮，对正方形区域进行初始网格剖分，然后再对网格进一步细化剖分一次(6)点开solve菜单，单击Parameters选项，在弹出的对话框中设置特征值区域为[-20,20](7)单击Plot菜单的Parameters项，在弹出的对话框中选中Color、Height(3-D plot)和show mesh项，然后单击Done确认(8)单击工具栏的“=”按钮，开始求解。

matlab求解偏微分

matlab求解偏微分
在MATLAB中，求解偏微分方程可以使用偏微分方程工具箱（Partial Differential Equation Toolbox）提供的函数来实现。

偏微分方程工具箱提供了许多函数来求解各种类型的偏微分方程，包括椭圆型、双曲型和抛物型偏微分方程。

首先，你需要定义你的偏微分方程。

然后，你可以使用偏微分方程工具箱中的函数来求解这个方程。

例如，如果你的偏微分方程是一个二维的波动方程，你可以使用 "pdepe" 函数来求解。

如果你的偏微分方程是一个二维的热传导方程，你可以使用 "pdepe" 函数来求解。

在使用这些函数时，你需要提供偏微分方程的边界条件、初始条件和空间网格。

你还可以指定求解的时间范围，如果你的方程是一个时间相关的偏微分方程的话。

除了偏微分方程工具箱提供的函数，MATLAB还提供了其他一些函数来求解偏微分方程，比如 "pdepe" 和 "pdepe"。

这些函数可以用来求解更加复杂的偏微分方程，或者对于一些特殊的情况。

总之，在MATLAB中求解偏微分方程可以通过偏微分方程工具箱提供的函数来实现，你需要先定义你的偏微分方程，然后使用相应的函数来求解。

当然，具体的求解方法还会根据你的偏微分方程的类型和具体情况而有所不同。

matlab求解偏微分方程

matlab求解偏微分方程
Matlab求解偏微分方程的步骤:
1、首先，定义偏微分方程，并确定微分方程的种类；
2、然后，选择Matlab解决方案，所有内置微分方程求解器都支持基于初始值的手算方案；
3、接着，指定偏微分方程的解决参数，如函数、初始值、区间、边界
条件和终止条件；
4、之后，启动Matlab微分方程求解器，以计算偏微分方程的解决结果，如需要则可以绘制曲线图；
5、最后，检查偏微分方程的解决结果是否准确，可以利用MATLAB
自带的代数系统软件Maple来检查数值结果。

总体来说，使用Matlab求解偏微分方程非常容易，用户可以根据实际
情况，快速地完成偏微分方程的解决。

Matlab提供了一系列灵活的解
决方案，可以满足日常研究工作的所有需求。

另外，Matlab的可视化
绘图，可以帮助用户更好地理解偏微分方程的结果。

偏微分方程—matlab

基础知识偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常(即不随时间变化)过程，都可用椭圆型方程来描述。

其最典型、最简单的形式是泊松方程 (Poiss on)2 2 cu d u 匚 u = 2 — f (x, y) .x :y特别地，当f ( x, y)三(时， 2 2’ eu a u 门 -u 2 ----- 2 0 ex dy (1)即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程(2) 带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。

Poisson 方程的第一边值问题为 u 号 u =f(x,y) « ex dy u(x,y )(x,y^<p (x,y )其中Q 为以r 为边界别为Q , r 上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示成 u ：：=：u = 0 (a 0) ；n(x,y)<其中n 为边界r 的外法线方向。

当在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。

其最简单的形式为一维热传导方程(x,y)门 r = cQ 的有界区 (3)域，r 为分段光滑曲线，Q Ur 称为定解区域,f (x, y), ?(x, y)分a = 0时为第二类边界条件，a 工时为第三类边界条件。

.、 .2 .u ：一 u c ,c 、 a 2 0 (a 0) (5) :t ；:x 方程(5)可以有两种不同类型的定解问题: 初值问题(也称为 Cauchy 问题) 「詞 -2—-a —^- =0 t 0, _：： :: x ：：；:t ：x 2 (6) u(x,0) = (x) - ：： :: x ：：：：初边值问题 J "2cu cu 一 -a*u(x,0) =®(x)-2 =0.x0 :：t :： T,0 ：：： x :: l(7)u(0,t) =g(t),u(l,t) =g 2(t), 0 vx v l 其中？(x ), g 1(x ), g 2(x)为已知函数，且满足连接条件 (0^g 1(0), (lHg 2(0)问题(7)中的边界条件u(0,t)二g 1(t),u(l,t) =g 2(t)称为第一类界条件。