常数项级数的概念和性质

∞
（2） ∑ ( n + 2 − 2 n + 1 + n ) n=1
3．判别下列级数的敛散性：
∞
∑ （1） (−1)n−1 n=1
∑ （2） ∞ (−1)n−1 ( 4)n
n=1
5
∑ （3） ∞ ( 3)n
n=1 2
∑ ∑ ∞
（4） n 0.001
n=1
（5）
∞ n=1
2n + 3n 6n
（6） 1 5
的傅立叶系数
a
∗ n
、
bb∗
与
an
,
bn
的关系是
a
∗ n
=
， bb∗ =
.
（5） f (x) = e x cos x 在[−π ,π ] 上傅立叶系数 a0 =
， b1 =
2．将函数 f (x) = x 2 （ − π ≤ x ≤π ）展开成傅里叶级数.
3．以 2π 为周期的周期函数 f (x) 在[−π ,π ] 上的表达式为
∑ （1）
∞ n=1
3n n ⋅ 2n
∑ （2）
∞ n=1
2n ⋅ n! nn
∑ （3） ∞ ⎜⎛ n ⎟⎞2n−1 n=1 ⎝ 3n − 1⎠
3．判别下列级数的敛散性：
∑ （1）
∞ n=1
n2 + 2n
3n
∑ （2）
∞ n=1
3
+
(−1) 2n
n
∑ （3） ∞ ( na )n ，（ a ＞0） n=1 n + 1
∞ n−1
1 (2n −1)2n
的和.
∞
∑ 5．求幂级数 (2n + 1)x n 的收敛域及其和函数. n−1 习题 11-4 函数展开成幂级数
1．将下列函数展开成 x 的幂级数，并求展开式成立的区间： （1） ln(a + x) ，（ a ＞0） （2） a x ，（ a ＞0 且 a ≠ 1），
续，且 f (0) = −1, S (0) = 2 ，则 lim f (x) =
.
x →0+
（3）设
f
(x)
=
⎧⎪⎪1 ⎨ ⎪⎪⎩1
+ −
x π x π
, −π ,0 ≤
≤ x
x< <π
0
展成以
2π
为周期的傅立叶级数的函数为
S ( x)
，则
S (−3) =
， S (12) =
， S (kπ ) =
（4） f (x) 是以 2π 为周期的函数，已知其傅立叶系数是 an , bn ，若 g(x) = f (−x) ，则 g (x)
4．判断下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？
∑ （1） ∞ (−1)n (1 − cos a ) ，（ a ＞0）
n=1
n
∑∞
（2） (−1)n
1
n=2
ln n
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ 5．已知级数
a
2 n
和
bn2 都收敛，试证明级数
anbn 绝对收敛.
n=1
n=1
n =1
习题 11-3 幂级数
n =1
cos nx + bn
sin nx)
则
a0 =
， an =
， bn =
(n = 1,2,L) ；若 f (x) 又为偶函数，则
a0 =
， an =
， bn =
(n = 1,2,L) .
（2） f (x) 满足收敛定理条件，其傅立叶级数的和函数为 S (x) ，已知 f (x) 在 x = 0 处左连
+1+
1 25
+ 2 +L+
1 5n
+ n +L
习题 11-2 常数项级数的审敛法
1．用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性：
∑∞
（1）
1
n=1 n n + 1
∑ （2）
∞ 1+ n n=1 1 + n 2
cos 2
2 n
∑ （3）
∞ n=1
sin
π 2n
2．用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性：
习题 11-1 常数项级数的概念和性质
1．填空题：
∞
∑ （1）
un
n=1
收敛，则
lim(u
n→∞
2 n
− un
+ 3)
=
.
∞
∑ （2）
an
n=1
收敛，且 Sn
=
a1
+ a2
+
L
+
an
，则
lim(
n→∞
S
n+1
+
S n−1
− 2Sn )
=
.
（3） ( 1 2
+
1) + ( 1 3 22
+
1 )+( 1
2n
n =1
n=1 n − 3n
∞
∞
∑ ∑ 3．若幂级数 an x n 的收敛域是[-9,9]，写出 an x 2n 的收敛域.
n=1
n =1
4．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数：
∞
∑ （1） nx n−1 ，（-1＜ x ＜1） n=1
∑ ∑ （2）
∞ n=1
x 2n−1 ，（-1＜ x ＜1），并求级数 2n −1
32
23
+
1 33
)
+
L
的和是
.
∞
∞
∑ ∑ （4）若 un 的和是 3，则 un 的和是
.是 2，则 ∞ t n 的和是
n=1
n=1 2
.
∞
∑ （6）当 x ＜1 时， x n 的和是
.
n=1
2．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性：
∑∞
（1）
1
n=1 (2n − 1)(2n + 1)
（3） sin 2 x
（4） (1 + x) ln(1 + x)
2．将函数
f
(x)
=
1 (1 + x)2
在 x0
= 1 处展开成幂级数.
3．将函数 f (x) = 1 展开成（ x − 2 ）的幂级数. 3+ x
4．将函数
f
(x)
=
2x +1 x2 + x − 2
展开成（ x − 2 ）的幂级数.
习题 11-5 函数的幂级数展开式的应用
1．利用函数的幂级数展开式求 9 522 的近似值（误差不超过 0.00001）.
∫0.5
2．利用被积函数的幂级数展开式求定积分
dx
的近似值（误差不超过 0.00001）.
0 1+ x4
习题 11-7 傅里叶级数
1．填空题：
∑ （1）如果
f
(x)
是周期为 2π
的周期函数,并且
f
(x)
=
a0 2
+
∞
(an
⎧0 f (x)⎩⎨1
−π 0≤
≤xp x pπ
0
，将其展开为傅里叶级数.
4．将函数 f (x) = x sin x （0≤ x ≤π ）分别展开成：
（1）正弦级数 （2）余弦级数
习题 11-8 一般周期函数的傅里叶级数
1．将函数 f (x) = 2 + x , (−1 ≤ x ≤ 1) 展开成傅里叶级数.
1．填空题：
∑ （1）若幂级数
∞ n=1
an
⎜⎛ ⎝
x
− 2
3
⎟⎞ n ⎠
在
x
=
0 处收敛，则在
x
=
5
处
（收敛、发散）.
∑ （2）若 lim cn
c n→+∞ n+1
∞
= 2 ，则幂级数 cn x 2n 的收敛半径为
n=0
.
∑ （3） ∞ (−3)n x n 的收敛域
n=1
n
.
∑ （4）
∞ n=0
3
+
(−1) 3n
n
xn
的收敛域
∑∞
（5） (−1)n
n=1
x 2n+1 n ⋅ 2n
的收敛域
.
∑ (6) ∞ 1 + n (x − 2)n 的收敛域 n=0 1 + n2
.
2．求下列幂级数的收敛域：
∑ （1）
∞ n=1
2n n2 +1
xn
∑ ∑ （2） ∞ 2n − 1 x3n
∞
（3）
1 (x − 3)n