北师大版八下1.2-等腰三角形课件
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北师大版八年级数学下册课件 1.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1. 理解并掌握两个三角形全等的判别方法（AAS）以及 等腰三角形的概念及性质；（重点） 2. 能运用等腰三角形的性质解决相关问题.（难点）
复习导入 观察图中的等腰三角形ABC，分别指出它的腰、底边、顶角和 底角.
A
腰 顶角 腰
B 底角 底角 C
随堂检测 1.在△ABC中，AB=AC， AD垂直于BC ，垂足为D ， ∠BAC=108°， 则 ∠BAD= __5_4_°_.
2.在等腰三角形中，有一个角是 50°，它的一条腰上的高与
底边的夹角是( B )
A.25°
B40°
随堂检测 3.如图，在△ABC 中， D为 AC 边上一点，以点 A 为圆心，AD为 半径画弧，交 BA 的延长线于点E ，连接 ED .若∠C=50°， ∠ B= 60°，则∠CDE 的度数为( A) .
A.145° C.135°
B.140° D.130°
随堂检测
4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在AB上，且BC=BD， AD=DE=BE，则∠A= 45°.
【解析】如图，设某个较小的角为 x，其他的角 度分别用含有 x 的式子表示. 利用外角与三角形内角和， 列方程：2x+3x+3x=180，即8x=180，求得 ∠A=2x=45°.
底边
思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的
两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和学习过的定 理证明它吗？
A
D
B
C
E
F
合作探究 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，
BC=EF.
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
北师大版八年级下学期1.等边三角形的性质课件
10.已知△ABC是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线
交于点G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，AB，
BC，AC边上的高交于点H，则下列结论：①点G与点I一定
重合；②点G与点H一定重合；③点I与点H一定重合；④点
G，点I与点H一定重合．其中正确的有(D )
A．1个
B．2个
C．3个
8.如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直 线m上，边BC与直线m所夹角为30°，则∠α 的度数为(D ) A．60° B．45° C．40° D．30°
9.如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD 与BE相交于点P，则∠APE的度数是( C ) A．45° B．55° C．60° D．75°
2 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且 △ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：由题意易知， BD＝DE＝AD， ∴∠DBA＝∠BAD. 又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE ＝30°＋60°＋30°＝120°.
AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD，
BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
1 求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数. 解：如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，
AC边上的中线，且CE与BF相交于点O， 则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC， 在Rt△ABF中，∵∠A＝60°， ∴∠ABF＝30°. 在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°， 即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°
在等腰三角形中画出一些线段(如角平 分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相 等的线段吗？能证明你的结论吗？
等腰三角形的性质(八下优质课件)
等边对等角 三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底 边上的高和中线才有这一性 质.而腰上高和中线与底角 的平分线不具有这一性质.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
12
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. B D C
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
典例精析
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及 底边上的高线互相重合(三线合一）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A 综上可得：如图,在△ABC中,
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：
AF⊥BC.
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质
得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，
再根据等腰三角形的性质证明．
A
A
B
D GE
B C
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
北师大版八下1.2 等腰三角形课件
想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并 且每个角都等于60°
′
已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明：
结论:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等. 定理：等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°
1 1 如果AD= AC，AE= AB呢 ? 3 3
由此你得到什么结论?
1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=
∠ACE=
1 ∠ACB，那么BD=CE. n
1 ∠ABC， n
2.在△ABC中，如果AB=AC，AD= 那么BD=CE.
1 1 AC，AE= AB， n n
简述为：
1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE.
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
1 1 (1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么 3 3
BD=CE吗?
此，你能得到一个什么结论?
1 如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= 4
1∠ACB呢?由 4
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
1 1 (2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗? 2 2
2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
想一想
已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明： ∵AB=AC
C
∴∠B=∠C(等边对等角）
′
A
B
又∵AC=BC ∴∠A=∠B(等边对等角） ∴∠A=∠B=∠C 在△ABC中, ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°。
八年级等腰三角形的性质北师大版数学课件
证明后的结论,以后可以直接运用.
隋堂练习P4 1
成功者的摇篮
1.证明:等边三角形的三个角都相等并且每个角都 等于600. 2. 如图,在△ABD中, C是BD上的一点,且 AC⊥BD,AC=BC=CD. (1).求证:△ABD是等腰三角形; (2). 求∠BAD的度数.
A
B
D
C
第2题
下课了!
结束寄语
已知:
A
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.
分析:
要证明∠B=∠C,只要能使∠B、∠C为 两个全等三角形的一对对应角即可.因 此，需要作辅助线“过点A作高线AD”. 证明: 过点A作AD⊥BC,交BC于点D.
在Rt△ABD与Rt△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）, ∴ △ABD≌△ACD（HL）.
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上
的已高知:互相重合(三线合一).
A
如图,在△ABC中, AB=AC, ∠1=∠2.
求证:BD=CD,AD⊥BC.
分析:
12
要证明BD=CD,AD⊥BC,只要能证明
△ABD≌△ACD即可.由公理(SAS)易证. 证明: 在△ABD与△ACD中 ∵ AB=AC （已知）,
证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
A′ ●
● ● C′
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）.
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）, AB=A′B′（已知）,
驶向胜利 的彼岸
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
回顾与思考 6
几何的三种语言
北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文
第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定 性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的___一__半____； 性质(2)：直角三角形的两个锐角互余． 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一 不等式的性质 例1 ＞
＞
＜ ＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的 方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二 一元一次不等式(组)的解法 例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与 技能
全等三角形
等腰三角形 及直角三角
形
直角三角形 和勾股定理
及逆定理
线段的垂直 平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24
北师大版八年级下册数学1.2.2等腰三角形的性质(2)课件
(1)证明:∵∠ABC=90°, (2)解:∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBF=∠ABE=90°.
∴∠CAB=∠ACB=45°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
∵AE=CF,AB=BC,
∴∠BCF=∠BAE=15°.
∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD 如图，AB＝BC，BD平分∠ABC，AC＝10.
分析:由折叠知△ADE≌△BDE得到AD=BD,在Rt△ACD中,由 ∴∠ABD＝∠CBD＝25°
在△ABC与△AED中 （4）连接AB，得到Rt △ABC.
勾股定理求AD的长. (1)证明:∵∠ABC=90°,
第2课 等腰三角形的性质(2)
一、新课学习 1. 如图，分别画出△ABC的边BC上的中线、高和角平 分线.
解：如图所示
等腰三角形的 顶角的平分线 、底边上的中线 、底__边__上__的__高线 互相重合．(简称“三线合一”) (1)∵AB＝AC，∠1＝∠2， ∴_A_D__⊥__B_C_，_B_D__=_C__D_； (2)∵AB＝AC，BD＝CD， ∴_∠__1_=_∠__2_，_A_D__⊥__B_C_； (3)∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴_∠__1_=_∠__2_，_B__D_=_C__D_.
5. 如图，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠ABC＝50°，BE ＝DE，求∠AED的度数. 解：∵AB＝BC，BD⊥AC ∴∠ABD＝∠CBD(“三线合一”) ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝50° ∴∠ABD＝∠CBD＝25° ∵BE＝DE，∴∠BDE＝∠ABD＝25° ∴∠AED＝∠ABD＋∠BDE＝50°
等腰三角形(3)课件2022-2023学年北师大版八年级数学下册
6.【例3】用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.
证明:①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角, 则∠B＋∠C＝180°,则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角, 则∠B＋∠C＞180°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. 综上所述,假设①②错误, 所以∠B,∠C只能为锐角. 故等腰三角形两底角必为锐角.
对点训练
1.(北师8下P8、人教8上P77)如图,在△ABC中,∠B＝∠C,求 证:AB＝AC. (提示:添加辅助线,构造全等三角形)
证法一:如图1,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＝∠C,AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB＝AC.
解:(1)∵∠ABC＝∠ACB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形. ∵BE＝BD＝BC, ∴△BCD,△BED是等腰三角形. ∴图中所有的等腰三角形有:△ABC,△BCD,△BED.
(2)∵∠AED＝114°,∴∠BED＝180°－∠AED＝66°. ∵BD＝BE,∴∠BDE＝∠BED＝66°. ∴∠ABD＝180°－66°×2＝48°. 设∠ACB＝x°,∴∠ABC＝∠ACB＝x°. ∴∠A＝180°－2x°. ∵BC＝BD,∴∠BDC＝∠ACB＝x°. 又∵∠BDC为△ABD的外角, ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD. ∴x＝180－2x＋48,解得x＝76.∴∠ACB＝76°.
等腰 三角形.
9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF∥AD,交 AC于点E,交BA的延长线于点F,求证:△AEF是等腰三角形.
新北师大版八年级下册数学全册分单元复习课件
AD ⊥____; BC ∠BAD CAD ∴____ _____= ∠ _____.
(3) ∵ AD是角平分线，
AD ⊥____;_____=____. BC BD CD ∴____
B
D
C
考点二 勾股定理
例2
在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、
∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求 BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
c b2 a 2 42 32 7, 1 1 又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 2 2
BD ac 6 7 3 7 . b 8 4
方法总结 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是
直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)； ③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三 角形；若不相等，则不是直角三角形．
针对训练
3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形 的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有
28 x= 3 4 ∴x-8= 3
,
;
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得
2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
28 28 4 cm, cm, cm. 故此等腰三角形的三边长分别为 3 3 3
(3) ∵ AD是角平分线，
AD ⊥____;_____=____. BC BD CD ∴____
B
D
C
考点二 勾股定理
例2
在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、
∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求 BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
c b2 a 2 42 32 7, 1 1 又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 2 2
BD ac 6 7 3 7 . b 8 4
方法总结 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先 用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简 便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边， 如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是
直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大； ②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)； ③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三 角形；若不相等，则不是直角三角形．
针对训练
3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形 的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有
28 x= 3 4 ∴x-8= 3
,
;
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得
2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
28 28 4 cm, cm, cm. 故此等腰三角形的三边长分别为 3 3 3
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
即“等角对等边”．
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
课件
课件
课件
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课件 课件
课件 课件
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第二课时)课件
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) 1 1 ABD ABC，ACE ACB 4 4 ABD ACE(等量代换) 在ABD和ACE中
你 能 吗 ？
你能得到什么结论？
ABD ACE AB AC A A ABD ACE( ASA) BD CE (全等三角形的对应边相等)
公理.
两边及其夹角 对应相等的两个
三角形全等（SAS）.
知 识 回 顾
公理. 两角及其夹边 对应相等的两个
三角形全等（ASA）.
公理.
三边
对应相等的两个
三角形全等（SSS）. 定理 两角及其中一角的对边 对应相等 的两个三角形全等（AAS）.
2014年3月10日星期一 00:27:50
全等三角形的 对应角 相等.
2014年3月10日星期一 00:27:50
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等 . 知
你能证明这个结论吗？
2014年3月10日星期一 00:27:50
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
1 1 证明： AD AC，AE AB 2 2 AD AE (等量代换) 在ADB和AEC中 AD AE A A AB AC ADB AEC ( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你 行 吗 ？
2014年3月10日星期么？试证明你的结论.
你 能 吗 ？
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) 1 1 ABD ABC，ACE ACB 4 4 ABD ACE(等量代换) 在ABD和ACE中
你 能 吗 ？
你能得到什么结论？
ABD ACE AB AC A A ABD ACE( ASA) BD CE (全等三角形的对应边相等)
公理.
两边及其夹角 对应相等的两个
三角形全等（SAS）.
知 识 回 顾
公理. 两角及其夹边 对应相等的两个
三角形全等（ASA）.
公理.
三边
对应相等的两个
三角形全等（SSS）. 定理 两角及其中一角的对边 对应相等 的两个三角形全等（AAS）.
2014年3月10日星期一 00:27:50
全等三角形的 对应角 相等.
2014年3月10日星期一 00:27:50
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等 . 知
你能证明这个结论吗？
2014年3月10日星期一 00:27:50
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
1 1 证明： AD AC，AE AB 2 2 AD AE (等量代换) 在ADB和AEC中 AD AE A A AB AC ADB AEC ( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你 行 吗 ？
2014年3月10日星期么？试证明你的结论.
北师大版八年级数学下册等腰三角形和直角三角形复习课件
选一选 你真棒
6.下列关于直角三角形的判定，正确的有（ D） (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形. (定义) (2)两内角互余的三角形是直角三角形。 (3)一条边上的中线等于该边的一半，这条边所对的
角是直角，则这个三角形是直角三角形。 (4)较小两边的平方和等于较大边的平方的三角形是
直角三角形. (勾股定理的逆定理)
则底角度数为______顶角度数为_______。
2 如图，已知在直角△ABC中， ∠C=90 °， BD平分∠ABC交AC于D；
（1）若∠BAC=30 °，则AD=——； A
D
B
C
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：
BM=CM。 A
▪ 证明：∵AB=AC
▪ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
▪ ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ▪ ∴∠BEC=∠CDB=90° ▪ ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
E
Mபைடு நூலகம்
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来
▪ ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ▪ ∴BM=CM（等角对等边）
（1）求证ME=MF；
课后思考 （2）若CD为AB边上的高， ME+MF与CD有什
么数量关系？
（3）若M在BC上移动,ME+MF为定值吗？试说明理由。
总结：许多问题可以用基本的性质、判定解决，
用探讨研究的精神去看待
3. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的判定及反证法课件
解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC， 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB， ∴∠ABD =∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形.
练习
1-1 如图，AE平分∠BAC，DE∥AB，若 AD=5，则DE的长是____5___.
知识点二：反证法
于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
【选自教材P9随堂练习第2题】
2. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：
这五个数中至少有一个大于或等于 1 . 5
证明：假设这五个数是a1，，a3，a4，a5全
∴AB = AC.
B
D
C
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简述为：等角对等边.
几何语言：
A
在△ABC中，
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB = AC（等角对等边） B
C
例 已知：如图，AB = DC，BD = CA， BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三 角形.
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师版八年级数学下册
学习目标
1、掌握并运用等腰三角形的判定定理； 2、理解反证法的含义，并运用反证法证明命 题.
回顾复习
等腰三角形的特殊性质： 等腰三角形_两__底__角__的__平__分__线__相等、_两__腰__上__的__高_ 相等、_两__腰__上__中__线__相等. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等.
A C
反证法：在证明时，先假设命题的结论不 成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定 理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的 结论一定成立.这种证明方法称为反证法.
北师大版八年级数学下册第一单元《等腰三角形(2)》课件
深圳市初中数学在线教学资源课件
课题：等腰三角形的性质（2）
导入新知
等腰三角形有哪些性质？ 1.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴. 2.等腰三角形的两个底角相等（∠B=∠C）. 3.等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高、底边 上的中线相互重合（三线合一）
A
B
D
C
新知探究
【探究一】等腰三角形的特殊性质 画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰 上的中线、两腰上的高.
证明：在△ABC中， 几何语言：
∵AB=AC(已知)，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C(等边对等角). ∴∠A=∠B=∠BC=60°. C
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
双基巩固
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，下列条件中，不能
2
13
A
B
D
课堂小结
问题1：等腰三角形有哪些特殊性质？ 问题2：等边三角形有哪些性质？ 问题3：本节课学习了哪些数学方法与数学思想？
课堂小结
等腰三角 形特殊线 段的性质
底角的两条角平分线相等 两条腰上的中线相等 两条腰上的高相等
特殊到一 般的思想
方程思想 等边三角 等边三角形的三个内角都相 形的性质 等，并且每个角都等于60°. 逻辑推理
，CD，求证：AE=CD.
E
证明：∵△ABC与△BDE是等边三角C形，
∴∠1=∠3＝60°，AB=BC，BE=BD
∴∠1+∠2＝∠2+∠3.即∠ABE=∠CBD.
在AB△=BACB，E和∠△ABCEB=D∠中C，BDA，BE=BDB， E
课题：等腰三角形的性质（2）
导入新知
等腰三角形有哪些性质？ 1.等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴. 2.等腰三角形的两个底角相等（∠B=∠C）. 3.等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高、底边 上的中线相互重合（三线合一）
A
B
D
C
新知探究
【探究一】等腰三角形的特殊性质 画一画：在等腰三角形中作两底角的角平分线、两腰 上的中线、两腰上的高.
证明：在△ABC中， 几何语言：
∵AB=AC(已知)，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C(等边对等角). ∴∠A=∠B=∠BC=60°. C
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
双基巩固
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，下列条件中，不能
2
13
A
B
D
课堂小结
问题1：等腰三角形有哪些特殊性质？ 问题2：等边三角形有哪些性质？ 问题3：本节课学习了哪些数学方法与数学思想？
课堂小结
等腰三角 形特殊线 段的性质
底角的两条角平分线相等 两条腰上的中线相等 两条腰上的高相等
特殊到一 般的思想
方程思想 等边三角 等边三角形的三个内角都相 形的性质 等，并且每个角都等于60°. 逻辑推理
，CD，求证：AE=CD.
E
证明：∵△ABC与△BDE是等边三角C形，
∴∠1=∠3＝60°，AB=BC，BE=BD
∴∠1+∠2＝∠2+∠3.即∠ABE=∠CBD.
在AB△=BACB，E和∠△ABCEB=D∠中C，BDA，BE=BDB， E
北师大版八年级数学下1.1 等腰三角形的性质课件
3.下列各图中，已知AB＝AC，写出x的值. x＝___7_0____ x＝___3_0____ x＝___3_5____
4.(例2)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，
BD＝CE.求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C(等边对等角)．
AB AC（已知） 在△ABD与△ACE中，B C（已证）
第3关 12.在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线
上一点，点E在BC上，且BE＝BF.
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数. (1)证明：∵∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点
∴∠CBF＝∠ABE＝90°在△ABE与△CBF中 AB CB ABE CBF BE BF
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：DE＝DF. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝ 90°∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∵D是BC边上的中点，∴BD ＝CD在△BDE与△CDF中
DEB DFC B C ∴△BDE≌△CDF(AASB)D， C∴DDE＝DF
2
2
中，
AE AF
∴△AEC≌△AFC(SAS)∴1EC＝2FC，∴这两根彩线
的长相等；
AC AC
AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：∠A＝∠D.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，
即BC＝EF.
AB DE（已知）
在△ABC与△DEF中，
BC AC
EF DF（已知）
∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠A＝∠D.
2.如图，AB平分∠CAD，∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ABD. 证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB＝ ∠DAB∵∠1＝∠2∴∠CBA＝∠DBA(等 角的补角相等)在△ABC与△ABD中，
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下面我们就来证明上面提到的线段中的一 种：等腰三角形两底角的平分线相等．
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
A 求证：BD=CE．
E
D
B
1
2 C
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB，
(2)如果AD= 1 AC，AE= 1 AB，那么BD=CE吗?
2
2
如果AD= 1 AC，AE= 1 AB呢 ?
3
3
由此你得到什么结论?
1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= 1 ∠ABC，
n 1
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
n
2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=
1
AC，AE=
1 AB，
把腰二等分的线段相等，把底角二等分 的线段相等．如果是三等分、四等分…… 结果如何呢?
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= 1 ∠ACB，那么
BD=CE吗?
3
3
如果∠ABD= 1 ∠ABC，∠ACE= 1∠ACB呢?由
4
此，你能得到一个什么结论?
4
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
n
n
那么BD=CE.
简述为： 1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE.
2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
想一想
已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明： ∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角） A
′
又∵AC=BC
D 4
C
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边 相等)．
我能行
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， E
D
BD、CE是△ABC的高．求证：BD=CE． NhomakorabeaB
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的 两个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
E
D
求证：BD=CE．
B
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的 两个三角形的全等．
上面，我们只是发现并证明了等腰三角 形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高) 相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明 的过程中得到什么启示?
∴∠A=∠B(等边对等角） ∴∠A=∠B=∠C
在△ABC中, ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°。
C B
想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并 且每个角都等于60°
′
已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明：
结论:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.
定理：等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°
1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。
2.如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点， 且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数。
A
B
D
E
C
2
2
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
证法二
A
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=
1 2
∠ABC，∠4=
1 2
∠ACB
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
E 3 B
义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册
第一章 三角形的证明
1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=__5_5_°__
2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶 角为___3_0__度
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°， 则这个等腰三角形的顶角为（ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120°
在等腰三角形中分别作出两底角的平 分线、两腰上的中线、两腰上的高，你能 发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你 的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角 的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不 可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础 去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信 它．
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
A 求证：BD=CE．
E
D
B
1
2 C
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= 1 ∠ABC，∠2= 1 ∠ACB，
(2)如果AD= 1 AC，AE= 1 AB，那么BD=CE吗?
2
2
如果AD= 1 AC，AE= 1 AB呢 ?
3
3
由此你得到什么结论?
1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= 1 ∠ABC，
n 1
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
n
2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=
1
AC，AE=
1 AB，
把腰二等分的线段相等，把底角二等分 的线段相等．如果是三等分、四等分…… 结果如何呢?
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= 1 ∠ACB，那么
BD=CE吗?
3
3
如果∠ABD= 1 ∠ABC，∠ACE= 1∠ACB呢?由
4
此，你能得到一个什么结论?
4
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
n
n
那么BD=CE.
简述为： 1.在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么 BD=CE.
2.在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
想一想
已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明： ∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角） A
′
又∵AC=BC
D 4
C
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边 相等)．
我能行
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， E
D
BD、CE是△ABC的高．求证：BD=CE． NhomakorabeaB
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的 两个三角形的全等．
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
E
D
求证：BD=CE．
B
C
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的 两个三角形的全等．
上面，我们只是发现并证明了等腰三角 形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高) 相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明 的过程中得到什么启示?
∴∠A=∠B(等边对等角） ∴∠A=∠B=∠C
在△ABC中, ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°。
C B
想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三 角形的内角有什么特征？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并 且每个角都等于60°
′
已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明：
结论:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等.
定理：等边三角形的三个内角都相等， 并且每个角都等于60°
1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。
2.如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点， 且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数。
A
B
D
E
C
2
2
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
证法二
A
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=
1 2
∠ABC，∠4=
1 2
∠ACB
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
E 3 B
义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册
第一章 三角形的证明
1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=__5_5_°__
2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶 角为___3_0__度
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°， 则这个等腰三角形的顶角为（ C ） A．30° B．150° C．30°或150° D．120°
在等腰三角形中分别作出两底角的平 分线、两腰上的中线、两腰上的高，你能 发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你 的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角 的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不 可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础 去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信 它．