椭圆中最值问题习题2013.08.04

椭圆中最值问题

1.已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两

点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程

（2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ∆的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）设椭圆的方程是22

221(0)x y a b a b

+=>>，

由交点的坐标得：1c =，---------------（1分）

由||3PQ =，可得2

23b a

=----------------（2分） 解得23a b ==，---------------（3分）

故椭圆的方程是22

143

x y +=-----------（4分） （2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><， 设1F MN ∆的内切圆半径是R ，则1F MN ∆的周长是48a =，

1111

()42

F MN S MN F M F N R R ∆=++=，

因此1F MN S ∆最大，R 就最大-----------------------（6分）

11212121

()2

F MN S F F y y y y ∆=

-=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+，

由22114

3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分）

解得221222361361

3434

m m m m y y m m -++-++==++，

则212122

1121()234

AMN

m S AB y y y y m ∆+=-=-=+-----------------（9分）

令21t m =

+，则1t ≥

则212122

112112

()12343AMN

m S AB y y y y m t t

∆+=-=-==++------------（10分） 令2

11()3()3f t t f t t t '=+=-

， 当1t ≥时，()0f t '≥，()f t 在[)1+∞，

上单调递增， 有12

()(1)434AMN f t f S ∆≥=≤=，， 即当10t m ==，时，12344

AMN AMN S S R ∆∆≤==，，

所以max 3

4R =， 此时所求内切圆面积的最大值是916

π

故直线:1l x =，AMN ∆内切圆的面积最大值是916

π

-----------------------------------（12分

2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率3

2

=

e ，且椭圆C 上的点到()2,0Q 的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；

（2）在椭圆C 上，是否存在点()n m M ,使得直线l ：1=+ny mx 与圆1:2

2

=+y x O 相交

于不同的两点B A ,，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设22c a b =

- 由222233c e c a a =

=⇒=，所以22221

3

b a

c a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则

22

22

1x y a b +=，所以2

2

2

222(1)3y x a a y b

=-=-

2222222||(2)3(2)2(1)6PQ x y a y y y a =+-=-+-=-+++

当1b ≥时，当1y =-时，||PQ 有最大值2

63a +=，可得3a =

，所以

1,2b c ==

当1b <时，226363PQ a b <

+=+< 不合题意

故椭圆C 的方程为：2

213

x y +=

（2）AOB ∆中，1OA OB ==，11sin 22

AOB S OA OB AOB ∆=

⨯⨯⨯∠≤ 当且仅当90AOB ︒

∠=时，AOB S ∆有最大值12

，

90AOB ︒

∠=时，点O 到直线AB 的距离为22

d =

2222

212

22

2

d m n m n =

⇔=

⇔+=+ 又2

2

2

231

33,22

m n m n +=⇒==，此时点62(,)22M ±±。

3.已知点p 是椭圆116

252

2=+y x 位于第一象限内的任一点，过点P 作圆1622=+y x 的两条

切线()是切点点B A PB PA ,,，直线AB 分别交于x 轴，y 轴于点,,N M 求MON ∆的面积

MON S ∆的最小值