2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题：第三章 类比推理
高中数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 1.2 含解析
AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面
面积间的关系，可以得出的结论是________________________________________________．
答案 设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直，则 S2△ABC＋S2△ACD＋
＝2S，类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i＝1,2,3,4)，若S1＝S2＝S3
k
123
＝S4＝K，则 4
H1＋2H2＋3H3＋4H4
等于多少？
解 对平面凸四边形：
S＝12a1h1＋12a2h2＋12a3h3＋12a4h4 ＝1(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥 P－ABC 中，三个侧面 PAB，PBC，PCA
两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明：设 P 在平面 ABC 的射影为 O，延长 CO 交 AB 于 M，记 PO＝h，
由 PC⊥PA，PC⊥PB，得 PC⊥面 PAB，从而 PC⊥PM，又∠PMC＝α，
探究点一 平面图形与立体图形间的类比
阅读下面的推理，回答后面提出的问题：
1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；
(2)有大气层，在一年中也有季节变更；
(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上
也可能有生命存在．
2
＝2k(h1＋2h2＋3h3＋4h4)， 所以 h1＋2h2＋3h3＋4h4＝2kS；
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(5)
一、选择题1．观察下列各式：177=，2749=，37343=，，则20207的末位数字为（ ）A ．7B ．9C ．3D ．12．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测： 同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学； 同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学； 同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学； 同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（ ） A ．管理学、医学、法学、教育学 B ．教育学、管理学、医学、法学 C ．管理学、法学、教育学、医学 D ．管理学、教育学、医学、法学4．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（ ）A ．381B ．361C ．362D ．4005．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（ ）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a6．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2233445522,33,44,55338815152424====，则按照以上规律，若8888n n=具有“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．808．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．659．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④2．天干地支纪年法源于中国，包含十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，……依此类推．已知一个“甲子”为60年，即天干地支纪年法的一个周期，1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（ ） A ．己申年B ．己酉年C ．庚酉年D ．庚申年3．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到（ ）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12754．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m 经过6次运算后才得到1，则m 的值为（ ） A ．5或32B ．10C ．64D ．10或645．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学6．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π7．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A ．714B ．1870C ．4895D ．48968．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质9．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（ ）A ．2025B ．3052C ．3053D ．304910．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！”丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．412．在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩最高. 乙:我的成绩比丙的成绩高 丙:我的成绩不会最差成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（ ） A ．甲、丙、乙 B ．乙、丙、甲 C ．甲、乙、丙D ．丙、甲、乙二、填空题13．从22211,2343,345675,=++=++++=中，可猜想第n 个等式为__________.14．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .15．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.16．已知直线l 与圆222x y r +=交于A 、B 两点，P 线段AB 的中点，则1AB OP k k ⋅=-.试用类比思想，对椭圆写出结论：______.17．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 18．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.19．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得152x +=，类似上述过程，则33++=__________．20．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n 条线段，将圆最多分割成______部分．三、解答题21．已知两个正数x y ，，证明：这两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数，并指出何时相等.22．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值3a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则111222S a OD a OE a OF =⋅+⋅+⋅=11()22a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高3a ，即3OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.23．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）202000sin 10sin 70sin10sin 70+-（2）202000sin 15sin 75sin15sin 75+- （3）202000sin 20sin 80sin 20sin80+-（4）202000sin (13)sin 47sin(13)sin 47-+-- （5）202000sin (78)sin (18)sin(78)sin(18)-+----（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 24．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒（4）()()22sin13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒ （5）()()()()22sin 78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 25．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.26．（1）已知45A B +=︒，求证：()()1tan 1tan 2A B ++=；（2）已知非零实数a b c x y 、、、、满足2,,c xy a x c b y c ==+=+，求证：1x ya b+=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】分析：①，④具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理，②选项属于类比推理；③选项属于归纳推理；只有①④符合题意.详解：①，④，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方形的体积为棱长的立方，属于类比推理；③在数列{}n a 中，()111,312n n aa a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式，属于归纳推理，即不是演绎推理的是②③，故选C.点睛：本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不等当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.2．B解析：B 【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案． 【详解】解：天干是以10为公差构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80108÷=，则2029的天干为己， 80126÷=余8，则2029的地支为酉，故选：B ． 【点睛】本题考查了学生合情推理的能力，涉及等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．3．D解析：D 【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解. 【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，1+2+ (50)(150)502+⨯=1275. 故选：D 【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.4．D【分析】通过运算结果逐步倒推出m 的值即可. 【详解】根据题意，正整数m 经过6次运算后得到1，利用倒推思想推理如下：乘以2得2，减1再除以3得0（不符合题意），故正整数m 经过5次运算后得到2； 经同理推算，过4次运算后得到4；经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去）； 经过2次运算后得到16； 经过1次运算后得到32或5； 所以正整数m 的值为64或10. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，进行逆向推理验证是解题关键，属于中档题.5．D解析：D 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.6．A解析：A 【分析】先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积． 【详解】椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，先构造两个底面半径为a ，高为b 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积为:()222142233V V V a b a b a b πππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭圆柱圆锥，故选：A.【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要注重方法的类比，属基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得n 1n 2n a a a ++=-，进而变形可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，据此可得()()()222212101232134231011910a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+⋯⋯+-，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，数列{}n a 满足n n 2n 1a a a ++=-，即n 1n 2n a a a ++=-，两边同乘以n 1a +，可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，则()()22221210123213423a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+()1011910211011a a a a 1a a a a 1155894895⋯⋯+-=-+=-+⨯=；故选C ．【点睛】本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形，属中档题．8．C解析：C 【分析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.【详解】对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ． 【点睛】该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.9．D解析：D 【分析】去除所有为1的项后,根据图可知前n 行共有(1)2n n +个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减去后五项,即可得到此数列的前50项和. 【详解】解:去除所有为1的项后,由图可知前n 行共有(1)2n n +个数, 当n =10时,10(101)552⨯+=,即前10行共有55个数. 因为第n -1行的和为12122n n n n n C C C -+++=-, 所以前10行的和为231112(22)(22)(22)2244072-+-++-=-=.因为第10行最后5个数为1011C ,911C ,811C ,711C ,611C ,所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049. 故选:D . 【点睛】本题考查了归纳推理和等比数列前n 项和的求法,考查了推理能力,属难题.10．B解析：B 【分析】不妨假设甲出的试卷，再检验四位老师说的话的真假，再用同样的方法逐一判断即可得解. 【详解】解：假设甲出的试卷，则甲、乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是甲， 假设乙出的试卷，则只有乙说了假话，与题设相符，故出卷的是乙， 假设丙出的试卷，则乙、丙说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丙， 假设丁出的试卷，则丙、丁说了假话，与题设矛盾，故出卷的不是丁， 故选B. 【点睛】本题考查了简单的推理，重点考查了阅读理解能力，属基础题.11．B解析：B 【分析】根据题意，找出一个各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4的数组，再根据此条件判断出（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”． 【详解】根据题意，各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4， 假设a 1＜a 2，a 1＜a 3，a 1＜a 4，a 1＜a 5，且后一项都比前一项小， 因此可以判断出a 2＞a 3，a 3＞a 4，a 4＞a 5， 则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是6， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理、不等式的性质，考查了学生的理解能力及分析问题解决问题的能力，属于中档题．12．D解析：D 【解析】 【分析】假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意． 【详解】若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙． A 、B 、C 、D 中只有D 可能． 故选D ． 【点睛】本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．二、填空题13．【解析】1=122+3+4=323+4+5+6+7+=52观察可知等式左边第n 行有n 个数且第n 行的第一个数为n 每行最后一个数是以1为首项3为公差的等差数列等式右边为(2n-1)2所以猜想第n 个等式为 解析：2(1)(2)(32)(21)n n n n n +++++⋅⋅⋅+-=-【解析】 1=12， 2+3+4=32，3+4+5+6+7+=52，观察可知，等式左边第n 行有n 个数，且第n 行的第一个数为n ，每行最后一个数是以1为首项，3为公差的等差数列，等式右边为(2n-1)2，所以猜想第n 个等式为：()()()()2123221n n n n n +++++⋅⋅⋅+-=-．点睛：解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行解决．如解决含递推公式的归纳推理问题，一般是先解决题中的递推关系式求出一些特殊的对象，然后再根据这些特殊对象与序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出一般性结论．14．11【分析】由题意中1的个数比的个数多9则中2的个数比0的个数多9个其他都是1由此可设中有个1个0列方程组求解【详解】设中有个1个0因为所以的个数为又由解得故答案为：11【点睛】本题考查推理关键是认解析：11 【分析】 由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11． 【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．15．【分析】由已知可归纳推测出的对称中心为再由函数平移可得的对称中心【详解】由题意题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为即由此推测的对称中心为又所以其对称中心为故答案为：【点睛】本题考查归纳与推理涉及解析：2019,20202⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知可归纳推测出1111y x x x n =+++++的对称中心为(,0)2n-，再由函数平移可得12202011120201201912019x x x y x x x x x x +++=+++=++++++++的对称中心.【详解】由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为10,,1,2--，即120,,,22--由此推测1111y x x x n =+++++的对称中心为(,0)2n-. 又12202011120201201912019x x x y x x x x x x +++=+++=++++++++所以其对称中心为2019,20202⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：2019,20202⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题.16．若椭圆与直线交于两点是线段中点则【分析】由题意可知椭圆与直线交于两点是线段中点再根据点差法求解写出结论即可【详解】由类比思想可知椭圆与直线交于两点是线段中点设点中点则即将两点代入椭圆中上下两式相减得解析：若椭圆22221x y a b +=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，则22AB OPb k k a=-【分析】由题意可知，椭圆22221x y a b+=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，再根据点差法，求解22AB OP b k k a=-.写出结论即可.【详解】由类比思想，可知椭圆22221x y a b+=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点.设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12()x x ≠，中点00(,)P x y 则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即000000OP y y k x x -==- 将11(,)A x y ，22(,)B x y 两点代入椭圆22221x y a b +=中，22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下两式相减得22221212220x x y y a b--+=，即1212121222()()()()y y y y x x x x b a -+-+=- 所以22201212222121201···ABOPx y y x x b b b k x x a y y a y a k -+==-=-=--+ 即22AB OPb k k a=-故答案为：若椭圆22221x y a b +=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，则22AB OP b k k a=-.【点睛】本题考查类比推理，以及中点弦问题，属于中档题.17．32【解析】【分析】根据题意可分析第一组第二组第三组…中的数的个数及最后的数从中寻找规律使问题得到解决【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数最后一个数为4；第二组有4＝2×2个数最后一个数为12即解析：32 【解析】 【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决． 【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）； 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； …∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n ）＝4（1+2+3+…+n ）＝2n （n+1）．∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，∴当n ＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组． 故答案为32． 【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．18．【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律右边为平方数得到答案【详解】等式左边：第排首字母为数字个数为等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律意在考查学生的应用能力 解析：567891011121381++++++++=【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.19．【分析】先换元令平方可得方程解方程即可得到结果【详解】令则两边平方得得即解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题关键是读懂已知条件所给的方程的形式从而可利用换元法来进行求解解析：12【分析】()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果. 【详解】()0m m =>，则两边平方得，得23m +=即23m m +=，解得：12m =+或12m =（舍去）本题正确结果：12+ 【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.20．【解析】【分析】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列利用归纳推理可得利用累加法可得结果【详解】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列则归纳可得以上式子相加整理得故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤:一通解析：()11+2n n +【解析】 【分析】设n 条直线将圆最多分成的部分数,组成数列{}n a ，利用归纳推理可得1n n a a n -=+，利用累加法可得结果. 【详解】设n 条直线将圆最多分成的部分数组成数列{}n a ， 则11,11n a ==+,212,2n a a ==+,32433,3,4,4,...n a a n a a ==+==+,归纳可得，1n n a a n -=+,以上式子相加整理得，()11123 (12)n n n a n +=+++++=+，故答案为()112n n ++.【点睛】归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题21．见详解 【分析】把语言文字转化为数学表达式:2x y+≥()0,0x y >>,利用分析法进行证明，最后得到一个显然成立的不等式，证明其成立即可. 【详解】证明:正数x y ，的算术平均数为2x y+，正数x y ，∴只需证2x y+≥()0,0x y >>即可,即证x y +≥()1成立,要证()1,只需证0x y +-≥ ()2 成立即可,要证()2,只需证20≥ ()3 成立即可,显然()3是成立的,当且仅当x y =时()3中的等号成立. 【点睛】本题考查了算数平均数和几何平均数的概念，利用分析法证明不等式是解答本题的关键;重在考查学生的逻辑推理能力和逆向思维能力;属于发散思维型试题.22．正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值3，证明见解析 【解析】 【分析】利用等体积法求解，把正四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等建立等量关系. 【详解】设正四面体的边长为a ，（即正 面体的高.）证明：设O 为正四面体ABCD 内任意一点，O 到四个面的距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，正四面体高为h ，各面面积为S ，则有12341111133333V S h S h S h S h S h =⋅+⋅+⋅+⋅=⋅， 所以1234h h h h h +++=，正四面体的边长为a ，所以高3h a ==，即O 到各面的距离之和为定值3a . 【点睛】本题主要考查类比推理，把平面几何结论类比到空间，要抓住类比的核心要点.23．(1)34；(2)答案见解析. 【解析】分析：（1）选择（2）计算可得2020003157515754sin sin sin sin +-=.即该常数为34. （2）根据（1）的计算结果，猜想()()22360604sin sin sin sin αααα++-+=.结合两角和差正余弦公式整理计算即可证得题中的结论. 详解： （1）选择（2）∵20200015751575sin sin sin sin +-= 20200015151515sin cos sin cos +-01313024sin =-=.∴该常数为34.（2）根据（1）的计算结果，推广出的三角恒等式为：()()2200360604sin sin sin sin αααα++-+=. 证明如下：左边()()226060sin sin sin sin αααα=++--()()26060sin sin sin sin αααα⎡⎤=+++-⎣⎦21122sin sin sin sin αααααα⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2223144sin cos sin ααα=+-223344sin cos αα=+ 34==右边 所以等式成立.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 24．（Ⅰ）常数为34；（Ⅱ）详见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）选择（3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒可知常数为34. （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为()()223sin sin 60sin sin 604αααα++︒-+︒=直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果． 详解： （Ⅰ）选择（3）∵22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒11142=+- 34=∴该常数为34（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为()()223sin sin 60sin sin 604αααα++︒-+︒=证明如下： 左边()()22sinsin 60sin sin 60αααα=++︒-+︒()()()2sin sin 60sin 60sin αααα=++︒+︒-213sin sin cos 22ααα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 13sin cos sin 22ααα⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭22231sin cos sin 44ααα=+-2233sin cos 44αα=+ 34==右边 所以等式成立点睛：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题． 25．（1）见解析；（2）1. 【解析】试题分析：（1）本题给出平面图形的交点数、边数、区域数，只需数出结果填入表格即可；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，根据归纳推理即可猜想,,E F G 之间的等量关系. 试题 （1）（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，4581,58121,245 1...+-=+-=+-= ，可猜想,,E F G 之间的数量关系为1E G F +-=.【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 26．（1）见解析，（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）只需把tan tan tan()11tan tan A BA B A B++==-展开，可证。
2020北师大版高中数学选修1-2 课后习题：第三章 章末优化总结
章末检测(三) 推理与证明 (时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22C.lr 2D ．不可类比解析：由条件知S 扇＝12lr .答案：C2．给出下列推理：①由A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，得点P 的轨迹为双曲线； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为S ＝ab π；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 其中是归纳推理的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意知只有②是归纳推理． 答案：B3．设f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N ＋)，则f 2 011(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x 解析：由条件知f 0(x )＝cos x ， f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ，f 4(x )＝cos x ，…，故函数f (x )以4为周期循环出现，故f 2 011(x )＝sin x . 答案：A4．已知{}b n 为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29.若{}a n 为等差数列，a 5＝2，则{}a n 的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积． 答案：D5．奇数不能被2整除，32 010－1是奇数，所以32 010－1不能被2整除，上述推理( ) A ．正确B ．推理形式不正确C ．错误，因为大前提错误D ．错误，因为小前提错误解析：因为32 010－1是偶数，所以小前提错误． 答案：D6．n 个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2 009到2 011，箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 009到2 011为→↑，故选B. 答案：B7．若0<a <1,0<b <1且a ≠b ，则在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是( ) A ．a ＋b B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．2ab解析：因为0<a <1,0<b <1且a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，又0<a <1,0<b <1，所以a 2<a ，b 2<b ，所以a 2＋b 2<a ＋b .答案：A8．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……则数表中的数字2 010出现在( ) A ．第44行第75列 B ．第45行第75列 C ．第44行第74列D ．第45行第74列解析：第n 行有2n －1个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 010,2 025>2 010，∴2 010在第45行．又2 025－2 010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 010在第89－15＝74列，故选D. 答案：D9．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 即比较0与12的大小，而0<12. 故P <Q 成立． 答案：C10．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]，k ＝1,2，…，则f 2 017(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x 1－x解析：计算f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N ＋，从而f 2 017(x )＝1＋x1－x .答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.解析：前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10×(91＋109)2＝1 000.答案：1 00012．根据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.解析：设△ABC 的内切圆的半径为r ，圆心为O ，三边长分别为a 、b 、c ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形△OAB 、△OAC 、△OBC ，其面积和为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r .类似地，设三棱锥S -ABC 的内切球半径为R ，球心为O ，连接OS 、OA 、OB 、OC ，将三棱锥分割为四个小三棱锥O -SAB ，O -SAC ，O -SBC ，O -ABC ，其体积和为三棱锥S -ABC 的体积，则V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝13S 表R .答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的1313．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a 1＋b 2的最大值为______．解析：∵a ≥0，b ≥0，∴a 1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2≤22·2a 2＋1＋b 22＝22×32＝324.答案：32414．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4 α－8cos 2 α＋1；③cos 6α＝32cos 6 α－48cos 4 α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0. 对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962. 答案：962三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ca ≤13.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 又∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴将以上三个不等式相加，得： 2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . ∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca≥ab ＋bc ＋ca ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝3(ab ＋bc ＋ca )， ∴ab ＋bc ＋ca ≤13.16．(10分)设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s <t ，且s ，t ∈Z }中所有的数从小到大排列的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，….将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数； (2)求a 100.解析：(1)将前三行各数分别写成2t ＋2s 的形式： 第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22； 由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23； 第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数．因此，a 100应当是第14行中的第9个数． 所以a 100＝214＋28＝16 640.17．(12分)已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 18．(12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明． 解析：(1)5＝3＋2，且 f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． 即g (3＋2)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)． 于是猜测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )． 证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2.∴g (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2.g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝g (x ＋y )．即g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得x ==（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-2．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④3．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（ ） A ．丙、丁两镇B ．甲、乙两镇C ．乙、丁两镇D ．甲、丙两镇4．三角形的面积为1()2S a b c r =++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．1()3V ab bc ca h =++，（h 为四面体的高） D ．()123413V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．12n n n nn n c c c d n++⋯+=D ．12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --9．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值32a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A 3B 6C 6aD 3 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年12．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测二、填空题13．已知函数2()42(0)f x x x x =++≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈，则2020()f x 在[0,1]上的最大值为____________．14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.15．将正偶数按下表排列成5列，每行有4个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字2018所在的行数与列数分别是_______________.16．已知直线l 与圆222x y r +=交于A 、B 两点，P 线段AB 的中点，则1AB OP k k ⋅=-.试用类比思想，对椭圆写出结论：______. 17．观察下列等式：11=，3211=123+=，332123+=1236++=，33321236++=……可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）． 18．给出下列等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 由以上等式可推出一个一般结论：对于*n N ∈，()2314121++=12223212n n n n +⨯⨯+⨯⨯⨯+__________________．19．某种型号的机器人组装由,,,A B C D 四道工序，完成它们需要的时间依次为5,3,3x ，小时，已知完成这四道工序先后顺序及相互关系是：①,A B 可以同时开工；②只有在B 完成后C 才能开工；③只有在,A C 都完成后D 才能开工.若完成该型号的机器人组装总时间为9小时，则完成工序B 需要的时间的最大值为__________． 20．在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测: 甲说:我的成绩比乙高; 乙说:丙的成绩比我和甲的都高; 丙说:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是________.三、解答题21．（1）设a ，b ，()0,1c ∈，用反证法求证：下列三个关于x 的方程210ax x b ++-=，210bx x c ++-=，210cx x a ++-=中至少有一个有实数根. （2）已知0b a >>，且01ab <≤，用分析法求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 22．（1）求证：cot tan 2cot 2ααα=+（2）请利用（1）的结论证明：cot tan 2tan24cot 4αααα=++（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明： （4）化简：tan52tan104tan208tan50︒+︒+︒+︒. 23．已知i 为虚数单位，观察下列各等式：()()cos1sin1cos2sin 2cos3sin3i i i ++=+； ()()cos3sin3cos4sin 4cos7sin7i i i ++=+；()()cos5sin5cos6sin6cos11sin11i i i ++=+；()()cos7sin7cos8sin8cos15sin15i i i ++=+． 记()cos sin ,f i R αααα=+∈．（1）根据以上规律，试猜想()()(),,f f f αβαβ+成立的等式，并加以证明；（2）计算6122i ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭． 24．已知函数()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠），（1）若()()()()()1221f g f g g k ⋅+⋅=，求实数k 的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 25．（1）已知正数,a b 满足2a b ab +≤，求证：29a b +≥；（2）求证：1，3不可能是一个等差数列中的三项. 26．求证：一个三角形中，最大的角不小于60o..【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据类比，列方程求解结果. 【详解】2x x =∴=，选A. 【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C解析：C 【解析】分析：①，④具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理，②选项属于类比推理；③选项属于归纳推理；只有①④符合题意.详解：①，④，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方形的体积为棱长的立方，属于类比推理；③在数列{}n a 中，()111,312n n aa a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式，属于归纳推理，即不是演绎推理的是②③，故选C.点睛：本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不等当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.3．A解析：A【分析】根据条件假设去甲镇，则可找到矛盾，排除两个答案，再假设不去甲镇，去乙镇同样可得到矛盾，进而可得到答案【详解】解：假设去甲镇，则必去乙镇，但去乙镇则不能去丙镇，不去丙镇则也不能去丁镇，不去丁镇则也不能去戊镇，而丁、戊都不去则不符合条件．矛盾，则可淘汰选项B、D，若不去甲镇去乙镇，同样无法完成参观；故甲、乙两镇都不能去，则一定不能去戊镇，∴能去的地方只有丙、丁两镇．故选：A．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，也运用假设法是关键，属于中档题，4．D解析：D【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据体积公式得到答案.【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴V13=（S1+S2+S3+S4）r.故选：D．【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.5．B解析：B【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=()32n n+，然后再验证求解.【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n组最后一个数是2+3+4+…..+n+1=()32n n+.当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…， 易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==． 故选C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】 解：数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ， 则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．8．C解析：C 【分析】根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.< 只要证22()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了分析法，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】先求895,5，寻找周期性规律，结合周期可求. 【详解】895390625,51953125,==可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，201950443=⨯+，所以20195的末四位数字为8125，故选D. 【点睛】本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.10．B解析：B 【分析】将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和，计算得到答案. 【详解】棱长都等于a 的正四面体ABCD ：每个面面积为：221sin 23S a π==正四面体的高为：3a体积为：23134312V a a a =⨯⨯= 正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和32123412341()12343V a a h h h h h h h h ==⨯+++⇒+++= 故答案选B 【点睛】本题考查了体积的计算，将正四面体的体积分为O 为顶点，各个面为底面的三棱锥体积之和是解题的关键.11．C解析：C 【分析】按照题中规则依次从2019年列举到2026年，可得出答案． 【详解】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选C ． 【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题．12．A解析：A 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次． 【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名．因此，第三名是甲，故选A ． 【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题．二、填空题13．【分析】先求出且再求出且且依次类推即得解【详解】由题得函数在单调递增且所以在单调递增且所以且同理且同理且依次类推且故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质复合函数的单调性和函数最值的求法考 解析：2020232-【分析】先求出21max [()]32f x =-，且1()0f x >，再求出222max [()]32f x =-，且2()0f x >，323max [()]32f x =-，且3()0f x >，依次类推即得解.【详解】由题得函数2()42f x x x =++在[0,)+∞单调递增，且()0f x >，所以1()f x 在[0,1]单调递增，且1()0f x >，所以21max [()]142732f x =++==-，且1()0f x >，同理222max 1max [()][(())](7)7932f x f f x f ====-，且2()0f x >， 同理323max 2max [()][(())](79)32f x f f x f ===-，且3()0f x >， 依次类推，202022020max 2019max [()][(())]32f x f f x ==-，且2020()0f x >.故答案为：2020232-.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、复合函数的单调性和函数最值的求法，考查归纳推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3乙的卡片上的数字为2和3丙的卡片上的数字为1和2【详解】由题意可知丙不拿2和3若丙拿1和2则乙拿2和3甲拿1和3满足题意；若丙拿1和3则乙拿2和3解析：2和3 【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2． 【详解】由题意可知丙不拿2和3．若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故乙的卡片上的数字是2和3．故答案为：2和3 【点睛】本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．15．行列【分析】设位于第行第列观察表格中数据的规律可得出由此可求出的值再观察奇数行和偶数行最小数的排列可得出的值由此可得出结果【详解】设位于第行第列由表格中的数据可知第行最大的数为则解得由于第行最大的数解析：253行2列 【分析】设2018位于第m 行第n 列，观察表格中数据的规律，可得出()8120188m m -<≤，由此可求出m 的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出n 的值，由此可得出结果. 【详解】设2018位于第m 行第n 列(),,15m n N n *∈≤≤，由表格中的数据可知，第()k k N *∈行最大的数为8k ，则()8120188m m -<≤，解得253m =，由于第252行最大的数为25282016⨯=，所以，2018是表格中第253行最小的数， 由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第2列，那么2n =. 因此，2018位于表格中第253行第2列. 故答案为：253行2列. 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.16．若椭圆与直线交于两点是线段中点则【分析】由题意可知椭圆与直线交于两点是线段中点再根据点差法求解写出结论即可【详解】由类比思想可知椭圆与直线交于两点是线段中点设点中点则即将两点代入椭圆中上下两式相减得解析：若椭圆22221x y a b +=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，则22AB OPb k k a=-【分析】由题意可知，椭圆22221x y a b+=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，再根据点差法，求解22AB OP b k k a=-.写出结论即可.【详解】由类比思想，可知椭圆22221x y a b+=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点.设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12()x x ≠，中点00(,)P x y 则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即000000OP y y k x x -==- 将11(,)A x y ，22(,)B x y 两点代入椭圆22221x y a b +=中，22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上下两式相减得 22221212220x x y y a b--+=，即1212121222()()()()y y y y x x x x b a -+-+=- 所以22201212222121201···ABOPx y y x x b b b k x x a y y a y a k -+==-=-=--+ 即22AB OPb k k a=-故答案为：若椭圆22221x y a b +=与直线l 交于A 、B 两点，P 是线段AB 中点，则22AB OP b k k a=-.【点睛】本题考查类比推理，以及中点弦问题，属于中档题.17．或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得【详解】由观察找到规律可得：故可得解【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和属于中档题解析：()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦或()2214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】由观察找到规律可得：()223333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦故可得解. 【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.18．【分析】由已知中的三个式子我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势可以归纳出其通项为分析等式右边的式子发现每一个式了均为两项差的形式且被减数均为1减数为由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：…由以上 解析：11(1)2nn -+【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为()2112n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为()112n n +，由此即可得到结论．【详解】由已知中的等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯…由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于()()*2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．故答案为()1112n n -+．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．19．3【解析】分析：这是一个简单的合情推理问题我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系计算出完成整个工序需要的最少工作时间再结合该工程总时数为9小时构造方程易得到完成工序需要的天数的最大值详解：因为完成解析：3 【解析】分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系，计算出完成整个工序需要的最少工作时间，再结合该工程总时数为9小时构造方程，易得到完成工序B 需要的天数x 的最大值． 详解：因为B 完成后，C 才可以开工，C 完成后，D 才可以开工，完成B C D 、、需用时间依次为,3,3x 小时， 且A ，B 可以同时开工， 该工程总时数为9小时， 则339max x ++= ， 所以3max x ：= ，点睛：本题考查的知识要点：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果，属于基础题型．20．甲【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙丙两人的预测入手因为只有一个人预测正确而乙对则丙必对丙对乙很有可能对假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙丙错误即可求得答案【详解】由题意可把解析：甲. 【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误,即可求得答案. 【详解】由题意,可把三人的预测简写如下: 甲:甲>乙. 乙:丙>乙且丙>甲. 丙:丙>乙.只有一个人预测正确,∴分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确.如果乙预测正确,则丙预测正确,不符合题意. 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确, 则有丙>乙,乙>甲,乙预测不正确,而丙>乙正确, 只有丙>甲不正确,∴甲>丙,这与丙>乙,乙>甲矛盾,不符合题意. ∴只有甲预测正确,乙、丙预测不正确,甲>乙,乙>丙. ∴三人中预测正确的是:甲.故答案为:甲. 【点睛】本题主要考查了合情推理,解题关键是掌握合情推理解题方法和结合实际情况具体分析问题,考查了分析能力和推理能力,属于难题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）假设这三个方程都没有实根，由三个判别式均小于0推导出矛盾的结论． （2）利用不等式的性质，根据所要证的不等式寻找使它成立的充分条件． 【详解】证明：（1）假设这三个方程都没有实根，则()()()123141014101410a b b c c a ⎧∆=--<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩，即()()()114114114a b b c c a ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪->⎪⎩，三式相乘并整理，得()()()111164a ab bc c --->⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，① 因为01a <<，所以()211110,244a a a ⎛⎫⎛⎤-=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 同理()110,4b b ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，()110,4c c ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以()()()111164a ab bc c ---≤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，② 显然②与①矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立. （2）因为0b a >>，所以110->a b， 要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b ， 只需证221113++≥a ab b， 因为01ab <≤，所以221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab，即上式成立， 则可得证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 【点睛】关键点点睛：本题考查反证法和分析法．它们都是一种间接证明方法，在一个命题不容易证明，可以从它的反面入手，假设它的反面成立，并把假设作为条件进行推理，可能推导出与已知条件、已知定义、定理、公理矛盾的结论，也可能推导出相互矛盾的结论，从而说明假设是错误的，，肯定原命题成立，这就是反证法．分析法是从结论出发寻找结论成立的充分条件，称为执果索因．最后找到一个明显正确的条件，从而说明命题是正确的． 22．（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈，证明见解析（4）cot 5【分析】（1）右边余切化正切后，利用二倍角的正切公式变形可证；（2）将（1）的结果变形为tan cot 2cot 2ααα=-，然后将所证等式的右边的正切化为余切即可得证；（3）根据（1）（2）的规律可得结果； （4）由（3）的结果可得. 【详解】（1）证明：因为2tan 2cot 2tan tan 2αααα+=+21tan tan 22tan ααα-=+⨯1tan tan tan ααα=+- cot α=，所以cot tan 2cot 2ααα=+ （2）因为cot tan 2cot 2ααα=+，所以tan 2tan 24cot 4ααα++cot 2cot 2αα=-+2(cot 22cot 4)4cot 4)ααα-+cot α=，所以cot tan 2tan24cot 4αααα=++ （3）一般地：2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈，证明：因为cot tan 2cot 2,ααα=+cot 2tan 22cot 4,ααα=+所以22cot tan 2tan 24cot 4tan 2tan 22cot 2ααααααα=++=++， 以此类推得2211*cot tan 2tan 22tan 22tan 22cot 2,n n n n n N αααααα--=+++++∈（4）tan52tan104tan208tan50︒+︒+︒+︒2233tan 52tan(25)2tan(25)2cot(25)=+⨯+⨯+⨯ cot 5=.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，属于中档题. 23．(1) 猜想()()()f f f αβαβ=+，证明见解析；(2)-1【分析】 （1）将()(),f f αβ和()f αβ+之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案． 【详解】（1）猜想()()()ff f αβαβ=+，证明：()()()()cos sin cos sin f f i i αβααββ=++ ()()cos cos sin sin sin cos cos sin i αβαβαβαβ=-++()()()cos sin i f αβαβαβ=+++=+；（2）因为()()()f f f αβαβ=+，所以()()()()()cosn isinn nff f f f n ααααααα===+，∴661cos sin 2266i i ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1i ππ=+=-． 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．24．（1）3k =（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；证明见解析 【分析】（1）分别代入并化简，可得()()()()()12213f g f g g ⋅+⋅=，即可求出答案；（2）猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅；分别代入表达式，化简并整理即可证明. 【详解】解：（1）122221(1)(2)(2)(1)2222a a a a a a a a f g f g ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯31331333(3)442a a a a a a a a a a g ------+--+--=+==.因为函数12x y a =与12x y a -=-具有相同的单调性，且都是单调函数，所以()g x 是单调函数.3k ∴=.（2）由(3)(12)=(1)(2)(2)(1)g g f g f g +⋅+⋅=， 猜想：()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.证明: ()()()()2222x x y y y y x xa a a a a a a a f x g y f y g x ----+-+-⋅+⋅=⨯+⨯()()44x y y x x y x y x y y x x y x y a a a a a a a a +---++---++---+-=+()()2x y x y a a g x y +-+-==+.所以()=()()()()g x y f x g y f y g x +⋅+⋅.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）用a 表示出b ，利用基本不等式得出最小值.（2）使用反证法，假设1，，3是一个公差为d 的等差数列的三项，导出矛盾即可证明. 试题（1）∵2a b ab +≤，∴()12a b a -≥，∵,0a b >，∴1a >， ∴21a b a ≥-，∴44215911a ab a a a a +≥+=-++≥--； （2）1,31rd sd =+=+（,r s 为非零整数），r s=， 而上式左边为无理数，右边为有理数，矛盾. 所以假设错误，原命题成立. 26．见解析． 【解析】试题分析：利用反证法证明命题. 试题证明：假设ABC ∆的三个内角中最大的角小于60°，即60,60,60A B C <︒<︒<︒， 则606060180A B C ++<︒+︒+︒=︒，这与三角形内角和为180°矛盾， 所以假设错误，原命题成立．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测题(有答案解析)(3)
一、选择题1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABCS=（ ）A BC D 2．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测： 同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学； 同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学； 同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学； 同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（ ） A ．管理学、医学、法学、教育学 B ．教育学、管理学、医学、法学 C ．管理学、法学、教育学、医学D ．管理学、教育学、医学、法学3．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=6．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A ．714B ．1870C ．4895D ．48967．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前135项的和为( )A ．18253-B ．18252-C ．17253-D ．17252-8．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（ ）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)9．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．910．将正偶数排成如图所示的三角形数阵，其中第i 行（从上向下）第j 个（从左向右）的数表示为ij a (),i j N*∈，例如3210a=.若2020ij a =，则i j -（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2511．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --12．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 二、填空题13．已知函数1y x =的图象的对称中心为()0,0，函数111y x x =++的图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数11112y x x x =++++的图象的对称中心为()1,0-.由此推测，函数12202012019x x x y x x x +++=+++++的图象的对称中心为________.14．如图，把数列{}n 中的所有项按照从小到大，从左到右的顺序写成如图所示的数表，且第k 行有12k -个数.若第k 行从左边起的第s 个数记为(),k s ，则2019这个数可记为______.15．若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内，则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程是________． 16．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得15x +=，类似上述过程，则33++=__________．17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则4T ，____________，1612T T 成等比数列． 18．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.19．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n 条线段，将圆最多分割成______部分．20．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.三、解答题21．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，若ab cd >，证明： （1）2222a b c d +<+；（2<22．在△ABC 中，内角,,A B C 有关系1119;A B C π++≥在四边形ABCD 中，内角,,,A B C D 有关系111116;2A B C D π+++≥在五边形ABCDE 中，内角,,,,A B C D E 有关系1111125;3A B C D E π++++≥（1）猜想在n 边形123n A A A A 中123,,,n A A A A 内角，有怎样的关系（不需证明）；（2）用你学过的知识，证明△ABC 中的关系:1119A B C π++≥，并指出等号成立的条件. 23．用综合法或分析法证明： （1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥；（22>． 24．观察下列等式：11-=-；132-+=；1353-+-=-；13574-+-+=； ………（1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥. 26．设n 个正数12,,,n a a a 满足*12(n a a a n N ≤≤≤∈且3)n ≥.（1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n *(n N ∈且3)n ≥个正数12,,,n a a a 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，所以，2222123ABC S s s s =++△，即ABC S =△ 故选：D. 【点睛】易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．2．C解析：C 【分析】根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解. 【详解】假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学； 则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误； 假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.故选：C【点睛】本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.3．C解析：C【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案.【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.4．D解析：D【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：D.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.5．C解析：C【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A是归纳推理，B是归纳推理，C是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得n 1n 2n a a a ++=-，进而变形可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，据此可得()()()222212101232134231011910a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+⋯⋯+-，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，数列{}n a 满足n n 2n 1a a a ++=-，即n 1n 2n a a a ++=-，两边同乘以n 1a +，可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，则()()22221210123213423a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+()1011910211011a a a a 1a a a a 1155894895⋯⋯+-=-+=-+⨯=；故选C ．【点睛】本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形，属中档题．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x 2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x ＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推 即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n n1212-==-2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()n n 12+=，可得当n ＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135， 由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列， 则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S 18＝218﹣1， 则此数列前135项的和为S 18﹣35﹣17＝218﹣53， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．8．C解析：C 【分析】由等差数列求和公式及进行简单的合情推理可得：2019为第1010个正奇数，设2019在第n 组中，则有()211010n -<，21010n ≥，解得：n =32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，得解． 【详解】由已知有第n 组有2n -1个连续的奇数， 则前n 组共有()2121=2n n n +-个连续的奇数，又2019为第1010个正奇数， 设2019在第n 组中，则有()211010n -<，21010n ≥， 解得：n =32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数， 即2019=（32，49）， 故选：C ． 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是根据等差数列求和公式分析出规律，再结合数列的性质求解，属于中等题.9．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案含解析北师大版选修1_2
1．2 类比推理类比推理三角形有下面两个性质：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理合情推理的含义(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．平面图形与空间几何体的类比[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形平行六面体圆球1．下面类比结论错误的是( )A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝12ah ”类比得出“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝12lR ”B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.定义、定理与性质的类比[例2][精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a ＝b ⇒a ＋c ＝b＋c① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2③答案：①a >b ⇒a ＋c >③a >b >0⇒a 2>b 2(说明：“>”也可改为“<”)4．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m qn －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a m 1n －m1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设内切球的球心为O ，所以可将四面体P ABC 分为四个小的三棱锥，即O ABC ，O PAB ，O PAC ，O PBC ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P ABC 的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0.。
北师大版数学选修1-2练习(第3章)归纳推理(含答案)
归纳推理 同步练习【选择题】1、根据给出的数塔猜测79123456+⨯等于（ ） 11291=+⨯ 1113912=+⨯ 111149123=+⨯ 11111591234=+⨯ 1111116912345=+⨯A 、1 111 110B 、1 111 111C 、1 111 112D 、1 111 1132、有一个奇数列1，3，5，7，9……，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；等等，试观察每组内各数之和与其组的编号数n 有什么关系（ ）A 、等于2n B 、等于3n C 、等于4n D 、等于)1(+n n3、设数列}{n a 满足,2,...,3,2,1,1)1(121==+--=+a n a n a a n n n 通过求321,,a a a 猜想n a 的一个通项公式为 （ ）A 、n+1B 、nC 、n+2D 、n-1 【填空题】4、从1=1,1-4= - (1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16= - (1+2+3+4)……概括出第n 个式子为了_____________.5、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表。
观察表中数据的特点，用【解答题】6、已知数列}{n a ，其中,62=a 且n a a a a n n n n =+--+++1111（1）求321,,a a a .（2）求数列}{n a 的通项公式.7、用推理的形式表示等差数列1，3，5,……,(2n-1),…的前n 项和n S 的归纳过程.8、设,,41)(2+∈++=N n n n n f 计算)10(),...,4(),3(),2(),1(f f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用40=n 验证猜想的结论是否正确.参考答案1、B 2、B 3、A 4、)...321()1()1( (16941121)n n n n ++++-=-++-+-++5、140，856、(1) 28,15,1431===a a a(2)猜想)12(-=n n a n 7、2n S n = 8、解： 434111)1(2=++=f474122)2(2=++=f 534133)3(2=++=f 614144)4(2=++=f 714155)5(2=++=f 834166)6(2=++=f 974177)7(2=++=f 1134188)8(2=++=f 1314199)9(2=++=f 151411010)10(2=++=f由此猜想，n 为任何正整数时，+∈++=N n n n n f ,41)(2都是质数当n=40时，4141414040)40(2⨯=++=f ，所以)40(f 为合数，因此猜想的结论不正确。
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学选修1-2练习：第三章 §1 1.1 归纳推理
03第三章推理与证明§1归纳与类比1.1归纳推理课时过关·能力提升1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于()1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1 111;1 234×9+5=11 111;12 345×9+6=111 111;……A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113答案:B2.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第 60个数对是() A.(7,5) B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且共有n个整数对.这样前n组一共有n(n+1)2个整数对.注意到10(10+1)2<60<11(11+1)2.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).答案:B3.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,则f(2 019)等于()A.13B.2C.132 D.213解析:∵f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,∴f(3)=13f(1)=132,f(5)=13f(3)=2,f(7)=13f(5)=132,f(9)=13f(7)=2,….∴归纳得f(2n-1)={2,n为奇数, 132,n为偶数.∴f(2 019)=f(2×1 010-1)=132,故选C.答案:C4.若凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)等于()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解析:凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第(n+1)个顶点出发的(n-2)条对角线和凸n边形的一条边之和,即f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1.答案:C5.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)解析:由①②③④可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,则表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.答案:C6.设x∈R,且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(n∈N+)的个位数字是()A.6B.7C.8D.9解析:当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=2 207,故猜想x2n+x-2n的个位数字是7.答案:B7.★若正整数按下面的规律排列:…则上起第2 019行,左起第2 018列的数为()A.2 0192B.2 0182C.2 0192-2 017D.2 0182-2 017解析:经观察可得题中自然数表的排列特点:(1)第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;(2)第n行第m个数为n2-(m-1)=n2-m+1(m,n∈N+,且n≠1,m≤n);(3)第n行从第1个数至第n个数依次递减1(n∈N+,且n≠1);(4)第n列从第1个数至第n个数依次递增1(n∈N+,且n≠1).故上起第2 019行,左起第2 018列的数,应是第2 019行的第2 018个数,即2 0192-(2 018-1)=2 0192-2 017.答案:C8.观察下列等式:(sin π)-2+(sin 2π)-2=4×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3;(sin π)-2+(sin 2π)-2+(sin 3π)-2+⋯+(sin 6π)-2=4×3×4;(sin π)-2+(sin 2π)-2+(sin 3π)-2+⋯+(sin 8π)-2=4×4×5;……照此规律:(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+⋯+(sin 2nπ2n+1)-2=_____________. 解析:由等式可知,等式右边共三个数相乘,第1个数都是43;而所给等式就是第n 个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n ; 第3个数比第2个数大1, 所以第3个数为n+1.所以第n 个式子等号右边为43n(n +1). 答案:43n(n +1)9.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,如图所示,则第七个三角形数是 .解析:第一个三角形数是1, 第二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,第四个三角形数是1+2+3+4=10,第五个三角形数是1+2+3+4+5=15.……因此,由归纳推理得第n个三角形数是.1+2+3+4+…+n=(1+n)n2根据以上规律将n=7代入,可以得出第七个三角形数是28.答案:2810.如图,图(a)是棱长为1的小正方体,图(b)、图(c)分别是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,……第n层.第n层的小正方体的个数记为S n,解答下列问题:(1)按照要求填表:n1234…S n136…(2)S10=;(3)S n=.解析:由S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3,得.S4=1+2+3+4=10,S10=1+2+…+10=55,S n=1+2+3+…+n=n(n+1)2答案:(1)10(2)55(3)n(n+1)211.已知a,b为正整数,设两条直线l1:y=b−ba x与l2:y=bax的交点为P1(x1,y1),且对于大于等于2的自然数n,经过两点(0,b),(xn−1,0)的直线与直线y=bax交于点Pn(xn,yn).(1)求点P1,P2的坐标;(2)猜想点P n的坐标.分析:两条直线的交点坐标可通过解方程组求出,由两点坐标又可写出新的直线方程,从而猜想出点P n的坐标.解:(1)解方程组{y=b-bax,y=bax,得P1(a2,b2).经过(0,b),(a2,0)两点的直线方程为2xa+yb=1,将其与y=bax联立,解得P2(a3,b3).(2)由(1)可猜想点P n的坐标为(an+1,bn+1).12.★设f(x)=a x+a-x2,g(x)=a x-a-x2(其中a>0,且a≠1).(1)请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示;(2)能否将(1)中的推测进行推广?解:(1)因为f(3)g(2)+f(2)g(3)=a 3+a-32×a2-a-22+a2+a-22×a3-a-32=a5-a-52,又g(5)=a 5-a-5 2,所以g(5)=f(3)g(2)+f(2)g(3).(2)能进行推广.由g(5)=f(3)g(2)+f(2)g(3),可知g(2+3)=f(3)g(2)+f(2)g(3),于是推测其可以推广为g(x+y)=f(y)g(x)+f(x)g(y).证明:因为f(x)=a x+a-x 2,g(x)=a x-a-x 2,g(x+y)=a x+y-a-(x+y)2,g(y)=a y-a-y 2,f(y)=a y+a-y 2,所以f(x)g(y)+f(y)g(x)=a x+a-x2×a y-a-y2+a y+a-y2×a x-a-x2=a x+y-a-(x+y)=g(x+y).。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(有答案解析)(3)
一、选择题1．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2449B ．2451C ．2455D ．24582．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-3．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到33312?50+++（ ）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12754．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波纳契数列{}n a 定义为：1a 1=，2a 1=，n 2n n 1a a a ++=+，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据n 2n n 1a a a ++=+可得n n 2n 1a a a ++=-，所以()()()12n 3243n 2n 1n 22n 2a a a a a a a a a a a a 1++++++⋯+=-+-+⋯+-=-=-，类比这一方法，可得2221210a a a (++⋯= )A ．714B ．1870C ．4895D ．48966．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；7．已知平面直角坐标系内曲线()1:,0C F x y =，曲线()200:(,),0C F x y F x y -=，若点()00,P x y 不在曲线1C 上，则下列说法正确的是（ ）A ．曲线1C 与2C 无公共点B ．曲线1C 与2C 至少有一个公共点 C ．曲线1C 与2C 至多有一个公共点D ．曲线1C 与2C 的公共点的个数无法确定 8．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．12n n n nn n c c c d n++⋯+=D ．12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅9．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形10．222233+=333388+=4441515+=⋅⋅⋅66n nm m+=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4311．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过2+2+2+...“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过2x x +=确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A1 B1 CD12．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题13．关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.1415926 3.1415927π<<；②用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223.14159265333170.0625135770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625135，得到逼近π的一个有理数为122377+=化为连分数形式：1111m n k r++++（m ，n ，k 为正整数，r 为0到1之间的无理数），舍去r的一个有理数为__________.14．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______.15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.16．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.17．在Rt ABC ∆中，若90,,C AC b BC a ∠=︒==，斜边AB 上的高位h ，则有结论22222a b h a b=+，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为,,a b c 且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论__________．18．有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔，今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜是1号，2号，4号中的一个；丁猜2号，3号，4号都不可能，若以上四位老师只有一位猜对，则猜对者是___________（填甲、乙、丙、丁）19．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．20．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m=_____.三、解答题21．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+； （2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >． 22．（1）设(),0,a b ∈+∞，ab ，(),0,x y ∈+∞，求证：()222a b a bx y x y++≥+； （2）利用（1）的结论，求函数()2910,122f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值. 23．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的<+<<（1∈(1.41，1.42)，(1.73，1.74)，(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围验证其正确性(注意不能近似计算．．．．．．．．)； （2）请将此规律推广至一般情形，并加以证明.24．已知函数()2f x ax bx c =++及函数g （x ）＝﹣bx （a ，b ，c ∈R ），若a ＞b ＞c 且a+b+c ＝0．（1）证明：f （x ）的图象与g （x ）的图象一定有两个交点； （2）请用反证法证明：122ca --＜＜； 25．⑴当1x >时，求证：2211x x x x+>+； ⑵已知R x ∈，221,4,2a x x b x c x x =-+=-=-．试证明,,a b c 至少有一个不小于1． 26．观察下列等式：11-=-；132-+=；1353-+-=-；13574-+-+=； ………（1）照此规律，归纳猜想出第n 个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设第()n 个图案的点的个数为n a ，推测得到12(1)n n a a n --=-，利用1n -个式子相加，由等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设第()n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21,a a a a a =====， 可得213243542,4,6,8,a a a a a a a a -=-=-=-=，由此推测12(1)n n a a n --=-，则()()()()21324312462(1)n n a a a a a a a a n --+-+-+-=++++-，化简可得(1)(222)1(1)2n n n a n n -+--==-，所以(1)1n a n n =-+所以5050(501)12451a =⨯-+=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中构造数列并得出的数列的递推关系式，结合等差数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．C解析：C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．D解析：D 【分析】根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解. 【详解】因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，1+2+ (50)(150)502+⨯=1275. 故选：D 【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.4．C解析：C 【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得n 1n 2n a a a ++=-，进而变形可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，据此可得()()()222212101232134231011910a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+⋯⋯+-，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，数列{}n a 满足n n 2n 1a a a ++=-，即n 1n 2n a a a ++=-，两边同乘以n 1a +，可得2n 1n 2n 1n 1n a a a a a ++++=-，则()()22221210123213423a a a a a a a a a a a a ++⋯=+-+-+()1011910211011a a a a 1a a a a 1155894895⋯⋯+-=-+=-+⨯=；故选C ．【点睛】本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形，属中档题．6．A【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1，第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1． 【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3， 如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a ，b ，c ， 根据勾股定理得a 2+b 2＝c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1， 所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1， 第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E 的面积+正方形F 的面积＝正方形A 的面积， 正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形B 的面积，正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形M 的面积+正方形N 的面积＝正方形A 的面积+正方形B 的面积＝正方形C 的面积＝1， 所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1， …以此类推，第n 代“勾股树”所有正方形的个数为2n +1﹣1， 第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n +1）×1＝n +1． 故选A ．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．7．A解析：A 【分析】利用反证法，假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，则()11,0F x y =和()1100(,),0F x y F x y -=同时()00,0F x y ∴=，∴点()00,P x y 在曲线1C 上，这与已知条件点()00,P x y 不在曲线1C 上矛盾. ∴假设不成立，所以曲线1C 与2C 无公共点. 故选：A . 【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义.8．D解析：D 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】 解：数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ， 则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．9．B解析：B 【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案． 【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ． 【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.10．B【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值. 【详解】==，====)2,k k N *=≥∈， 当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=，故选B. 【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.11．B解析：B 【解析】 【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可【详解】舍去得到逼近的一个有理数为故答案为：【点睛】本题考查了类比推理解题的关键是理解题中的定义属于基础题解析：1712. 【分析】利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可. 【详解】1111)11111122=+=+=+=+=+++1的一个有理数为11711122122+=++.故答案为：1712【点睛】本题考查了类比推理，解题的关键是理解题中的定义，属于基础题.14．丙【分析】用反证法来验证是否符合题意即可得出结果【详解】如果是甲当选了则乙是对的其余三人是错的故甲不能当选；如果是乙当选了则甲乙丁是对的丙是错的故乙不能当选；如果是并当选了则甲丙是对的乙丁是错的故丙解析：丙 【分析】用反证法来验证是否符合题意，即可得出结果.【详解】如果是甲当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故甲不能当选；如果是乙当选了，则甲乙丁是对的，丙是错的，故乙不能当选；如果是并当选了，则甲丙是对的，乙丁是错的，故丙能当选；如果是丁当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故丁不能当选.故答案为：丙【点睛】本题考查了反证法，考查了逻辑推理能力，属于一般题目.15．2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3乙的卡片上的数字为2和3丙的卡片上的数字为1和2【详解】由题意可知丙不拿2和3若丙拿1和2则乙拿2和3甲拿1和3满足题意；若丙拿1和3则乙拿2和3解析：2和3【分析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2．【详解】由题意可知丙不拿2和3．若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故乙的卡片上的数字是2和3．故答案为：2和3【点睛】本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．16．丙【分析】根据题意分类讨论即可得出符合题意的结果得到答案【详解】由题意若乙坐3号位置则丁坐2号或4号位置甲丙两人必定有1人坐1号位置与题意矛盾若乙坐2号位置则丙坐3号位置甲坐4号位置丁坐1号位置符合解析：丙【分析】根据题意，分类讨论，即可得出符合题意的结果，得到答案．【详解】由题意，若乙坐3号位置，则丁坐2号或4号位置，甲、丙两人必定有1人坐1号位置，与题意矛盾，若乙坐2号位置，则丙坐3号位置，甲坐4号位置，丁坐1号位置，符合题意，故答案为：丙．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．；【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可【详解】如图设为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱三棱锥的高为连接交于两两互相垂直平面平面故答案为解析：2222222222ab cha b b c c a=++；【解析】【分析】由平面上的直角三角形Rt ABC∆中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【详解】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P ABC-的高为PD h=，连接AD交BC于E，PA、PB、PC两两互相垂直，PA∴⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，PA PE∴⊥，PA BC⊥，AE BC∴⊥，PE BC⊥22222b cPEb c∴=+，∴222222PA PEh PDPA PE==+2222222222b cab cb cab c+=++222222222a b ca b b c c a=++．故答案为2222222222a b cha b b c c a=++．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．18．丁【解析】【分析】分四种情况讨论即四位老师只有一个老师猜对进行逻辑推理得出答案【详解】若甲老师猜对则其他三位老师全部猜错乙老师猜错则号获得第一名这与甲老师的猜测矛盾这种情况不可能；若乙老师猜对则其他解析：丁【解析】【分析】分四种情况讨论，即四位老师只有一个老师猜对，进行逻辑推理得出答案。
高中数学北师大版选修1-2练习第三章 推理与证明 4 Word版含解析
明目标、知重点.了解反证法是间接证明的一种基本方法.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．．反证法的证题步骤()作出否定结论的假设；()进行推理，导出矛盾；()否定假设，肯定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答()假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，()以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，()判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答()与原题中的条件矛盾；()与定义、公理、定理、公式等矛盾；()与假设矛盾．思考反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例已知直线，和平面α，如果α，α，且∥，求证：∥α.证明因为∥，所以经过直线，确定一个平面β.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数t ，如果t 是偶数，就将它减半（即2t）；如果t 是奇数，则将它乘3加1（即31t +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.猜想的数列形式为：0a 为正整数，当*n N ∈时，当1n a -为偶数时12n n a a -=，当1n a -为奇数时131n n a a -=+，则数列{}n a 中必存在值为1的项.若51a =，则0a 的所有不同值的个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．82．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到（ ）A ．1205B ．1225C ．1245D ．12753．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+4．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125B ．5625C ．0625D ．81256．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243a b πB ．243ab πC ．22a b πD ．22ab π7．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；…(,)n i j = 表示n 是第i 组的第j 个数，例如11(3,2)=，23(4,3)=，则2019=（ ）A ．(24,36)B ．(28,42)C ．(32,49)D ．(36,24)8．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师．此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话: 甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！” 乙说：“丁出的这次考卷！” 丙说:“是乙出的试卷！” 丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）A ．3a B ．3a C ．9a D ．9a 11．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年二、填空题13．关于圆周率π，祖冲之的贡献有二：①3.1415926 3.1415927π<<；②用227作为约率，355113作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：111223.14159265333170.0625135770.14159265=+≈+≈+=+，舍去0.0625135，得到逼近π的一个有理数为122377+=化为连分数形式：1111m n k r++++（m ，n ，k 为正整数，r 为0到1之间的无理数），舍去r的一个有理数为__________.14．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >. 其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得x ==__________．16．某班级A,B,C,D 四位学生A B C D 、、、参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测得冠军的是A 或B ；历史老师预测得冠军的是C ；政治老师预测得冠军的不可能是A 或D ；语文老师预测得冠军的是B ，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是_____。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
2020_2021学年高中数学第三章推理与证明课时作业83.1.2类比推理含解析北师大版选修1_2
高中数学:课时作业8 类比推理时间：45分钟 满分：100分一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分) 1．下面类比推理中恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 【答案】 C【解析】 结合实数的运算律知C 是正确的．2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．不可类比【答案】 C【解析】 由扇形的弧长与半径分别类比于三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ，b ，则其面积S ＝12ab .若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，类比上述结论可得此三棱锥的体积V P －ABC 等于( )A.12abc B.13abc C.16abc D ．abc【答案】 C【解析】 V P －ABC ＝13S 底·h ＝16abc .4．下列类比正确的是( )A．平面内两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．平面内两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则空间内两组对边分别平行的四边形为平行四边形C．平面内垂直于同一条直线的两直线平行，则空间内垂直于同一条直线的两直线平行D．平面内n边形的内角和为(n－2)×180°，则空间内n面体的各面内角和为n(n－2)×180°【答案】 B【解析】空间内两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，但两组对边平行，则一定在一个平面内是平行四边形．5．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由类比思想，我们可以得到( )A．空间中平行于同一条直线的两条直线平行B．空间中平行于同一个平面的两条直线平行C．空间中平行于同一条直线的两个平面平行D．空间中平行于同一个平面的两个平面平行【答案】 D【解析】一般来说平面几何中的线要类比到空间中的平面，所以虽然选项A中结果正确，却不能算作类比结果．6．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：进制中最大的数是( )A．29 B．63 C．45 D．32【答案】 B【解析】通过阅读，不难发现：1＝1×20，2＝0×20＋1×21，3＝1×20＋1×21，4＝0×20＋0×21＋1×22，5＝1×20＋0×21＋1×22，6＝0×20＋1×21＋1×22，7＝1×20＋1×21＋1×22，写成二进制为111.于是知二进制为6位数时能表示的最大的数是111 111，化成十进制为1×20＋1×21＋1×22＋1×23＋1×24＋1×25＝26－12－1＝63.7．下列类比错误的是( )A ．三角形的两边中点连线得到的中位线平行并且等于第三边的一半，类似地，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的一半B ．三角形两边中点连线得到的中位线平行且等于第三边的一半，类似地，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的14C ．三角形被平行于一边的直线所截得的三角形与原三角形相似，面积比等于相似比的平方，类似地，棱锥被平行于底面的平面所截得的多边形与底面相似，面积比等于相似比的平方D ．梯形的中位线等于两底和的一半，类似地，圆台的中截面半径等于上、下两底半径和的一半【答案】 A【解析】 选项A 错误，三棱锥的中截面的面积等于底面面积的14.二、填空题(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)8．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请写出类似于①的式子：②______________，②式可用语言叙述为：____________________.【答案】 (4π3R 3)′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数9．如图(1)所示的图形有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′· PB ′PA ·PB，则如图(2)所示的图形有体积关系：V P —A ′B ′C ′V P —ABC＝________.【答案】PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC【解析】 由体积公式V ＝13Sh 及相似比可得．10．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC ”．类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A —BCD 中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有________．”【答案】 S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分，13题16分，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中，并判断类比的结论是否成立； (1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．【解析】 平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．12．我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明． (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项的和S n .[分析] 本题主要考查等差数列与等和数列定义的类比，关键是把握两个定义的相似性和相异性．【解析】 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2. ∴a n ＋2＝a n .∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N ＋，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ， 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N ＋，则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．∴它的前n 项的和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a ＋n －12b n 为奇数n2a ＋b n 为偶数.13．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证： 1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[分析] 首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予以证明．【解析】 如图所示，由射影定理知AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC2AB 2·AC 2又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想：四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD . 则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF，∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。
2020北师大版高中数学选修1-2：第三章 类比推理
异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连
线所在直线的斜率之积为定值 − ������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线,椭圆与双 曲线之间的类比.解决该类问题同样应抓住所给问题的相似特征, 同时要注意平面几何图形之间的差异,进行合理类比,实际类比的 结果往往都是通过计算得到的.
1.2 类比推理
-1-
目标导航
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
知识梳理
1.类比推理
定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础 上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具 有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比 推理
=
������1������1 ������������
,
试在立体几何
中写出类似的结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
解:
如图,在三棱锥 S-ABC 中,D,E,F 分别是侧棱 SA,SB,SC 上的点,
若
SA=a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF=c1,则
������������-������������������ ������������-������������������
的面积公式为
弧长×半径 2
,
即S扇
=
������������ .
2
答案:C
1234
2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数
高中数学北师大版选修1-2第三章《类比推理典例导航》ppt课件
2 2.
令 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)
则 S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋ f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)] ＝12× 22＝6 2. ∴S＝3 2.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
已知在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，有A1D2 ＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论， 你能得到怎样的猜想，试说明理由．
[解题过程] 猜想：类比 AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想 四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD.
类比上述求法，请你求出 13＋23＋33＋…＋n3 的值．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①给出了求前n个正整数平方和的方 法； • ②类比此法写出求前n个正整数的立 方和． • 解 答 本 题 可 类 比 所 给 求 12 ＋ 22 ＋ 32 ＋…＋n3的和的解法，将n个等式分别相
• [解题过程] ∵24－14＝4×13＋6×12＋ 4×1＋1， • 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， • 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2. 如右图，连接 BE，并延长交 CD 与 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD，∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF. ∴A1E2＝A1B2＋A1F2 ∵在 Rt△ACD 中，AF⊥CD. ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学选修1-2练习：第三章 §1 1.2 类比推理
1.2 类比推理课时过关·能力提升1.已知Rt △ABC 的两条直角边长分别为a ,b ,则其面积S=12ab .若三棱锥P ‒ABC 的三条侧棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA =a ,PB =b ,P VP ‒ABC 等于( )A.12abc B .13abc C .16abc D .abc答案:C2.已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则关于{a n }的类似结论为( )A.a 1a 2a 3…a 9=29B.a 1+a 2+…+a 9=29C.a 1a 2…a 9=2×9D.a 1+a 2+…+a 9=2×9解析:类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9{a n }中有=b 95,可得在等差数列a 1+a 2+…+a 9=9a 5=9×2.答案:D3.在平面直角坐标系内,方程xa +yb=1表示在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b 的直线,拓展到空间,在x 轴、y 轴、z 轴上a ,b ,c (abc≠0)的直线方程为( )A.x a +y b +zc =1B.xab +ybc +zac =1C.xyab +yzbc +zxac =1D.ax+by+cz=1解析:由类比推理知,方程应为xa +yb +zc =1.答案:A4.如图,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的长记为a i (i=1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i=1,2,3,4),若a 11=a 22=a 33=a 44=k ,则4∑i =1(iℎi )=2Sk .类比上述性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面Si (i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为Hi (i =1,2,3,4),若S 11=S 22=S 33=S 44=K ,则4∑i =1(iHi )等于( )A.4V K B .3V K C .2V K D .VK答案:B5.若数列{a n }(n ∈N +)是等差数列,则通项公式为b n ∈N +)的数列=a 1+a 2+a 3+…+a nn(n{b n }也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{cn }(n ∈N +)是等比数列,且c n >0,则通项公式为D n =(n ∈N +)的数列{D n }也是等比数列.答案:nc 1c 2c 3…c n6.类比以(0,0)为圆心、以r 为半径的圆的方程为x 2+y 2=r 2,写出以(0,0,0)为球心、以r 为半径的球面的方程为 .解析:将平面方程推广到空间中需用三维坐标,即空间中球面上的一点P 的坐标为(x ,y ,z ),由P 到球心的距离等于半径可得x 2+y 2+z 2=r 2.答案:x 2+y 2+z 2=r 27.在正三角形中,设它的内切圆的半径为r ,容易求得正三角形的周长C (r )=63r ,面积S (r )=33r 2,发现S'(r )=C (r ).这是平面几何中的一个重要发现.请用类比推理的方法 .解析:在正四面体中,设它的内切球的半径为r ,由等体积法易得四面体的高h=4r.设正四面体的棱长为x ,根据正四面体的几何特征可x=知(33x )2+(4r )2=x 2,解得:S (r )=460°=226r ,则正四面体的表面积和体积分别为×12×(26r )2×sin43r 2.V (r )60°=:在正=13×4r ×12×(26r )2×sin83r 3.故空间正四面体存在的类似结论为四面体中,设它的内切球的半径为r ,容易求得正四面体的表面积S (r )=2V (r )=43r 2,体积V'(r )=S (r ).83r 3,发现答案:在正四面体中,设它的内切球的半径为r ,容易求得正四面体的表面积S (r )=243r 2,体积V (r )=83r 3,发现V'(r )=S (r )8.在等比数列{a n }中,若前n 项之积为T n ,则有T 3n=(T 2n T n)3.在等差数列{bn }中,若前n 项之和为Sn ,用类比的方法得到的结论是______.答案:S 3n =3(S 2n -S n)9.★已知点A (x 1∈,a x 1),B (x 2,a x 2)是函数y=ax (a >1)的图像上任意不同的两点,依据图像可知,线段AB 总是位于A ,B两点之间函数图像的上方,因此有结论ax 1+ax 22>a x 1+x 22成立.运用类比的思想方法可知,若点A (x 1,sin x 1),B (x 2,sin x 2)是函数y =sin x (x(0,π))的图像上任意不同的两点,则类似的有 成立.解析:依据函数y=sin x (x ∈(0,π))的图像可知,线段AB 总是位于A ,B 两点之间函数图像的下方,所以有sin x 1+sin x 22<sinx 1+x 22.答案:sin x 1+sin x 22<sinx 1+x 2210.在Rt △ABC 中,若∠C=90°,BC=a ,AC=b ,则cos 2A+cos 2B=1,△ABC 的外接圆半径r =a 2+b 22,请在立体几何中给出类似的四面体性质的猜想.解:把此结论类比到空间四面体P-A'B'C'中,我们猜想:在四面体P-A'B'C'中,若三个侧面PA'B',PB'C',PC'A'两两垂直且与底面所成的二面角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.在三棱锥P-A'B'C'中,PA',PB',PC'两两垂直,PA'=a ,PB'=b ,PC'=c ,则三棱锥P-A'B'C'的外接球的半径R=a 2+b 2+c 22.11.★已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)具有性质:若A 是椭圆的一条与x 轴不垂直的弦的中点,则该弦所在A 的横坐标、纵坐标的比值与常数‒b 2a 2的积.试对双曲线x 2a 2‒y 2b2=1(a >0,b >0)写出类似的性质,并证明.解:若B 是双曲x 轴线x 2a2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条与不垂直的弦的中点,则该弦所在直线的斜率等于点B 的横坐标、纵坐标的比值与常.证明如下:数b 2a 2的积设弦的端点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)(x 1≠x 2),MN 的中点B (x 0,y 0),则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0.由M ,N 在双曲线上,得x 21a 2‒y 21b 2=1,x 22a2‒y 22b 2=1,两式左右分别相减,得≠x 2).(x 1-x 2)·2x 0a 2‒(y 1-y 2)·2y 0b 2=0(x 1整理得y 1-y 2x1-x 2=b 2·x 0a 2·y 0,即k MN=x 0y 0·b 2a 2.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11+11+1+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=，求得x ==（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．1-2．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=-D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-3．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．丙做对了B ．甲做对了C ．乙说对了D ．乙做对了4．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12C1 D．15．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35B ．48C ．63D ．807．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质8．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，127N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．99．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证<”索的因应是（ ）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --10．设F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴上的一个顶点，当AB =时，该椭圆的离心率为12，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）A ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当AB =时，该双曲线的离心率为2 B ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当AB =时，该双曲线的离心率为4 C ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当FB AB =时，该双曲线的离心率为2 D ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当FB AB =时，该双曲线的离心率为4 11．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A1 B1 CD12．已知正三角形ABC 的边长是a ，若D 是ABC 内任意一点，那么D 到三角形三边的距离之和是定值2a .若把该结论推广到空间，则有：在棱长都等于a 的正四面体ABCD 中，若O 是正四面体内任意一点，那么O 到正四面体各面的距离之和等于（ ）ABCa D二、填空题13．已知等差数列{}()*n a n N∈中，若10100a=，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b=，则与此相应的等式_________________恒成立.14．已知a ，b 是正整数，ab ，当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a bx y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值______． 15．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 16．观察下列恒等式：12tan tan tan 2ααα=+，14tan 2tan 2tan tan 4αααα=++，18tan 2tan 24tan 4tan tan8ααααα=+++，，请你把结论推广到一般情形，则得到的第n 个等式为___________________________________.17．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．18．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．19．已知111()1......23f n n=++++,(n ∈+N )经计算得()()35(2),42,822f f f =>>,()()7163,322f f >>，由此可推得一般性结论为______________．20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．证明：（1）610214+>+；（2）如果,0a b >，则lg lg lg22a b a b++≥． 22．一个正三角形等分成4个全等的小正三角形，将中间的一个小正三角形挖掉（如图1），再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形，并将中间的一个小正三角形挖掉，得图2，如此继续下去……（Ⅰ）图3共挖掉多少个正三角形？（Ⅱ）第n 次挖掉多少个正三角形？第n 个图形共挖掉多少个正三角形？ 23．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数. ①.22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+- ②.22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒+- ③.()()22sin25cos55sin 25cos55︒︒︒︒-+--（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明. 24．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明； （3）求证100a 能被15整除．25．（1)3.a <>（2）求由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积.26．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34，sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据类比，列方程求解结果. 【详解】2x x =∴=，选A. 【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.2．C解析：C 【解析】 1=12，3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方 故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．3．A解析：A 【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论． 【详解】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意； 假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意； 假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意． 所以，说对的是甲，做对的是丙． 故选：A ． 【点睛】本题考查了阅读理解能力以及逻辑思维能力的应用问题，是中档题．4．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】 由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=， 即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】 本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.5．B【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B．【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．6．C解析：C【分析】n=⨯+=即可.通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763【详解】因为======，==n=.所以===63故选：C.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．C解析：C【分析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.【详解】对于A，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ． 【点睛】该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.8．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。
高中数学北师大选修1-2练习：第三章 1.2 类比推理
[A 组 基础巩固]1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 答案：C2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －(a 2－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.答案：C3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( ) A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：由类比推理可知，方程应为x a ＋y b ＋zc ＝1.答案：A4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是重心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心． 答案：D5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S -ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C6．类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1、y 1、z 1)、B (x 2、y 2、z 2)、C (x 3、y 3、z 3)、D (x 4、y 4、z 4)为顶点的四面体A -BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 447．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：V 1V 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．答案：“若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列”9．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．解析：如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面P AB 与平面PBC ，平面PBC 与平面PCA ，平面PCA 与平面ABP 之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2＝S 21＋S 22＋S 23－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 3S 1cos γ.10.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如图所示，在四面体P -ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[B 组 能力提升]1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A -BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m .答案：n －m d nc m4．已知x ∈R 且f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，得f (x )的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．(1)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为________； (2)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，则f (x )的一个周期为________．解析：(1)∵f (x ＋a )＝－f (x )， ∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a ＋a )＝－f (x ＋a ) ＝－[－f (x )]＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为2a . (2)∵f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a )－1f (x ＋a )＋1＝f (x )－1f (x )＋1－1f (x )－1f (x )＋1＋1＝－1f (x ).∴f (x ＋4a )＝－1f (x ＋2a )＝－1－1f (x )＝f (x )．∴f (x )的周期为4a . 答案：(1)2a (2)4a5.如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9 900，问a n是数列的第几项？解析：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.(3)a10＝11×12＝132.a10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵有99行100列．6.如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析：(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1S ACC1A1cos α.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于S BCC1B1＝PN·CC1，S ACC1A1＝MN·CC1，S ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α. 由Ruize收集整理。
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[A 组 基础巩固]1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 答案：C2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －(a 2－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.答案：C3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( ) A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：由类比推理可知，方程应为x a ＋y b ＋zc ＝1.答案：A4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是重心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．答案：D5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S -ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C6．类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x 33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1、y 1、z 1)、B (x 2、y 2、z 2)、C (x 3、y 3、z 3)、D (x 4、y 4、z 4)为顶点的四面体A -BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y 44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 447．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：V 1V 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．答案：“若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列” 9．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．解析：如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面P AB 与平面PBC ，平面PBC 与平面PCA ，平面PCA 与平面ABP 之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2＝S 21＋S 22＋S 23－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 3S 1cos γ.10.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如图所示，在四面体P -ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[B 组 能力提升]1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A -BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( ) A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行 D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m .答案：n －m d nc m4．已知x ∈R 且f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，得f (x )的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．(1)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为________； (2)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，则f (x )的一个周期为________．解析：(1)∵f (x ＋a )＝－f (x )， ∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a ＋a )＝－f (x ＋a ) ＝－[－f (x )]＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为2a .(2)∵f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a )－1f (x ＋a )＋1＝f (x )－1f (x )＋1－1f (x )－1f (x )＋1＋1＝－1f (x ) .∴f (x ＋4a )＝－1f (x ＋2a )＝－1－1f (x )＝f (x )．∴f (x )的周期为4a . 答案：(1)2a (2)4a5.如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N ＋，m ≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列的第几项？解析：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，…. (2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…， 所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N ＋.(3)a 10＝11×12＝132.a 10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵有99行100列． 6.如图，点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N . (1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理： DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 解析：(1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1S ACC1A1cos α.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于S BCC1B1＝PN·CC1，S ACC1A1＝MN·CC1，S ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α.。