2018版高中数学人教B版选修2-1学案2.2.2 椭圆的几何性质(一)
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质》1
《椭圆的简单几何性质》教学设计武定民族中学武东海一、教材分析椭圆是生活中常见的曲线，是学生学习第二章所接触到的第一个重要的圆锥曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有着重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。
在高考中，椭圆的几何性质是考察的重点也是难点内容。
二、学情分析本节课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
三、目标分析（一）知识与技能掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。
（二）过程与方法通过实际活动培养学生发现、观察、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养；经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。
（三）情感与态度通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几何性质的积极性。
四、重难点分析（一）教学重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质（二）教学难点：椭圆离心率几何意义的理解五、教学过程（一）复习回顾1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程 （二）新课1、探究一：观察椭圆12222=+by a x 的形状，你能看出它有怎样的对称性吗？学生观察得出结论：椭圆既是轴对称图形：对称轴为轴、轴 又是中心对称图形：对称中心为原点（设计意图：学生通过直观感知椭圆的基本图形性质，培养学生的观察能力）2、探究二：椭圆 12222=+by a x 上有哪些点比较特殊？它们的坐标分别是什么？学生小组讨论完成得出结论：顶点：)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 教师引出：轴长：长轴a A A 2||21=，短轴b B B 2||21=（设计意图：通过问题的探究培养学生的观察能力、分析能力和小组合作能力）3、思考：由椭圆12222=+by a x 的顶点，你能推断出方程中、的取值范围吗？学生独立思考得出结论：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-（设计意图：本环节的难度不大，通过完成问题，培养学生独立思考的能力）4、讨论：若椭圆焦点在轴上，即椭圆12222=+bx a y 的顶点坐标、轴长及、的取值范围有何变化？学生在独立思考的基础上交流得出结论),0(1a A -，),0(2a A ，)0,(1b B -，顶点：)0,(2b B轴长：长轴a A A 2||21=，短轴b B B 2||21= 范围：b x b ≤≤-，a y a ≤≤-（设计意图：通过对焦点在轴上的椭圆性质的推导，培养学生学会用类比的思想分析问题和合作交流能力）5、教师引出概念：离心率：ac e =探究三：（1）由c b a ,,之间的关系推断，e 的范围是什么？ 学生独立思考得出结论：10<<e（2）既然离心率e 的大小反映了椭圆的圆扁程度，那么e 越大椭圆越圆还是e 越小椭圆越圆？学生小组讨论得出结论：e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆（设计意图：通过本环节，学生进一步理解椭圆方程中 a 、b 、c 之间的关系，培养学生的分析能力）（三）归纳总结：学生将以上性质填写到表格中，其中挑选两名学生板书（设计意图：在对知识的理解的基础上加强记忆，同时培养学生的归纳能力）（四）例题讲解1、 题型1：求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标2、 题型2：已知椭圆C 的焦点在轴上，6=a ，31=e ，求椭圆C 的方程 （设计意图：通过例题的练和讲，使学生能够应用所学知识解决基本问题，加强对知识的理解）（五）巩固练习1、 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） 经过点P （-3,0），Q （0，-2）（2） 长轴长为2021心率为532、 比较椭圆369221=+y x C ：与椭圆11216222=+y x C ：哪个更圆哪个更扁？ （设计意图：通过自主完成练习，加强对所学知识的理解，巩固提升知识的应用能力）（六）课堂小结学生自主完成知识和方法的小结，教师必要时进行引导和补充（设计意图：训练学生对课堂知识的总结归纳能力）（七）作业布置《优佳学案》P25 例1、例2（设计意图：通过课外作业的完成巩固所学知识） 六、 板书设计例题1：求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 例题2：已知椭圆C 的焦点在轴上，6=a ，31=e ，求椭圆C 的方程 七、 教学反思本节课内容较多，但由于学生预习充分，积极参与知识的探索和归纳总结，例题和练习的完成情况较好，说明对本节所学知识掌握已经达标；但由于课堂节奏较快，时间紧，练习机会较少，对于基础薄弱学生还没有真正掌握所学知识，需要在后期进行巩固。
2017-2018学年人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线
2.2.2 椭圆的简单几何性质课堂探究探究一 利用标准方程研究几何性质解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a ，b 的值，并求出c 的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．【典型例题1】 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．解：把已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，所以a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74. 两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 探究二 利用椭圆的几何性质求它的方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：【典型例题2】 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)的形式求解．解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1. 若焦点在y 轴上，则设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2m ＝3·2n或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 探究三 与离心率有关的问题求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程与焦点的位置确定a 2，b 2，求出a ，c 的值，利用定义e ＝ca求解或构造关于a ，c 的齐次方程求解．要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a ，b ，c 满足的关系式，化为关于a ，c 的不等式求解．【典型例题3】 设椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1，F 2，若在椭圆上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，求椭圆的离心率e 的取值范围．思路分析：由条件PF 1→·PF 2→＝0，知PF 1⊥PF 2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．解：如图所示，由题意知点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即在圆x 2+y 2=c 2上， 又点P 在椭圆上，所以圆x 2+y 2=c 2与椭圆2222x y a b+=1有公共点，连接OP ，则易知0＜b ≤c ＜a ， 所以b 2≤c 2＜a 2，即a 2-c 2≤c 2＜a 2.所以22a ≤c 2＜a 2≤c a ＜1，所以e ∈⎫⎪⎪⎣⎭. 点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e ＜1.探究四 易错辨析易错点 不能确定焦点在哪个坐标轴上 【典型例题4】 若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，求k 的值． 错解：由已知得a 2＝k ＋8，b 2＝9.又因为e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.错因分析：忽视了椭圆的焦点在y 轴上的情况．正解：(1)若焦点在x 轴上，即当k ＋8＞9时，a 2＝k ＋8，b 2＝9.又因为e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a ＝a 2－b 2a ＝k －1k ＋8＝14，解得k ＝4.(2)若焦点在y 轴上，即当0＜k ＋8＜9时，a 2＝9，b 2＝k ＋8. 又因为e ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－k 9＝14，解得k ＝－54.综上可知，k ＝4或k ＝－54.。
人教新课标版数学高二B版选修2-1导学案 第二章 椭圆性质1
§2.2.2（1）椭圆的几何性质学习目标1.从椭圆的标准方程出发，针对变量的取值范围、对称性、顶点、离心率几个方向研究椭圆的几何性质。
学习过程【任务一】知识准备1.椭圆的标准方程：2.椭圆中c,的关系是：a,b【任务二】几何性质探究以焦点在x轴上的标准方程为例，探究椭圆几何性质，完成表格。
问题1：【范围】椭圆标准方程中的yx,是否可以取任意实数？如果不是，你能找到变量的取值范围吗？问题2：【对称性】椭圆是否具有对称性？如果有，请写出椭圆的对称轴或对称中心。
问题3：【顶点】椭圆与坐标轴有几个交点？写出这些点的坐标。
分别指出：长轴，短轴，长轴长，短轴长，长半轴长，短半轴长的含义。
问题4：【离心率】同是椭圆，为什么有的椭圆“圆”些，有的椭圆“扁”些，是什么因素影响了椭圆的这一几何性质？离心率的定义：文字语言：字母表达：【任务三】典型例题分析例1：已知椭圆369422=+y x ，判断此椭圆的焦点位置，并求它的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率。
变式训练：已知椭圆16410022=+y x ，求此椭圆的长半轴长，短半轴长，焦点坐标和离心率。
例2：求长轴长和短轴长分别为轴上，焦点在和x 68的椭圆的标准方程。
变式训练：求长轴长和焦距分别为轴上，焦点在和y 5210的椭圆的标准方程。
【任务四】课堂达标练习1.求下列椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，顶点坐标和离心率。
（1）81922=+y x （2）14491622=+y x（3）22592522=+y x （4）251622=+y x2.求满足下列条件的椭圆的标准方程。
（1）焦距是12，离心率是6.0，焦点在轴上x 。
（2）长轴和短轴分别在轴上轴，x y ，经过)30(),02(--，，Q P 两点。
人教课标版高中数学选修2-1：《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版
2.2.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响. （二）学习重点1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2.椭圆的简单几何性质. （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用 二.教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页.（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点. 2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a .（ ）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.（ ）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=.（ ）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+.（ ） 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，x 的取值范围取值范围a x a -≤≤. 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质. 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. （二）课堂设计 1.知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2.新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图.）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分； 【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点.研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置.以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度. 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b ≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤.说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点.同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-. （4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=.e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆. ●活动② 巩固基础、检查反馈 例1.根据下列条件求椭圆的标准方程 （1）28,e 3c ==； （2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程. 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率. 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=. （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a c a ==∴=. 从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=.当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y +=. 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程.【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=.同类训练 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=. 【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解.【答案】m =3或253. 例2.已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a +=，得离心率e 1ca==. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.1-同类训练 已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点， 0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a .由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.. 例3.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的方程以及离心率. 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程.25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数ca(0)a c >>，求点P 的轨迹方程. （记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=.）【答案】221259x y +=.3.课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：222e (1)c bb a e a a==⇒=⇒=-. （三）课后作业 基础型 自主突破1.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为（ ） A.1 B.32 C. 3 D.83 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2＝12，∴m＝32.【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题. 【答案】B2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有（ ）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝8=，故选B. 【思路点拨】灵活利用椭圆a,b,c 三者关系. 【答案】B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ） A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43， ∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义. 【答案】A.4.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A.14 B.55 C.12 D.5－2 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝5 5.【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系.【答案】B5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.【思路点拨】利用条件求a,b,c的值.【答案】y216＋x2＝1.6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又c2a2＝a2－1a2＝1－1a2≤34，∴1a2≥14，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【思路点拨】利用离心率的定义建立不等关系. 【答案】2<2a≤4能力型师生共研7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎨⎧2a ＝12，c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6，c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题. 【答案】x 236＋y 29＝18.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【思路点拨】数形结合解题. 【答案】3 探究型 多维突破9.已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 24＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得22(26)(2)184x y -+=， 即22(3)12x y -+=为所求.【思路点拨】相关点转移法求轨迹.【答案】22(3)12x y -+=.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S ＝12ab ＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.（2）由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.【思路点拨】建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值得方法确定最值. 【答案】（1）x 24＋y 22＝1；（2）2 6. 自助餐1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（ ） A.8,6 B.4,3 C.2， 3 D.4,2 3 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B. 【思路点拨】利用椭圆的几何性质量的关系解题. 【答案】B2.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，12:2:1PF PF =则△F 1PF 2的面积等于（ ） A.5 B.4 C.3 D.1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又12:2:1PF PF =，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 【思路点拨】充分利用椭圆的定义求出三角形三边解题. 【答案】B3.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（ ）A.34B.38C.316D.12 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵a ，b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个. 由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2,4,5；a ＝2时，b ＝4,5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38. 【思路点拨】注意椭圆的焦点在y 轴上. 【答案】B4.已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为（ ） A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1 D.x 216＋y 27＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵当P 在短轴端点时，S △F 1PF 2最大，∴∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝12，椭圆方程为x 212＋y 23＝1.【思路点拨】利用几何关系. 【答案】A5.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵(2)33m m m m m m +-=>++，∴m >m m ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ==.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12). 【思路点拨】利用离心率的定义建立关系.6.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2， 而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b23b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M(c，23b)，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53，即e＝53.【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题.。
高二数学人教B版选修2-1同步教学案：2.2.2椭圆的几何性质
3.
焦点位置
轴
轴
标准方程
图形
范围
对称性
关于 对称
两轴
焦距
a、b、c关系
长轴 长半轴
短轴 短半轴
焦距 关系
长轴 长半轴
短轴 短半轴
焦距 关系
焦点
顶点
离心率
自我检测
1.椭圆 的长轴长为______，短轴长为______,离心率为_________，请画出它的草图，标出顶点坐标,焦点坐标。
人教B版选修2—12.2。2椭圆的几何性质教案 （11）月（ ）日
编者:温芳审稿人:全组人员星期授课类型：新授课
教学目标
1．理解并掌握从椭圆的两个定义及标准方程和图形出发研究椭圆的几何性质的思路；能根据椭圆的标准方程求出其焦点、顶点的坐标、离心率,并能根据其性质画出椭圆的图形．
2．会初步利用待定系数法和椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程．
练习2：P是椭圆 位于第二象限部分上一点，F1,F2为左右焦点，若 ，求
例2:P是椭圆 上一点，F2为右焦点，求 的最值
练习：F1,F2为椭圆 的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，若 且 ，求椭圆的离心率
例3:已知点 , 是椭圆 的左焦点，P是椭圆上任意一点，求 的最大值和最小值。
练习：已知椭圆 内有一点 ， 为左焦点,P是椭圆上动点,求 的最大值和最小值。
２。求椭圆的方程：一焦点(—3，0),一顶点（0,5）
3．已知椭圆过 两点,求方程
合作探究一
1。求椭圆 的长轴长,短轴长，焦点坐标和离心率
2.求椭圆的方程：焦距为12,离心率为 ;m］
3。已知椭圆 的离心率 ，求m的值
讲解提高
高中数学 2.2椭圆及其简单几何性质导学案新人教B版选修2-1
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质学习目标1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆的方程研究它的性质，画图．复习1： 椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．复习2：方程2215x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．二、新课导学 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？ 1.图形：2.范围：x ： y ：3.对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称4.顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴--，其长为 ；短轴--，其长为 ；5.离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为离心率，记ce a=，且01e <<． 当0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例当,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： ce a == ．反思：b a 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．练一练练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； ⑷长轴长等到于20，离心率等于35．（5） .若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，求k 的值.三、总结提升学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率． 当堂检测1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（ ）． A ．3 B ．3或253 C2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936x y +=与221610x y += ．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．8．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率9．如图，求椭圆12222=+by a x ,(0>>b a )内接正方形ABCD 的面积五、课堂小结我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法我的困惑。
高中数学选修2-1优质学案：2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质
2．2.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一椭圆的简单几何性质知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长是a.(×)2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x225＋y216＝1.(×)4．设F为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(√)题型一 椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m >0)，因为0<m 2<4m 2，所以1m 2>14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.题型二 由几何性质求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 解 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为x218＋y29＝1.反思感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(2)离心率为32，经过点(2,0)．考点由椭圆的简单几何性质求方程题点由椭圆的几何特征求方程解(1)由题意知a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.(2)由e＝ca ＝32，设a＝2k，c＝3k，k>0，则b＝k.又经过的点(2,0)为其顶点，故若点(2,0)为长轴顶点，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为x24＋y2＝1；若点(2,0)为短轴顶点，则b ＝2，a ＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 216＝1.题型三 求椭圆的离心率命题角度1 依托图形几何性质求离心率例3 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 由a 与c 的关系式得离心率 [答案]3－1[解析] 方法一 如图，∵△DF 1F 2为正三角形，N 为DF 2的中点，∴F 1N ⊥F 2N ， ∵|NF 2|＝|OF 2|＝c ， ∴|NF 1|＝|F 1F 2|2－|NF 2|2＝4c 2－c 2＝3c ，由椭圆的定义可知|NF 1|＋|NF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴a ＝(3＋1)c2，∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.方法二 注意到焦点三角形NF 1F 2中，∠NF 1F 2＝30°，∠NF 2F 1＝60°，∠F 1NF 2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e ＝sin ∠F 1NF 2sin ∠NF 1F 2＋sin ∠NF 2F 1＝sin90°sin30°＋sin60°＝112＋32＝3－1.反思感悟 利用数与形的结合，挖掘几何特征，可借助于a 2＝b 2＋c 2，找到a 与c 的关系或求出a 与c ，代入e ＝ca即可得到．跟踪训练3 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 由a 与c 的关系式得离心率 [答案] 34[解析] 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°， ∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ， ∴e ＝c a ＝34.命题角度2 构建齐次方程(或不等式)例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________． 考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 [答案] ⎣⎡⎭⎫22，1[解析] 由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2， 所以a ≤2c ，因为e ＝c a ，0<e <1，所以22≤e <1.反思感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．跟踪训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率． 考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率 解 由题意知A (a,0)，B (0，b )， 从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 又|F 1F 2|＝2c ，∴aba 2＋b 2＝63c . ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 [答案] D[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性[答案] D[解析] 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程[答案] C[解析] 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝ca ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程是x 24＋y23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.64考点 椭圆的离心率问题题点 由a 与c 的关系式得离心率[答案] A[解析] 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴cos60°＝c a ＝12， 即椭圆的离心率e ＝12，故选A. 4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4. 5．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3. ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0； 四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12.求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.。
2.1《椭圆的几何性质》教案1(新人教选修2-1)
一．课题：2.1.3椭圆的几何性质（1）二．教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.四．教学过程：（一）复习： 1．椭圆的标准方程.（二）新课讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率. ∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 2.2.2 椭圆的几何性质
数学人教B 选修2-1第二章2.2.2 椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几个性质．2．掌握椭圆的标准方程中a ，b ，c ，e 的几何意义及其之间的相互关系．______________ ______________ ______________________________________ __________________长轴长为______ ________(1)判断曲线关于原点，x 轴，y 轴对称的依据．若把方程中的x 换成－x ，y 换成－y ，方程不变，则曲线关于原点对称． 若把方程中的y 换成－y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称． 若把方程中的x 换成－x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称． (2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点．【做一做1－1】椭圆x 29＋y 236＝1的长轴长为( )A ．5B ．3C ．6D ．12【做一做1－2】椭圆x 225＋y 29＝1的离心率为______．椭圆的离心率剖析：(1)椭圆的半焦距与长半轴长的比，称作椭圆的离心率．记作e ＝ca .(2)因为a ＞c ＞0，所以离心率e 的取值范围是0＜e ＜1. 离心率的大小对椭圆形状的影响： ①当e 趋近于1时，c 趋近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁平；②当e 趋近于0时，c 趋近于0，从而b 趋近于a ，因此椭圆越接近于圆．椭圆与圆是两种不同的曲线，因此椭圆的离心率满足不等式0＜e ＜1. 当e ＝0时，曲线就变为圆了．题型一 利用椭圆的方程研究其几何性质【例1】分别求出椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴和短轴的长，离心率，焦点坐标和顶点坐标．分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a ，b ，c ，即可求出答案．反思：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a 与b ，求出c ，才能正确地得出椭圆的有关性质．题型二 利用性质求椭圆的方程【例2】已知x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0，a ≠1)表示离心率为12的椭圆，求椭圆的标准方程．分析：椭圆的焦点不知在哪个轴上，所以需要分两种情况来讨论，再由e ＝12即可求得．反思：在求椭圆的标准方程时，首先要分清焦点在哪个坐标轴上，然后利用条件求出a 2.本题所给方程中的a 与椭圆标准方程中的a 不同．题型三 椭圆几何性质的应用【例3】已知椭圆的中心在原点，离心率为22，F 为左焦点，A 为右顶点，B 为短轴一顶点，求∠ABF 的余弦值．分析：已知离心率为22，即c a ＝22，即a ＝2c ，再由a ，b ，c 的关系可得b ＝c ，在△ABF中，由余弦定理可求得结果．反思：知道离心率就知道a ，b ，c 中任意两个字母间的关系．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( )A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不正确3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆的标准方程是( )A ．x 24＋y26＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 232＋y236＝14．(2012·浙江名校联考，文9)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一动点，且P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－12，则椭圆离心率为( )A ．32B ．22C ．12D ．335．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为__________．6．椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．答案： 基础知识·梳理1．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)2a 2b (±c,0) (0，±c ) 2c (c 2＝a 2－b 2) x 轴，y 轴 原点 e ＝ca∈(0,1) a 2－b 2【做一做1－1】D 椭圆的长轴长为2a ，由方程可知a ＝6，所以2a ＝12. 【做一做1－2】45典型例题·领悟【例1】解：将椭圆方程变形为y 225＋x 216＝1，由方程知a ＝5，b ＝4，所以c ＝3， 所以长轴长为10，短轴长为8.离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)，A 2(0,5)，B 1(－4,0)，B 2(4,0)．【例2】解：当焦点在x 轴上，即a ＞1时，由b ＝1，得c ＝a 2－1，所以a 2－1a ＝12， 解得a 2＝43，所以椭圆的标准方程为3x 24＋y 2＝1；当焦点在y 轴上，即0＜a ＜1时， 由题意得c ＝1－a 2，所以1－a 21＝12，解得a 2＝34，所以椭圆的标准方程为4x 23＋y 2＝1.【例3】解：设长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则有c a ＝22，即a ＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝c ， ∴|AB |＝a 2＋b 2＝3c ，|BF |＝a ＝2c ，|AF |＝a ＋c ＝(2＋1)c ，∴cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22|AB |·|BF |＝6－236.随堂练习·巩固 1．D2．D 由于x 2a 2＋y 29＝1中长半轴，短半轴不明确，故需分类讨论，分焦点在x 轴，y 轴两种情况求解．3．C 由题意可知焦点在x 轴或在y 轴上，所以标准方程有两个．而2a ＝12，∴a ＝6. 又∵c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝32，∴椭圆的标准方程是x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1.4．B 解析：设P (x 0，y 0)，则y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝－12，化简得x 20a 2＋2y 20a 2＝1，又P 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，所以a 2＝2b 2，故e ＝22. 5．3或253若m ＜5，则5－m 5＝105，解得m ＝3. 若m ＞5，则m －5m＝105，解得m ＝253.6．分析：应用待定系数法，列出关于a ，b ，c 的方程组求解． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时， ∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca ＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27，∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.。
2018学年高中数学人教B版选修2-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质 含解析
2.2.2椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a、b、c的几何意义．(重点)2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点)[基础·初探]教材整理1椭圆的简单几何性质阅读教材P43～P44第5自然段，完成下列问题.【答案】ya2＋xb2＝1(a＞b＞0)－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a2b2a2c坐标轴原点1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( ) A ．81 B ．9 C ．18D ．45【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 【答案】 C2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．14D ．4【解析】 方程化为x 2＋y 21m ＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m＝2×2，∴m ＝14.【答案】 C 教材整理2 离心率阅读教材P 44“离心率”～P 44“例1”，完成下列问题．1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比________叫做椭圆的________． 【答案】 e ＝ca 离心率2．性质：离心率e 的范围是________．当e 越趋近于1时，椭圆________；当e 越趋近于________时，椭圆就越趋近于圆．【答案】(0,1) 越扁 01．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________． 【解析】 ∵a 2＝16，b 2＝8， ∴e ＝1－816＝22.【答案】 222．已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．【解析】 ∵AF 1→·AF 2→＝0， ∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°. 设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭圆定义知：3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 【答案】3－1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )【导学号：15460030】A.x 29＋y 216＝1B ．x 225＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 29＝1【精彩点拨】 根据椭圆的几何性质解题．【自主解答】由题意，得⎩⎨⎧2a ＋2b ＝18，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝4.因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 【答案】 B1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．[再练一题]1．已知椭圆方程为9x 2＋16y 2＝144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【解】 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1. ∴a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7.∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)；四个顶点的坐标为A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3).(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【精彩点拨】(1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a、b、c分别为多少？怎样求出？【自主解答】(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．3．在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca 等构造方程(组)加以求解．[再练一题]2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________． 【解析】 2a ＝10，c ＝4，∴a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝9. 焦点在x 轴上，故标准方程为x 225＋y 29＝1.【答案】 x 225＋y 29＝1[探究共研型]探究 已知椭圆x a 2＋y b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .【提示】 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba ， 故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ， 即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．【精彩点拨】 能否由已知条件构造关于ca 的方程． 【自主解答】 由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a －5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝0， 即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.求e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下： (1)若已知a ，c 可直接代入e ＝ca 求得； (2)若已知a ，b ，则使用e ＝1－b 2a 2求解；(3)若已知b ，c ，则求a ，再利用(1)或(2)求解；(4)若已知a ，b ，c 的关系，可转化为关于离心率e 的方程(不等式)求值(范围)．[再练一题]3．若过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．【解析】 由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c3. 即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33. 【答案】 33[构建·体系]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长与y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝15，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9【解析】 由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，且2a ＝10，a ＝5,2b ＝6，b ＝3，故a 2＝25，b 2＝9.【答案】 D2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 D3．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________．【解析】根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．所以a＝5，c＝4，故e＝ca＝45.【答案】4 54．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________.【导学号：15460031】【解析】椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，因此可设待求椭圆为x2m＋y2m＋5＝1.又b＝25，故m＝20，得x220＋y225＝1.【答案】x220＋y225＝15．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)焦距为8，在y轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．【解】(1)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝6 3，所以a2－b2a＝63，所以a2＝27.所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，由已知，得c＝4，b＝4，则a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的标准方程为y232＋x216＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是()A.x2100＋y236＝1B．x2100＋y264＝1C.x225＋y216＝1 D．x225＋y29＝1【解析】由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝ca＝3 5，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1，故选C.【答案】 C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为()A.12B．13C.14 D ．22【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 【答案】 A3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )【导学号：15460032】A.513 B ．－513 C.21313D ．－21313【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 203＝1， 解得y 0＝±32，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝132.由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－322×132×132＝－513.【答案】 B5．如图2-2-4，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )图2-2-4A.15 B ．25 C.55 D ．255【答案】 D 二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.【答案】 127．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB＝y 2－y 1x 2－x 1，k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21， b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，得b2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2.【答案】 －b 2a 28．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.【答案】 [1,2] 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OP A＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝(3b )2－b 23b＝223.[能力提升]1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22 B ．2－1 C ．2－ 2D ．2－12【解析】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得|PF 2|＝b 2a ＝2c ， 即a 2－c 2a ＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )【导学号：15460033】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12， 当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3，当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件． 【答案】 A3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．【解析】 由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12. 【答案】 124．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP→＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝52 3. 所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2 ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值为15.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质》0
课题：椭圆的几何性质昌图四高赵岩一、教学目标知识与技能1 探究椭圆的几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
2 掌握椭圆的几何性质，理解椭圆方程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题。
过程与方法1通过椭圆的方程研究椭圆的几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。
2通过掌握椭圆的几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
二、教学重难点教学重点：椭圆的几何性质及其探究过程教学难点：椭圆几何性质的实际应用三、教学方法启发式诱导四、教学准备多媒体五、教学环节内容授课内椭圆的范围学生回答出椭圆的范围-a≤≤a, -b≤≤b2椭圆的对称性老师用多媒体演示椭圆中点的对称。
学生用计算的方式总结对称性把换成-,方程不变，说明椭圆关于轴对称。
把换成-,方程不变，说明椭圆关于轴对称。
把换成-, 把换成-,方程不变,关于原点对称。
总结：椭圆分别以轴,轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形，椭圆的对称中心为椭圆的中心。
三．椭圆的顶点令 =0，得 =？，说明椭圆与轴的交点令 =0，得 =？, 说明椭圆与轴的交点顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？四、离心率离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率学生得出结果教师分析学生总结师生共同总结学生快速作答教师和同学一起探究总结22221(0)，x ya ba b+=>>在之中22221(0)，x ya ba b+=>>在之中ace=容授课内容1离心率的取值范围：0<e<12离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆与a,b的关系:五．概念深化和理解{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）{3}基本线：对称轴（共两条线）性质分布表（见多媒体）六．例题讲解例1:求椭圆16 2 252 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案：2-1-2 椭圆的几何
2．1.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．[知识链接]观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出x 和y 的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． [预习导引] 1焦点在x轴上焦点在y 轴上2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.要点一 椭圆的几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据标准方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 跟踪演练1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m2＝1.∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m.∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m ，0)，顶点坐标为(1m ，0)，(－1m ，0)，(0，－12m )，(0，12m)．离心率e ＝c a＝32m 1m ＝32.要点二 由椭圆的几何性质求方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知{ a ＝2c ，a －c ＝3，∴{ a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 12＝1.规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b .跟踪演练2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点． ①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3，∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.要点三 求椭圆的离心率例3 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.规律方法 求椭圆离心率的方法：①直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． ②若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪演练3 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于____________．答案 33解析 直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b2a)．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b22ac (x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac.由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b22ac＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 答案 D解析 由题意知椭圆焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69， 故焦点坐标为(0，±69)．2．如图，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25 C.55D.255 答案 D解析 ∵x －2y ＋2＝0， ∴y ＝12x ＋1，而b c ＝12， 即a 2－c 2c 2＝12，∴a 2c 2＝54，c a ＝255.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15 答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2(2b )， 即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2， 消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 C解析 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.。
高中数学人教B版选修2-1教案：2.2椭圆性质一习题课8+
20XX—20XX学年度第二学期高二数学教案主备人：使用人：时间：20XX年XX月的一个焦点和一个随堂小测1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为()A C2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率A C3.已知过椭∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为()A C4.若方A.a<0B.-1<a<0C.a<1D.a>1★5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A C6.若椭7.椭△FAB的周长最大时,△FAB的面积是.8.已知直线x+2y-2=0经过椭9.已知椭★10.已知椭精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
高中数学选修2-1优质学案11：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）教材新知入门答辩图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．问题1：椭圆具有对称性吗？问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？新知自解(1)椭圆的简单几何性质：(2)当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越，则椭圆越接近于圆．归纳领悟1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P(x，y)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点，由图形易知当x＝0时，|OP|取得最小值b，此时P位于椭圆短轴端点处；当x＝±a时，|OP|取得最大值a，这时P位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)．热点考向考点一椭圆的简单的几何性质例1求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．一点通已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．题组集训1．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A.32 B.12C.22 D.522．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．考点二利用椭圆的几何性质求标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.一点通 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数． 题组集训3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( ) A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．考点三椭圆的离心率问题例3 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．一点通 求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： (1)直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝ca求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围． 题组集训5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若uuu r A P ＝2u u u rPB ，则椭圆的离心率是( ) A.32B.22C.13D.126．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 方法小结1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用． 创新演练1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 3．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.454．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C ． 5D ．15或51535．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．6．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．7.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．8.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF u u u r ＝2 2F B u u u r ，1AF u u u r ·AB uu u r ＝32，求椭圆的方程．——★ 参 考 答 案 ★——教材新知 入门答辩问题1：提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形．问题2：提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]． 问题4：提示：b 越小，椭圆越扁． 新知自解(2)接近于1 接近于0 热点考向考点一椭圆的简单的几何性质例1 解：将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53.题组集训 1．[答案]A[解析]由椭圆方程知长轴长为2a ，短轴长为2， ∴2a ＝2×2＝4，∴a ＝2，∴c ＝22－12＝3， ∴e ＝c a ＝32.2．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1.∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)； 四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).考点二利用椭圆的几何性质求标准方程例2 解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.题组集训 3．[答案]D[解析]由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1. 4．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e ＝55，即55＝5a ，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.考点三椭圆的离心率问题例3 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a 3，∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 题组集训 5．[答案]D[解析]∵uuu r A P ＝2u u u r PB ，∴|uuu r A P |＝2|u u u rPB |. 又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.6．[答案]2－1[解析]由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.创新演练 1．[答案]D[解析]由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 2．[答案]A[解析]由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.3．[答案]C[解析]由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.4．[答案]B[解析]由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.5．[答案]x 212＋y 29＝1[解析]如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.6．[答案]255[解析]由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.7.解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形． 在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.8.解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．高中数学选修2-1学案11 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由2AF u u u r ＝22F B u u u r ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2)． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由1AF u u u r ·AB uu u r ＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。
人教新课标版-数学-高二B版选修2-1学案 2.2.2 椭圆的几何性质(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)图形对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 范围 x ∈，y ∈x ∈，y ∈顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长 短轴|B 1B 2|＝2b ，长轴|A 1A 2|＝2a焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率e ＝ca (0＜e ＜1)最大距离：a ＋c ；最小距离：a －c .(2)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义是什么？在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示．即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．思考辨析(1)椭圆离心率越大，椭圆越圆．()(2)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相等．()(3)已知椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率e＝12，则k的值为4或－54.()(1)×离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆．(2)√(3)√由e2＝1－b2a2；又因椭圆的焦点在x轴或在y轴上，所以有两个值．当a＞1时，焦点在x轴上，a2＝k＋8，c2＝k－1，又e＝12，所以14＝k－1k＋8，解得：k＝4；当k＜1时，焦点在y轴上，a2＝9，c2＝1－k，又e＝12，所以14＝1－k9，解得k＝－54.2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0) D．(0，－6)，(0，6) D3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为()A．32B．34C．22D．23A hslx3y3h x24＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝a2－b2＝3，e＝ca＝32.合作探究·攻重难思路探究解规律方法跟踪训练解思路探究解规律方法跟踪训练解探究问题提示提示思路探究解解解规律方法当堂达标·固双基由a＝2b＝2，b＝1得c＝3，e＝ca ＝32.c＝1，由e＝ca＝12得a＝2，由b2＝a2－c2得b2＝3.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝ca＝22.由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.解hslx3y3h已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．。
2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2-2-2 椭圆的几何
2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考2在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？梳理椭圆的简单几何性质知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝______称为椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越______，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.命题角度2对称性问题例3讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性．反思与感悟研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性．跟踪训练3曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为()A．x轴B．y轴C．直线y＝x D．无法确定命题角度3最值问题例4椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝32，已知点P(0，32)到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．反思与感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练4 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2 类型三 椭圆离心率的求解例5 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．反思与感悟 求e 的取值范围有以下几个步骤： (1)切入点：已知|k |≤142，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．跟踪训练5 已知点P (m ，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )A.13B.33C.22D.122．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为________．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为________．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .提醒：完成作业 第二章 2.2.2(一)答案精析问题导学 知识点一思考1 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b )．思考2 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a ，b )，(a ，b )，(－a ，－b )，(a ，－b )．梳理 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (±c ，0) (0，±c ) a b b a 2a 2b知识点二思考 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)ca (2)扁题型探究例1 解 已知方程化成标准方程为 x 216＋y 29＝1， 于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3)． 引申探究解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为(－712，0)和(712，0)，顶点坐标为(±13，0)，(0，±14)．跟踪训练1 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18， 短轴长2b ＝6， 焦点坐标为(0，62)，(0，－62)，顶点坐标为(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0)． 离心率e ＝c a ＝223.例2 解 依题意，设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.跟踪训练2 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72， ∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.例3 解 用“－y ”代替方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1中的“y ”，得－x 3y ＋x 2y 2－xy 3＝1，它改变了原方程，因此方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线不关于x 轴对称．同理，方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线也不关于y 轴对称．而用“－x ”代替原方程中的“x ”，用“－y ”代替原方程中的“y ”，得(－x )3(－y )＋(－x )2(－y )2＋(－x )(－y )3＝1，即x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1，故方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于原点对称． 跟踪训练3 B例4 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a ＝ a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P (0，32)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝4b 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3，(*)令f (y )＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.(1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f (－12)＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.跟踪训练4 C例5 解 依题意得F 1(－c ，0)， 直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )． 因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2.由|k |≤142，得k 2≤72， 即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.跟踪训练5 35当堂训练1．B 2.B 3.x 225＋y 216＝14．[4－23，4＋23] 5.(0，±69)。
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椭圆的几何性质(一)
学习目标.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考观察椭圆＋＝(>>)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
思考在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？
梳理椭圆的简单几何性质
焦点在轴上焦点在轴上
标准方程(>>)(>>)
图形
焦点坐标
对称性 关于轴、轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标 (－，)，(，)， (，－)，(，) (，－)，(，)，
(－，)，(，)
范围 ≤，≤
≤，≤
长轴、短轴
长轴长为，短轴长为
知识点二椭圆的离心率
思考如何刻画椭圆的扁圆程度？
梳理()椭圆的焦距与长轴长的比＝称为椭圆的离心率．
()对于＋＝，越小，对应的椭圆越，反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当＝时，＝，两焦点重合，图形变成圆，方程变为＋＝.(如图)。