计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
第四章矩阵的特征值和特征向量
即，0不是A的特征值，或者，A的任一特征值不等于零
充分性：设A的任一特征值不等于零，假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以＝0是A的一个特征值，矛盾
m 是A的m个不同 的特征值，1， m分别是A的属于1，2 m的特征向量， 则1， m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3＝2，解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 －1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
（2）由（4.1)式知：向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0，即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根，则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解，都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X＝0，即解 －5 －4 x1 0 x －5 －4 2 0
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要问题，它在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
本文将介绍计算矩阵特征值和特征向量的方法，包括特征方程法、幂法、反幂法和QR方法。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，满足以下方程：Ax=λx其中，x被称为A的特征向量，λ被称为A的特征值。
二、特征方程法特征方程法是计算矩阵特征值和特征向量的一种常用方法，其基本思想是通过求解矩阵的特征方程来求得特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程为：A-λI，=0其中，I是n阶单位矩阵，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程可以得到n个特征值λ₁,λ₂,...,λₙ。
然后，将这些特征值带入原方程组(A-λI)x=0，求解线性方程组得到n个特征向量x₁,x₂,...,xₙ。
三、幂法幂法是一种通过迭代来计算矩阵最大特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=Axₙ，其中xₙ为第k次迭代得到的向量。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于最大特征值对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
四、反幂法反幂法是一种通过迭代来计算矩阵最小特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=(A-σI)⁻¹xₙ，其中σ为待求的特征值。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于特征值σ对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的特征值为σ的特征向量。
五、QR方法QR方法是一种通过迭代来计算矩阵特征值和特征向量的方法。
首先，将矩阵A进行QR分解，得到矩阵A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，计算矩阵B=RQ，重复以上步骤，直到矩阵B收敛。
矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵地特征值与特征向量地数值解法某些工程计算涉及到矩阵地特征值与特征向量地求解 .如果从原始矩阵出发，先求 出特征多项式，再求特征多项式地根，在理论上是无可非议地•但一般不用这种方 法,因为了这种算法往往不稳定•常用地方法是迭代法或变换法•本章介绍求解特 征值与特征向量地一些方法•§ 1乘幂法乘幕法是通过求矩阵地特征向量来求特征值地一种 迭代法，它适用于求矩阵 地按模最大地特征值 及对应地特征向量.b5E2RGbCAP 定理8 • 1设矩阵Ai x n 有n 个线性无关地特征向量 X<i=1,2,…,n ）,其对应地特征 值入 i （i =1,2,…,n> 满足 plEanqFDPw|入1|>|入2|三…三|入n |则对任何n 维非零初始向量 乙,构造Z k = AZ k-1（k=1,2.其中（Z k >j 表示向量Z<地第j 个分量. 证明：只就入i 是实数地情况证明如下 因为A 有n 个线性无关地特征向量X,<i = 1,2,用X<i = 1,2, …,n ）线性表示，即Z 0=a 1X 1 + 用A 构造向量序列｛Z k ｝其中由矩阵特征值定义知 AXm i X(i=1,2,…,n>,故Z k 二A k Z^ ：1A k X^ ： 2A k X 2nA kX n 「T ；X1 *〉2'；X2- :'n'n Xn同理有li m (ZQ j_______________ <22?=■ 1<8 • 1) Z 1 二 AZ 0,乙二 AZ= A^Z。
,川，Zk-AZ kj-A Zo(8・2>- k' nkTX ii zz2-nJ 2-7k -AZk」=人X ii =2<A1」<8.3)<8.4 ),设a 1工0,并且注意到…,n )所以任何非零向量Z o 都可 a 2茨 + …+a nX <a 1 工 0) DXDiTa9E3d将<8.3 ）与<8.4 ）所得乙及Z k-1地第j个分量相除| 入i|<| 入…,n> 得RTCrpUDGiT1|(i=1,2,定理8 • 1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:1） 先任取一非零向量Z 0, 一般可取Z o =（1,1,1> T； 2） 按<8.2 ）式计算 乙=AZ -i （k=1,2,…>;3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即关于对应于入1地特征向量地计算：由<8.1 ）知，当k 充分大时,Z k =入1Z k-1,又由迭代式 Z k = AZ k-1,可知AZ k-1 =入1Z k-1故 由特征值定义知 Z k-1即为入1对应地特征向量，或Z k =入1Z k-1为入1对应地特征向 量.5PCzVD7HxA这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为 乘幕法. 应用乘幕法计算A 地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知Z k = *-n厲入+送码J y1X ii 2当|入1|>1或|入1|<1时,Z k 中不为零地分量将会随 K 地增大而无限增大，或随K 地 「 ------------ 增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢” .为了克服这个缺点，一」无 穷 常将迭代向量 乙先规范化，然后再计算，具体做法是:jLBHrnAILg 一，一用max （Z>S 示向量Z k 地绝对值最大地分量，任取一初始向量Z o =a 1X 1+ a 汎+…+ a n X^V a 1工0）构造与<8.2 ）对应地向量序列.xHAQX74J0XAZ o由<8.3）可知Yk = maZk A kZ o max A kZ o max n:X 亠1 1 j ii =2X inM • r ii -2X i丿丿(k tmax X i<8.7J 二 AYA 2Z omax AZ0J 'max 乙max AZ oA 2Z 。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中一个重要的概念，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵理论中的基本概念之一，它们在科学计算、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行详细的介绍。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零n维向量x，使得Ax与x线性相关，即满足下式：Ax = λx其中，λ为非零常数，称为矩阵A的特征值；而向量x称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
从定义中可以看出，特征向量并不唯一，一个特征值可以对应多个特征向量，且特征值和特征向量是成对存在的。
二、求解特征值与特征向量的方法求解一个矩阵的特征值与特征向量可以使用多种方法，其中比较常用的有特征值问题的特征多项式法和幂法。
1. 特征多项式法特征多项式法是一种较为直观的方法，其基本思想是通过解矩阵的特征方程来求解特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程可以表示为：|A-λI| = 0其中，I是n阶单位矩阵，λ是一个未知量。
解特征方程可以得到矩阵A的所有特征值。
解特征方程得到特征值后，再带入Ax = λx中，可以求解对应的特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代的方法，通过不断迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量。
算法的基本思想是：(1)选择一个任意的非零向量x0；(2)计算x1 = Ax0；(3)计算x2 = Ax1；......(4)迭代到某一步，得到xk与x(k-1)之间的变化很小时，停止迭代。
在迭代过程中，向量x逐渐趋近于特征向量，而矩阵B = A^k中的最大特征值则逐渐趋近于特征值，因此可以通过幂法来估计特征值与特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有多个重要性质。
1. 特征值的性质（1）特征值的个数等于矩阵的阶数n；（2）特征值的和等于矩阵的迹（即主对角线上元素之和）；（3）特征值的积等于矩阵的行列式；（4）特征值具有可交换性，即两个矩阵AB和BA具有相同的特征值。
第6章矩阵的特征值及特征向量的计算
λ
x
的特征值时， 是矩阵 A 的特征值时，相应的方程组 的特征向量。 ，称为矩阵 A 关于 λ 的特征向量。
(λ I − A) x = 0
的非零解
式及( 式看， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题。 从 ( 6 . 1 ) 式及 ( 6 . 2 ) 式看 ， 它只是代数方程求根及线性方程组求解的问题 。 当 很小时（ 这种方法是可行的。 稍大时， 很小时（ 如 n = 2,3,4 ） ，这种方法是可行的。 但当 n 稍大时 ，多项式方 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 程是一个高次方程，求解它是一个很困难的问题。 本章主要介绍四种目前在计算机上比较常用的计算矩阵的特征值和特征向 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。 量的幂法、反幂法、雅可比法及雅可比过关法。
程序运行结果： 程序运行结果： Matrix 2.000000 3.000000 10. 10.000000 3.000000 3.000000 6.000000 Max EigenValue 11. 11.000002 Max EigenVector 0.500000 1.000000 0.750000
▪ 反幂法的基本思想
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值和相应的特征向 量的数值计算方法。 可逆， 量的数值计算方法 。 设某 n 阶矩阵 A 可逆 ， λ 和 ν 分别 的特征值和相应的特征向量， 为 A 的特征值和相应的特征向量 ， 并设 λi ≠ 0, i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ， 1 −1 得 A −1 ν = 对 Aν = λ ν 两边同乘 A ， ν ，可见 A 和 A −1 的 λ 特征值互为倒数， 特征值互为倒数 ， 而且 ν 也是 A −1 的特征值 1 λ 的特征向 量。 A −1 的按模最大的特征值正是 A 的按模最小的特征值 的倒数， 的倒数 ， 用幂法计算 A −1 的按模最大的特征值而得到 A 的 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。 按模最小的特征值的方法，称为反幂法。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在许多科学领域中都有广泛的应用。
在矩阵中有两个与之相关的重要概念，即特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵在线性变换中非常有用的性质，它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特点。
本文将重点探讨矩阵的特征值和特征向量的定义、性质以及应用。
1. 特征值与特征向量的定义矩阵A的特征值是指满足方程Av=λv的非零向量v以及对应的常数λ。
其中v是特征向量，λ是特征值。
换句话说，特征向量是矩阵作用后与自身平行（或成比例）的向量，而特征值则表示该向量在作用后的缩放倍数。
2. 计算特征值与特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值与特征向量，需要解决特征值问题，即求解方程|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
解这个方程可以得到特征值的集合。
对于每个特征值λ，再解方程(A-λI)v=0，可以得到特征向量的集合。
3. 特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有一些重要的性质：- 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
- 矩阵的特征值与它的转置矩阵的特征值是相同的。
- 对于n阶矩阵，特征值的个数不超过n个。
- 特征向量可以线性组合，线性组合后的向量仍然是对应特征值的特征向量。
4. 特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：- 特征值分解：通过特征值与特征向量的计算，可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积形式，这在数值计算和信号处理中非常有用。
- 矩阵对角化：特征值与特征向量可以将一个矩阵对角化，使得计算和处理更加简化和高效。
- 特征值的物理意义：在物理学中，特征值可以表示物理系统的某些性质，如量子力学中的能级等。
总结：矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
通过计算特征值与特征向量，可以帮助我们理解和描述线性变换的性质，进行矩阵的对角化处理，以及在数值计算和信号处理中应用。
矩阵的特征值和特征向量是线性代数学习中不可或缺的内容，对于深入理解线性变换和矩阵的性质具有重要的作用。
矩阵特征值的计算方法
矩阵特征值的计算方法
矩阵特征值的计算方法指的是求解矩阵的特征值和特征向量的
过程。
矩阵的特征值是一个数，它表示矩阵线性变换后的方向和大小，而特征向量则是指在该方向上不发生变化的向量。
矩阵的特征值和特征向量在很多数学和工程领域中都有着广泛的应用，比如在谱分析、信号处理、图像处理、电力系统等方面都有重要的应用。
矩阵特征值的计算方法有很多种，其中最常见的方法是使用特征值分解。
特征值分解是指将一个矩阵分解成特征向量和特征值的乘积的形式，即 A = QΛQ^-1，其中A是待求解的矩阵，Q是特征向量组成的矩阵，Λ是特征值组成的对角矩阵。
特征值分解的计算方法比较简单，但是它只适用于有n个线性无关特征向量的n阶矩阵，而对于其他类型的矩阵，比如奇异矩阵和非对称矩阵，就需要使用其他的方法。
除了特征值分解之外，还有很多其他的计算方法可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，比如幂法、反幂法、QR分解法、雅可比方法等。
这些方法各有特点，可以根据实际情况选择适合的方法来求解矩阵的特征值和特征向量。
总之，矩阵特征值的计算方法是一个重要的数学问题，它在很多领域中都有着广泛的应用。
不同的计算方法有不同的优缺点，需要根据实际情况选择合适的方法来求解矩阵的特征值和特征向量。
- 1 -。
求矩阵的特征值与特征向量
(0) T
迭代条件：
y ( k ) y ( k 1)
1
计算结果：
1 mk
u1 y
k k x( k ) Ax( k 1) 11 u1 2k u 2 2 n nun )
k k 2 n k 1 1u1 2 u u n 2 n 1 1
xHale Waihona Puke k )5.1.2 幂法的计算公式
分三种情况讨论： (1) 1 为实根，
且 1 2
x 1 x
( k 1) i (k ) i
, u1 x
1 2
(k )
(2) 1 为实根， 且 1 2 及 2 3
xi( k 2 ) 1 ( k ) x i ( k 1) (k ) u1 x 1 x
给出初值x(0)，按迭代公式计算：x(k+1)=Ax(k) 根据迭代序列各分量的变化情况求根：
若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比 趋向于常数c），则按情况一处理。
若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按 情况二处理。 若序列的各分量表现为其它情况，则结束。
5.1.3 幂法的实际计算公式
Ax( k 1) x( k ) , k 0,1,
实际计算公式：
(1)先对A作LU分解；（ LU分解的要点: ??） (2)再解方程组： ( k 1) (k )
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
本文将介绍特征值与特征向量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，我们将方阵A的特征向量定义为非零向量v，满足Av=λv，其中λ为该特征向量对应的特征值。
特征值与特征向量是成对出现的，一个矩阵可以有一个或多个特征值与对应的特征向量。
特征向量表示了矩阵在某个方向上的拉伸或压缩效果，而特征值则表示了这个特征向量的比例因子。
特征值和特征向量的计算对于理解矩阵在线性变换中的行为非常重要。
二、特征值与特征向量的计算方法要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为待求矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
解特征方程可以得到特征值的取值。
得到特征值后，接下来需要计算对应每个特征值的特征向量。
特征向量可以通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解，其中v为特征向量的系数。
解线性方程组可以使用高斯消元法或其他数值方法。
三、特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量在矩阵对角化中的应用特征值与特征向量的计算可以将一个矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，可以简化矩阵的计算和分析过程。
2. 特征值与特征向量在物理问题中的应用在物理学中，特征值与特征向量广泛应用于力学、电磁学等领域。
例如，特征向量可以表示力学系统的振动模态，特征值则表示对应振动模态的频率。
3. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中具有广泛应用。
例如，在人脸识别中，可以通过计算图像数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，来提取图像的主要特征，从而实现人脸的自动识别。
4. 特征值与特征向量在数据降维中的应用在机器学习中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维。
通过计算数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，可以找到数据中最主要的特征，从而实现数据的降维和压缩。
第五章 求矩阵特征值和特征向量
第五章 求矩阵特征值与特征向量n 阶方阵A 的n 个特征值就是其特征方程det()0λ-=A I的n 个根，方程A 属于特征值λ的特征向量x 是线性方程组λ=A x x的非零解。
本章讨论求方阵A 的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。
以及求实对称矩阵特征值的对分法。
5.1 幂 法在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。
例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。
本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。
5.1.1幂法的基本思想幂法是求实方阵A 按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。
它的基本思想是：先任取非零初始向量0x ，然后作迭代序列1k k +=x A x ，0,1,k =⋅⋅⋅ （5。
1）再根据k 增大时，k x 各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A 的按模最大特征值及其特征向量。
先看一个计算实例。
例1 设矩阵1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 用特征方程容易求得A 的两个特征值为11-=λ，32=λ下面用幂法来计算，取初始向量()01,0T=x ，计算向量序列 1k k +=x A x ，0,1,k =⋅⋅⋅ 具体结果如表5.1所示.表5.1 幂法计算结果k()1k x()2k x0 1 01 2 3 1 5 13 2 4 14 4 5 6 741 121 365 109340 122 364 1094考察两个相邻向量对应分量之比：5)1(1)2(1=xx ,6.2)2(1)3(1=xx ,(4)1(3)13.154x x=,(5)1(4)12.951x x=,(6)1(5)13.016x x=，(7)1(6)12.994x x=2)1(2)2(2=x x ,5.3)2(2)3(2=x x ,(4)2(3)22.857x x =,(5)2(4)23.05x x =,(6)2(5)22.983x x =,(7)2(6)23.005x x =由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k 的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰好就是矩阵A 的按模最大的特征值。
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
an1
an2 ann
—— 特征多项式方程。
2
在线性代数中按如下三步计算：
1、计算出A的特征多项式│A- E│； 2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i 3、将i代入(A-iE)X=0 求出基础解系，即得A 的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即 为A的对应于i 的全部特征向量。
例
求矩阵
7 44.99953 14.99983 -29.99968 1 0.33333 -0.66667 44.99953
由表可知，最大特征值为： 1=44.99953
对应特征向量为：( 1 , 0.33333 , -0.66667 )T
26
（二）按模最大特征值1是单实根，但1<0
此时迭代向量序列{V(2k)}和{V(2k+1)}将分别收敛 于互为反号的向量。
1
定义 设A为 n 阶方阵，若存在常数 与 n 维 非零向量X 使 AX=X成立，则称 为方阵A的特 征值，非零向量 X 为A的对应于 的特征向量。
由AX=X (A- E)X=0 此方程有非零解的充要条件是: |A- E|=0 , 即：
a11 a12
a21 a22
a1n a2n 0
k
V(k)
U(k)
max(V(k))
0
1
1
1
1
1
1
1 274
95
-184
1 0.34672 -0.67153
2 44.42377 14.84322 -29.64262 1 0.33413 -0.66727 44.42377
3 44.92333 14.97623 -29.95048 1 0.33337 -0.66670 44.92333
矩阵特征值求法
矩阵特征值求法在数学中，矩阵特征值是矩阵的一个非常重要的性质。
它可以用来描述矩阵的很多性质，比如矩阵的对角化、矩阵的相似变换等。
矩阵特征值的求法有很多种，其中比较常见的有幂法、Jacobi方法、QR方法等。
本文将介绍这些方法的基本原理和具体实现过程。
一、幂法幂法是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法。
其基本思想是：从一个随机的初始向量开始，不断地将矩阵乘上这个向量，并将结果归一化，得到一个新的向量。
这个过程会不断重复，直到向量收敛到某个特征向量为止。
此时，对应的特征值就是矩阵的最大特征值。
具体实现过程如下：1. 初始化一个随机向量 $x_0$，并进行归一化，得到$x_1=frac{x_0}{left|x_0right|}$。
2. 对于 $k=1,2,3,cdots$，重复以下步骤：（1）计算 $y_k=Ax_{k}$。
（2）计算$lambda_k=frac{left|y_kright|}{left|x_kright|}$。
（3）归一化向量 $x_{k+1}=frac{y_k}{left|y_kright|}$。
3. 当 $left|lambda_{k+1}-lambda_kright|<epsilon$，其中$epsilon$ 是一个足够小的数，表示收敛精度时，停止迭代。
此时，向量 $x_{k+1}$ 就是对应的特征向量，特征值为 $lambda_{k+1}$。
幂法的优点是简单易懂，容易实现。
但是，由于它只能得到矩阵的最大特征值和对应的特征向量，因此需要对矩阵进行对角化或者其他方法来得到所有的特征值和特征向量。
二、Jacobi方法Jacobi方法是一种求解实对称矩阵特征值和特征向量的方法。
其基本思想是：通过一系列旋转变换，将实对称矩阵变换为对角矩阵，从而得到特征值和特征向量。
具体实现过程如下：1. 初始化一个实对称矩阵 $A$。
2. 选择一个非对角线元素 $a_{i,j}$，并计算旋转角度$theta$，使得 $a_{i,j}$ 变为 $0$。
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（1）当|1|>1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的 分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”； （2）当|1|<1时， V(k)与V(k+1)的各个分量将随k 的增大而过快地减小而趋于0； 上述两种情况都会导致计算结果不准确。
19
解决措施：在计算V(k+1)之前，先将V(k)规范化， 具体操作如下： （1）取U(0)=V(0)=1X1+ 2X2+...+ nXn（非零 向量），计算V(1) ： V(1)=AU(0)=AV(0) （2）取U(1)：
即用V(2)中绝对值最大的分量去除V(2)中的所有 分量。其次计算V(3) ：
V ( 3 ) AU ( 2 ) A3V ( 0 ) 2 (0) AV
3 4 1 x1 1 3 4 x 0 2 x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 0 1 1 x1 1 1 x 0 2
k 1 k n
k
17
(k ) k k V [ X ( 1 ) 2 X 2 ] （k充分大时） 则有： 1 1 1 k 2 [1 X1 (1)k 2 2 X 2 ] 同理： V ( k 2) 1
2 (k ) 1 V
迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有
3 1 求矩阵 A 1 3 的特征值与特征向量
3
解：计算特征多项式方程，即 3 1 A E ( 3 )2 1 0 1 3 解得A的两个特征值：1=4， 2=2。 （1）1=4 将1=4代入 (A-E)X=0得(A-4E)X=0
（1）即初始非零向量V(0)
(0)
V
( 1)
AV
( 0)
0 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2 3
V
( 2)
18
★规范化幂法运算 由 V
V
( k 1)
k 1
k 1 1
i [ 1 X 1 i i2 1
n n k
k 1 k 1 X i ] 1 1 X1
(k )
i k [ 1 X 1 i X ] i 1 1 X 1 i 2 1
AV
(1)
15
0 1 2 3 V AV 1 1 3 5 144 (11 ) (10 ) V AV 233
( 3) ( 2)
V
(12 )
AV
(11)
0 1 144 233 1 1 233 377
1
定义 设A为 n 阶方阵，若存在常数 与 n 维 非零向量X 使 AX=X成立，则称 为方阵A的特 征值，非零向量 X 为A的对应于 的特征向量。 由AX=X (A- E)X=0 此方程有非零解的充要条件是: |A- E|=0 , 即：
a11 a 21 a n1 a12 an 2 a1n a2n 0 a 22
最大特征值的计算：
V1(12 ) 233 V2(12 ) 377 1 (11) 1.61805 或者1 (11) 1.61803 V1 144 V2 233 (11) 1.61805 1.61803 特征向量： V 或 者1 2
16
（二）按模最大特征值是互为反号的实根 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ， 其对应的特征值为i （i=1,2,...,n)，且满足： |1| = |2|>|3| … |n|，设其中1>0, 1=- 2
a nn
—— 特征多项式方程。
2
在线性代数中按如下三步计算： 1、计算出A的特征多项式│A- E│； 2、求出特征方程│A-E│=0的全部根i 3 、将 i代入 (A-iE)X=0 求出基础解系，即得 A 的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即 为A的对应于i 的全部特征向量。 例
1
v (j k 1 ) v (j k )
13
或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：
1
v (jk 1) v
(k ) j
j 1
n
v (jk 1) v (jk ) n
（4）求1所对应的特征向量： 由： lim k
1 可得：V ( k 1) V ( k ) 1
(k ) (k ) AV V 故： 1
( k 1) (k ) V AV 而：
则V(k)即为所求对应1的特征向量。
14
0 1 例 用幂法求下面 A 1 1 的按模最大特征 值及对应的特征向量。
1 V 1 （2）作迭代计算V(k+1)= AV(k)：
由迭代变换： V ( k ) Ak V ( 0 )
1 Ak X 1 2 Ak X 2 n A k X n
k k 1 1 X1 2 k X 2 2 n n Xn
i [ 1 X 1 ( 1) 2 X 2 i Xi ] i3 1
1 Vi( k 2 ) Vi( k )
k V ( k ) 1 [ 1 X 1 ( 1) k 2 X 2 ] 可得： ( k 1) 再由： k 1 k 1 1 [ 1 X 1 ( 1) 2 X 2 ] V k 1 V ( k 1) 1V ( k ) 21 X 1 V ( k 1) 1V ( k ) 1 X 1 取 ( k 1) (k ) k 1 k 1 ( k 1) (k ) V V ( 1 ) 2 X X V V 1 1 2 2 1 2
7
下面介绍两种简单情况：
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根 （二）按模最大特征值是互为反号的实根
8
（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根
定理 设n 阶方阵A有 n 个线性无关的特征向量 Xi ，其对应的特征值为i （i=1,2,...,n)，且满足： |1|＞|2| … |n| 则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不 为0）所构成的迭代序列 V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,…） 有：
v
( k 1) j
k 1 1
i [ 1 ( X 1 ) j i i2 1
n
(Xi ) j ]
i v [ 1 ( X 1 ) j i (Xi )j ] i2 1 k 1 n i k 1 1 [ 1 ( X 1 ) j i (Xi ) j ] ( k 1) vj 1 i 2 lim 那么 lim k k v ( k ) k n i j k 1 [ 1 ( X 1 ) j i (Xi ) j ] i 2 1
x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 0
1 1 x1 1 1 x 0 2
1 取对应于2=2的基础解向量 P2 1
5
则对应于2=2的全部特征向量为：kP2 (k 0)
4
1 取对应于1=4的基础解向量 P1 1 则对应于1=4的全部特征向量为：kP1 (k 0)
（2）2=2 将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0
3 2 1 x1 1 3 2 x 0 2
1 lim
k
v (jk 1) v (jk )
其中 v (jk 1) 表示 V ( k 1) 中的第j个分量。
9
证明：
因为A具有 n 个线性无关的特征向量
Xi （i=1,2,...,n） 而任一 n 维的非零向量，如V(0)：
V
(0)
v
(0) 1
v
(0) 2
v
(0) T n
k 1 1
i [ 1 X 1 i i2 1
n
k 1
Xi ]
11
V 同理可得：
(k )
i [ 1 X 1 i Xi ] i2 1
k 1 n n k 1
k
V(k+1)的第j个分量：
(k ) j k 1
V(k)的第j个分量：
k
12
i i 1 故有： 由已知条件： 1 1 v (jk 1) 1 所以： lim ( k ) k v j
k 1
i 0, 最大特征值的方法： （1）取一非零初始向量V(0) ，如V(0)=(1,1,...,1)T （2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k) （3）当k充分大时取：
U (1) V (1) AV ( 0 ) (1) V AV ( 0 )
即用V(1)中绝对值最大的分量去除V(1)中的所有 分量。 其次计算V(2) ：
V ( 2 ) AU (1) A 2V ( 0 ) AV ( 0 )
20
（3）取U(2) ：
U ( 2) V ( 2) A2V ( 0 ) ( 2) 2 (0) V AV
3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。
6
幂法是一种迭代法。 基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一 个无限序列的极限来求得。 如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0) ，作 迭代计算 X(k+1) =AX(k) 则可得迭代序列X(0) , X(1) , … , X(k) ,…， 序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关 系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征 值及特征向量的近似值。