二次函数的解题技巧

二次函数解题技巧

技巧1 根据二次函数定义解题 例1 已知函数

1)32()1(222----+-=n x n n x n y

(1)当n 为何值时，x y 是的一次函数？ (2)当n 为何值时，x y 是的二次函数？

例2：已知函数35)1(1

2

++-=-x x m y m

，是二次函数，求m 的值

技巧2 求抛物线对称轴与顶点坐标

例3 通过配方，写出下列抛物线的开口方向，对称轴，与顶点坐标

（1）123

1

2--=x x y （2）)3)(1(4++-=x x y

技巧3 求二次函数的最值

例4求二次函数2

1

3212++=x x y 的最小值

技巧4 用待定系数法求二次函数的解析式

例5 已知抛物线经过（0,0）（2，21）（8

1

,1-）三点，求抛物线的解析式

例 6 已知二次函数当1=x 时，有最大值6-，其图象经过点（8,2-），求次二次函数的解析式

例7 已知二次函数图象的对称轴为1=x ，最高点到x 轴的距离为6，且经过点（8,2-），求此二次函数的解析式

技巧5 巧用顶点坐标处理抛物线移动问题

例8 将抛物线5422+-=x x y 作下列移动，求所得的抛物线解析式。 （1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位 （2）以x 轴为对称轴，将抛物线开口反向

例9 已知抛物线c 沿y 轴向下平移3个单位后，又沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为111642++=x x y ，求原抛物线c 的解析式

技巧6 运用抛物线的对称性解题

例10 抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于点A,B 两点，点B 的坐标为（0,3）则点A 的坐标为是_________

例11 已知点（1,4）（3,4）在二次函数k kx x y 232-+=的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标是____________

技巧7 数形结合，解二次函数图象信息题

例12 如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，图象经过点（2,1-），和（1,0），且与y 轴相交于负半轴

（1）给出的四个结论：（1）,0>a （2）0>b （3）0>c （4）0=++c b a ，其中正确的结论序号是________

（2）给出的四个结论：0)1(+b a

(3)1=+c a (4)1>a ,其中正确的结论是序号是________

例13 如图 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（2,1-），且与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，其中10,1221<<-<<-x x ，下列结论： （1）024<+-c b a （2）02<-b a （2）（3）1b <- （4）ac a b 482>+ 其中正确的有（ ）

A1个 B 2个 C 3 个 D 4 个

技巧8 数形结合法求抛物线的面积问题

例14 如图 已知32+-=x y 的图象与2x y =的图象交与A,B 两点，且与x,y 轴交于D,C 两点，O 为坐标原点 （1）求A,B 的坐标 （2）求AOB S △

1

-1

x

y

︱

-1 x

y

︱

1

︱

-2 ︱ -1

x

y

︱

1

︱

-2 B

A

O

技巧9;数形结合法求抛物线与几何综合问题

例15 如图 A,B 两点在x 轴上原点O 的右边，点A 在点B 的左边，经过A,B 两点的圆C 与y 轴相切与点D （3,0-），如果A,B 两点间的距离AB 为8

（1）求A,B 两点的坐标

（2）圆C 是否存在这样的一点E ，使△ABE 的面积最大？如果存在，请写出点E 的坐标，并写出经过点A,B,E 三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式；如果存在，请说明理由

例17 已知，Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处 （1）求点C 的坐标

（2）若抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过C,A 两点，求此抛物线的解析式 （3）若点P 为线段OB 上一点，过P 做y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问是否存在这样的点P ，使得线段PM 最大？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由

技巧10 建立数学模型，解决实际问题

例18 某区民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏组成，如图，若设花园的BC 边长为x （m),花园的面积为y(2cm )

A B D X y

O 。 C X

y B A O P M

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围

(2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由

(3)根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x 取何值时，花园面积最大，最大面积为多少？

例19 已知点A(c --,2)向右平移8个单位得到点'A ，A A 与'两点都在抛物线

c bx ax y ++=2上，且这条抛物线与y 轴交点的纵坐标为6-，求这条抛物线的

顶点坐标

A B C D ︱

-1 x

y ︱

1

︱ -2 A

B