二次函数的解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。
比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。
比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。
看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。
难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。
比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。
不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。
初中数学二次函数题型答题技巧和方法
初中数学二次函数题型答题技巧和方法一、理论基础1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像是抛物线，开口朝上还是朝下取决于a的正负性；顶点的横坐标为-x=b/2a；若a>0,则二次函数的图像开口朝上，最小值为y轴的对称轴；若a<0,则二次函数的图像开口朝下，最大值为y 轴的对称轴。
3. 二次函数的零点和值域二次函数的零点即其图像与x轴的交点，可通过解二次方程求得；值域是二次函数在定义域内所有纵坐标的集合。
二、基本题型及解题技巧1. 求二次函数的图像特征首先计算顶点的坐标，并根据a的正负性判断开口方向；然后通过y=ax^2的形式，可知函数的对称轴为x=0，即y轴；进而可以根据a 的值判断最值是最大值还是最小值。
2. 求二次函数的零点通过解二次方程的方法，将二次函数与x轴相交的点作为函数的零点。
3. 求二次函数的值域首先求得函数的最值，然后根据a的正负性来确定值域的范围。
三、提高解题能力的方法1. 多练习经典题目通过练习一些经典的二次函数题目，可以加深对二次函数的理解，掌握基本的解题技巧。
2. 多思考图像特征在解题过程中，要多思考二次函数的图像特征，如顶点坐标、开口方向、对称轴等，这样可以帮助更快地理解题目并找到解题方法。
3. 注意解题方法和步骤解二次函数题目时，要注意分类讨论，分步解题，并注意逻辑推理的合理性。
四、常见错误与纠正1. 混淆二次函数的图像特征有些学生容易混淆二次函数图像的开口方向和对称轴位置，应该在理论学习和练习中多加注意，加深对二次函数图像特征的印象。
2. 解题步骤混乱有些学生在解题时，步骤混乱，缺乏逻辑性，应该在解题过程中多加练习，养成条理清晰的解题习惯。
五、案例分析及解决方案1. 案例：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+3，求解以下问题：（1）求f(x)的顶点坐标；（2）求f(x)的零点；（3）求f(x)的值域范围。
二次函数解题思路十大技巧
二次函数解题思路十大技巧
1、先求出二次函数的顶点：
设二次函数为y=ax2+bx+c，那么顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2、确定函数的性质：
判断a的正负，可以确定函数的单调性，从而确定函数的大致形状。
3、利用函数的性质，确定函数的根：
若函数为单调递增，则函数的根在顶点左边；若函数为单调递减，则函数的根在顶点右边。
4、利用绝对值函数的性质，确定函数的根：
若函数为绝对值函数，则函数的根在顶点两边，且根的绝对值相等。
5、利用函数的性质，确定函数的最大值和最小值：
若函数为单调递增，则函数的最大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的最小值在顶点左边。
6、利用函数的性质，确定函数的极值：
若函数为单调递增，则函数的极大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值在顶点左边。
7、利用函数的性质，确定函数的极值点：
若函数为单调递增，则函数的极大值点在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值点在顶点左边。
8、利用函数的性质，确定函数的增量和减量：
若函数为单调递增，则函数的增量在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的减量在顶点左边。
二次函数的判别式与解题技巧
二次函数的判别式与解题技巧二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
了解二次函数的判别式与解题技巧，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
本文将介绍二次函数的判别式以及解题的一些技巧和方法。
一、二次函数的判别式判别式是判断二次函数的性质和解的个数的关键工具。
二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c (1)其中，a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式Δ的值，可以判断二次函数的性质和方程的解的个数：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数解；2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实数根，方程有两个相等的实数解；3. 当Δ < 0时，二次函数没有实数根，方程没有实数解。
二、解题技巧和方法1. 求解二次方程要求解二次方程f(x) = 0，可以利用判别式的值来判断方程的解的个数，然后根据判别式的不同情况，采用不同的解题方法：a) 当Δ > 0时，可以使用求根公式来求解方程的解。
根据求根公式：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
可以通过求根公式或其他方法来求解。
c) 当Δ < 0时，方程没有实数解。
但可以用复数来表示，也可以用其他方法求解。
2. 探究二次函数的性质通过判别式的值，我们可以了解二次函数的性质，例如：顶点、开口方向和开口程度。
a) 当a > 0且Δ > 0时，二次函数开口向上，具有最小值，即顶点为最小值点；b) 当a < 0且Δ > 0时，二次函数开口向下，具有最大值，即顶点为最大值点；c) 当Δ = 0时，二次函数的开口方向不变，即开口向上或向下，且具有顶点。
3. 解决实际问题除了解方程外，二次函数还可以用于解决实际问题。
初中数学二次函数解题技巧
初中数学二次函数解题技巧初中数学中，二次函数是一个比较难理解的知识点。
它的定义是一个形如y=ax²+bx+c 的二次函数，其中a,b,c 是常数，而x 和y 则是变量。
它常用于物理、工程学等领域中的问题求解。
当然，许多同学都觉得二次函数非常难，但它其实并不难。
只要我们了解一些解题技巧，就能够轻松地应对二次函数的题目。
接下来，本文将为大家详细介绍一些初中数学二次函数解题技巧。
一. 推导二次函数通式首先，我们需要熟悉二次函数的形式以及相应的技巧。
我们来探讨一下怎样推导二次函数的通式。
一般地，我们常用相加相除的方法消去x²再化简。
利用与二次函数有关的图像来找到具有相关性的量之间的关系，可以帮助我们推导出二次函数的通式。
通式为：y=a(x-p)²+q，其中 a 是抛物线的开口方向，p 是抛物线的顶点，q 是抛物线与y 轴的交点。
二、使用因式分解法其次，因式分解法是二次函数中的一种应用方法。
你可以用它来快速解决二次函数题目。
在使用因式分解法时，只需找到方程式中可以分解为两个值的因数。
因式分解法在解决有些年级的数学问题时非常有用。
例如，对于y=2x²+4x+2的问题，我们只需要将2x²+4x+2 进行因式分解，即可得到y=2(x+1)²-2。
三、更深入的考虑单根或两个实根的情况在解决二次函数相关的问题时，我们还必须注意所涉及的方程式的单根或两个实根的情况。
许多同学常常会遇到这种问题，但不知道怎样应对。
实际上，这种情况需要你更深入地思考。
例如，如果二次函数为y=ax²+bx+c，你需要先计算出它的根。
如果根是实根，就需要用它来推导出二次函数的通式。
如果根为单根，则需要用一些组合公式来进一步解决问题。
有一些像求解二次函数的极值等问题，也需要用到组合公式。
四、使用二次函数图像最后，这是一种相对简单的解决二次函数问题的方法。
我们可以根据二次函数的图像来推导出相应的通式。
二次函数典型题解题技巧
二次函数典型题解题技巧一有关角1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,与y 轴交于点(0C ,3),过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ,直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；2连接AM 、AC 、BC ,试比较MAB ∠和ACB ∠的大小,并说明你的理由.思路点拨：对于第1问,需要注意的是CD 和x 轴平行过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D对于第2问,比较角的大小a 、 如果是特殊角,也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来,再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解：1∵CD ∥x 轴且点C0,3,∴设点D 的坐标为x,3 ．∵直线y= x+5经过D 点,∴3= x+5．∴x=－2．即点D －2,3 ．根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M －1,y,又∵直线y= x+5经过M 点,∴y =－1+5,y =4．即M －1,4．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C0,3在抛物线上,∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 2作BP ⊥AC 于点P,MN ⊥AB 于点N ．由1中抛物线223y x x =--+可得 点A －3,0,B1,0,∴AB=4,AO=CO=3,AC=32． ∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22．∴PC=AC －PA=2．在Rt △BPC 中,tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中,∵M-1,4,∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MN AN =2．∴∠BCP ＝∠NAM ．即∠ACB ＝∠MAB ．后记：对于几何题来说,因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角圆分开再说,所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系,在二次函数综合题里,我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题,其次才是利用线段之间的关系来解题,除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时,那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图,抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=,与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．I 求抛物线的解析式；II 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形若存在,求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；III 直线131+-=x y 交y 轴于D 点,E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ,βαβ-=∠求,CBE 的值．思路点拨：II 问题的关键是直角,已知的是AC 边,那么AC 边可能为直角边,可能为斜边,当AC 为斜边的时,可知P 点是已AC 为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合,明显只有O 点；当AC 为直角边时,又有两种情况,即A 、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是A 或者C 为直角顶点,总有一个锐角等于∠OCA 或Rt △PAC 和Rt △OAC 相似,利用这点就可以求出OP 的长度了III 从题目的已知条件看,除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要么全是特殊角30°,45°,60°,90°,在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显,这两个角不是特殊角,那只有一种可能在没有学反三角函数的前提下,就是他们的差是特殊角,再联系到∠ABC=45°,可知,这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE,再想想上一题所说的,就明白是利用相似三角形来证明了,即证明△BCE 是一个直角三角形且与△BAD 相似解：I ()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴．代入32-+=bx ax y ,得 {{12030339=-==--=-+∴a b b a b a322--=∴x x yII ①当190,PAC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，．)31,0(1P ∴②同理: 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠综上,坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形,分别是)31,0(1P )0,9(2P ,)0,0(3P ． III ()1,0,131D x y 得由+-=．()4,1322---=E x x y ，得顶点由． ∴52,2,23===BE CE BC ．为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222．31tan ==∴CB CE β． 又31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO ． ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．二线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短,无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点,如果我们公共端点,我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x = -1,B1,0,C0,-3.⑴ 求二次函数()20y ax bx c a =++≠的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P 到A 、C 两点距离之差最大 若存在,求出点P 坐标；若不存在,请说明理由.思路点拨：点P 到A 、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值,因P 点在对称轴上,有PA=PB,也就是求|PB －PC|,到了这儿,易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点,易知最大值就是线段BC 的长;具体解题过程略4、研究发现,二次函数2ax y =0≠a 图象上任何一点到定点0,a 41和到定直线ay 41-=的距离相等.我们把定点0,a 41叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.1写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； 2等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上,O 为坐标原点, 求等边三角形的边长；3M 为抛物线241x y =上的一个动点,F 为抛物线241x y =的焦点,P1,3 为定点,求MP+MF 的最小值.思路点拨：2因△OAB 是等边三角形,易知AB 平行于X 轴,且∠AOB=60°,知OA 、OB 于y 轴的夹角等于30°,利用这点容易求出三角形的边长3由题目可知MF 的长度等于M 点到直线y=－1的距离,那么MP+MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y=－1的垂线段的长 解：1焦点坐标为0,1, 准线方程是1-=y ；2设等边ΔOAB 的边长为x,则AD=x 21,OD=x 23. 故A 点的坐标为x 21,x 23. 把A 点坐标代入函数241x y =,得 2)21(4123x x ⋅=, 解得0=x 舍去,或38=x .∴ 等边三角形的边长为38.3如图,过M 作准线1-=y 的垂线,垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ,垂足为Q,当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时,MP+MF 最小,最小值为PQ=4. 5、思路点拨：2要求AE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知OA 和OE 的长以及E 点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴,垂足为G,那么容易求出OG 的长,从而求出AE 的长；要求AM 的长,先做OK ⊥AE,垂足为K,要求AM 的长,首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出AK 和OK 的长,利用OK 的长和三角形OMN 是等边三角形求出MK 和NK 的长,AM 的长也就知道了3这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时,PA+PB+PO 才能取最小值,P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P,把PA 、PB 、PO 连起来,要取最小值,那么这三条线段应该首尾相接,我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE 所在直线,这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合,PA 的长就是AM 的长,m 的最小值就是AE 的长答案详见前段时间发过的从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题6、2009年中考第25题如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A －6,0,B 6,0,C 0,43,延长AC 到点D ,使AC CD 21=,过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 1求D 点的坐标；2作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；3设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短． 要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明思路点拨：3首先要把速度转化成路程,也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M,则OM=63,设P 点在y 轴上的速度为2v,那么在GA 上的速度为v,P 点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/2的最小值,那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和,因为∠BMO=30°,GM/2也就是G 点到BM 的距离,我们作GK ⊥BM,垂足为K,问题转化成求GA+GM 的最小值,易知,A 、G 、M 必须共线且垂直BM,所以G 点就是过A 点作BM 的垂线与y 轴的交点解：1∵A －6,0,C 0,43,∴OA ＝6,OC ＝43．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ．又AC CD 21=,21===∴CA CD CO CM OA MD ． ∴CM ＝23,MD ＝3．同理可得EM ＝3．∴OM ＝63．∴D 点的坐标为3,63．2由1可得点M 的坐标为0,63．由DE∥AB,EM＝MD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD,∴TE＝SD．∵EC＝DF,∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B6,0,点M0,63在直线y＝kx＋b上,可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．第25题答图3确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6,OM＝63,可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中,OG＝AO·tan∠BAH＝23．∴G点的坐标为0,23．或G点的位置为线段OC的中点三平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了,现在重点将对称旋转问题我们知道a,b关于x轴对称的点的坐标为a,－b,关于y轴对称的点的坐标为－a,b,关于原点对称的点的坐标为－a,－b,关于直线x=m的对称点为2m－a,b,关于直线y=n的对称点为a,2n－b,关于点m,n的对称点为2m－a,2n－b任意两点x1,y1和x2,y2的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线,应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点m,n的对称抛物线解析式其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决,为了方便,选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=ax－h2+ka≠0来说,坐标为x,y的所有点都在他的图像上,关于m,n的对称点为2m－x,2n－y,那么坐标为2m－x,2n－y都在抛物线关于m,n对称的抛物线上,我们把2m－x,2n－y代入y=ax－h2+ka≠0就可以得到它关于m,n对称的抛物线的解析式为2n－y=a2m－x－h2+k,变形为y=－ax－2m+h2+2n－k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=ax－h2+ka≠0和它关于点m,n的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的,由于关于点对称,开口方向是相反的,故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于m,n对称的,原抛物线的顶点为h,k,它关于m,n的对称点的坐标为2m－h,2n－k,那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ax－2m+h2+2n－k,和利用上述方法所得结果一致7、已知抛物线C1：y=ax2－2amx+am2+2m+1a>0,m>1的顶点为A,抛物线C2的对称轴是y轴,顶点为B,且抛物线C1和C2关于P1,3成中心对称（1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值思路点拨：1很多人一看到求抛物线的顶点,习惯使用顶点的坐标公式来求,如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的,那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标,y=ax －m2+2m+1,故顶点坐标为m,2m+1（2）C1和C2关于点对称,利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标,易知m=2详解过程略。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可2、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）使用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变革的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变革的边的和最小值加上不变的边长3、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）使用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值2、不划定规矩图形面积最值问题1）支解。
高一二次函数解题技巧及方法
高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。
2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。
二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。
2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。
三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。
2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。
2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。
五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。
2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。
5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。
六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。
2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。
3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。
七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。
数学二次函数解题技巧大全
数学二次函数解题技巧大全众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形。
下面是小编为大家整理的关于初中数学二次函数解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!1初中数学二次函数解题技巧画出图示教形结合。
函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量"。
函数自产生就和图形结下了不解之缘。
其实，我们现在研究函数也要依据函数的图像，由图像看性质、由性质看图像，无论是函数概念还是性质的教学都离不开图像，都需要图像的支撑，因为函数和它的图像是分不开的一个整体。
所以函数知识的教学中，教师一定要帮助学生养成未解题，先作图的习惯，函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作通过计算机演绎各种函数的变化过程，使学生从直观状态下，发现函数的各种性质，并且，强烈的视觉效果引发的学习积极性，可以使记忆保持得更持久。
函数概念的教学过程中，在教学方式的选择上除了重点之处教师必不可少地讲解之外，而对于学生容易认识不清的地方，教师可以创设适当的情境后，让学生采用合作学习的方式，进行充分的交流与讨论，凸现出问题，以便能及时发现学生思想上的错误认识，澄清是非，帮助学生更好地学习和理解函数。
关注函数模型解题。
在利用数学解答实际问题的教学中，我们在进行行之有效的训练，并掌握各种类型问题的基础上，应及时总结应用问题与数学问题的联系，归纳其归属哪类问题。
例如现实生活中，广泛存在的用料最省，造价最低，利润最大等最优化问题归于函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。
当然初中学生现有的水平还很低，但可以通过与生活的结合，让学生充分领会到函数在实践中的作用，就能激发学生的学习兴趣，对以后的数学学习会有一个好的导向。
教师在学科融合过程中，应该处理好特定学科领域知识之间的整合，对几类知识进行再组织，从教育规律出发对学科内容进行的融合，旨在解决如何教的问题。
二次函数的零点求解技巧
二次函数的零点求解技巧二次函数是高中数学中的重要内容之一，求解二次函数的零点是解析几何和数学建模等领域中常见的问题。
本文将介绍几种常用的二次函数零点求解技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用。
一、一般形式的二次函数求解一般形式的二次函数可表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
要求解该二次函数的零点，可通过以下步骤进行：1. 判断判别式的值判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程的解的情况。
当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程没有实数根。
2. 利用求根公式求解根据一元二次方程的求根公式，实数根的公式可以表示为：x1 = (-b + √Δ) / (2a) 或 x2 = (-b - √Δ) / (2a)如果有两个实数根，可以分别求解x1和x2；如果有一个实数根，那么x1和x2的值相等。
二、顶点形式的二次函数求解顶点形式的二次函数可表示为y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为常数，(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
求解该二次函数的零点，可通过以下步骤进行：1. 将函数转化为一般形式将顶点形式的二次函数展开，可得到一般形式的二次函数，再按照一般形式的求解方法进行操作。
2. 利用顶点坐标求解根据顶点坐标的特性，顶点坐标(h, k)是抛物线的最低（或最高）点，也是零点的对称轴。
因此，求得抛物线的顶点坐标后，可以直接得到零点。
三、配方法求解对于无法直接因式分解或利用求根公式求解的二次函数，可以考虑使用配方法（即完成平方）来求解。
配方法的步骤如下：1. 将二次项分解将二次项的系数拆成两个数的乘积，使得这两个数之和等于一次项的系数b。
2. 完成平方根据配方法的原理，将一次项的系数b除以2，然后平方得到一个常数。
3. 移项求解将原二次函数利用配方法进行变形，将一次项的b拆分成两个数，然后完成平方，并将其移项到等式的另一侧。
初中数学二次函数解题方法与技巧
２０２４年４月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀初中数学二次函数解题方法与技巧◉宁夏回族自治区固原市西吉县兴平乡中心小学㊀王建勤㊀㊀基于中考数学试题的研究可以发现,二次函数的知识点在初中数学试卷中所占比例较大,内容较多,题目较复杂,考题难度较大．特别是二次函数问题经常会在中考压轴题中出现．下面对有关二次函数的常见题型及解题方法进行总结．１解析式问题找㊁代㊁解在求解二次函数解析式的问题中,教师可以引导学生遵循 找㊁代㊁解 的解题思路,解决与二次函数有关的实际问题．图１例１㊀如图１所示,对称轴为直线x ＝１２的抛物线经过B (２,０),C (０,４)两点,抛物线与x 轴的另一为点A ,求抛物线的解析式．找:找出题目中抛物线上的相应坐标信息．如B (２,０),C (０,４),对称轴直线x ＝１２．代:代入到二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)．解:进一步求解二次函数解析式．注:解析式问题需要学生具有较为扎实的二次函数学习基础．为此,在开展解析式问题教学前,教师可以利用对分课堂教学模式,引导学生梳理二次函数基本知识,提高学生的做题效果和课堂教学效率．２动点问题设㊁找㊁论有关动点问题,主要有x 轴上的动点问题㊁二次函数对称轴上的动点问题以及抛物线上的动点问题三种情况．求解时,首先假设出动点的坐标,由题干中的隐藏关系找出相应的等式,最后根据情况分类讨论,并根据合理性解出正确的结果．例２㊀已知抛物线y ＝－２x ２＋２x ＋４与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,若P 为抛物线第一象限内的一点,设四边形C O B P 的面积为S ,求S 的最大值．设:设P (n ,－２n ２＋２n ＋４)(０＜n ＜２)．找:如图２,过点P 作x 轴㊁y 轴的垂线,垂足分别为F ,E ,连接O P ．由此可知S ＝S әC O P ＋S әP O B ＝１２O C n ＋１２O B (－２n ２＋２n ＋４)＝－２(n －１)２＋６．图２论:当且仅当n ＝１时,S 取得最大值,且最大值为６．注:动点问题需要学生耐心思考,找出题干中的关系式,这也是二次函数动点问题的重难点所在．为此,教师要引导学生克服解决动点问题时的恐惧心理,运用二次函数动点问题的三部解题法加强训练．３面积问题找㊁拆㊁设面积问题常以求解三角形面积或四边形面积的形式出现,主要考查求解三角形面积㊁求解两个三角形交点的坐标位置㊁求解三角形或四边形面积最大时的动点坐标这三大问题．图３例３㊀如图３所示,在平面直角坐标系中,抛物线y ＝－x ２＋５x ＋６与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,且直线y ＝x －６过点B ,与y 轴交于点D ,点C 与点D 关于x 轴对称,已知P 是线段O B 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ,交直线B D 于点N ．当әMD B 的面积最大时,求点P 的坐标．根据题干,可以发现本道题在考查面积的基础上,进一步提出了求点P 的坐标．但仍需先求出әMD B 面积的最大值,再从中寻找答案．找:找出әMD B 的面积关系．已知在әMD B 中,B 和D 是定点,M 是抛物线上的一个动点,可以使用铅垂模型求解,即线段MN 将әMD B 分割为有公共底边的两个三角形әMN D 和әMN B ．拆:根据上述陈述,可以得到S әM D B ＝S әMN D ＋S әMN B ＝１２MN |x B －x D |．设:设点P 坐标为(m ,０),则M (m ,－m ２＋５m ＋６),N (m ,m －６),于是MN ＝－m ２＋４m ＋１２,所以S әM D B ＝１２MN |x B －x D |＝－３m ２＋１２m ＋３６＝－３(m －２)２＋４８,当且仅当m ＝２时,S әM D B 有最大值,且最大值为４８,此时点P 的坐标为(２,０)．注:教师在开展有关二次函数面积问题题型训练１７解法探究２０２４年４月下半月㊀㊀㊀时,首先要引导学生学习如何找出面积关系．教师可以引导学生复习求面积的方法,如割补法㊁铅垂法等,从而提高学生的学习效率[１]．其次,利用面积求解方法引导学生灵活解决面积问题．４几何图形存在性问题找㊁解㊁论中考有关二次函数几何图形存在性问题,主要考查三角形和四边形的存在性,且以考查特殊三角形和四边形居多．通常几何图形会与面积最值或动点问题搭配考查,灵活性较高,难度较大．图４例４㊀如图４所示,已知二次函数y ＝x ２＋２x －３的图象与x 轴相交于点A 和B ,其中点A 的坐标为(－３,０),且过点B 作一条直线与抛物线相交于点D (－２,－３)．过x 轴上的点E (a ,０)(点E 在点B 的右侧)作直线E F ʊB D ,且与该抛物线相交于点F ,试分析是否存在实数a ,使得四边形B D F E 为平行四边形若存在,请求出满足条件的实数a ;若不存在,请说明理由．找:根据题干内容,学生能够轻松求出直线B D 的解析式为y ＝x －１,则直线E F 的解析式为y ＝x －a ．根据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 这一定理可知,若想四边形B D F E 为平行四边形,只需满足D F 与x 轴平行即可．解:若D F 与x 轴平行,则点D 和点F 的纵坐标相等,即点F 的纵坐标为－３．而F 为直线E F 与抛物线的交点,设F 的横坐标为m ,根据B E ＝D F ,可得a －１＝m ＋２,即m ＝a －３,则F (a －３,－３)．论:将F (a －３,－３)代入y ＝x ２＋２x －３,可以解出a １＝１,a ２＝３．当a ＝１时,点E (１,０)与点B 重合,不符合题意,舍去;当a ＝３时,点E (３,０)符合题意．所以,当且仅当a ＝３时,四边形B D F E 为平行四边形．注:关于二次函数几何图形存在性问题的内容较为丰富,出题方式较为灵活,因此,学生需要加强训练,把握解决二次函数几何图形存在性问题的解题思路,提高解题效率和解题质量．５最值问题设㊁找㊁论最值问题是二次函数的常考题型,最值问题通常与面积问题一同出现．因此,在面对这一问题时,教师可以引导学生运用割补法或铅垂(铅垂高,水平宽)法求出几何图形的面积,再通过数式关系求出最大值或最小值．例５㊀如图５,已知抛物y ＝a x ２－２a x ＋c 经过点C (１,２),与x 轴交于A ,B 两点,其中A 点坐标图５为(－１,０)．(１)求抛物线的解析式;(２)直线y ＝３４x 交抛物线于S ,T 两点,M 为抛物线上A ,T 之间的一个动点,过M 作M E 垂直x 轴于点E ,M F ʅS T 于点F ,求M E ＋M F 的最大值．本题根据解决解析式问题的步骤,可以很快得出抛物线y ＝－１２x ２＋x ＋３２．对于第(２)问,可以通过设㊁找㊁论的步骤求解．设:设点M 的坐标为(t ,－１２t ２＋t ＋３２),直线O T 交M E 于G ,则G (t ,３４t )．找:找出M E ＋M F 的表达式．M E ＝－１２t ２＋t ＋３２,O G ＝５４t ,M G ＝－１２t ２＋１４t ＋３２．由s i n øO G E ＝s i n øM G F ＝４５,得M F ＝４５M G ＝－２５t ２＋１５t ＋６５．所以,可得M E ＋M F ＝－９１０t ２＋６５t ＋２７１０＝－９１０(t －２３)２＋３１１０．论:当且仅当t ＝２３时,M E ＋M F 有最大值,且最大值为３１１０．注:最值问题首先需要学生找到目标函数的表达式,然后化简等式．其次,最值问题需要学生正确计算出数式的答案,保证运算的准确率[２]．综上所述,初中对二次函数的考查内容虽然灵活复杂[３],但是若学生能够利用解析式问题㊁动点问题㊁面积问题㊁几何图形存在性问题和最值问题的解题方法与解题技巧,并进行适当的训练,就能提高有关二次函数的解题能力．参考文献:[１]陆立明．二次函数综合题解题分析与备考策略 以南宁市中考数学二次函数题型为例[J ]．中学教学参考,２０２２(１７):２２Ｇ２４．[２]陈丽黎．类比探究透本质,数形结合双翼飞 二次函数的图象与性质(３) 的教学设计与反思[J ]．中学数学,２０２２(１２):４５Ｇ４６．[３]王国强,华云锋．慢教学:初中生数感培养的课堂新样态 以 二次函数 单元起始课教学为例[J ]．中学数学,２０２２(１０):７Ｇ１０．Z２７。
压轴题二次函数解题技巧
压轴题二次函数解题技巧
压轴题是数学考试中考察学生综合能力的一道难题，其中二次函数题目尤其考验学生的解题技巧。
以下为二次函数解题的几种技巧： 1. 求解二次函数的根，可以使用求根公式。
当方程有两个实根时，根据大小关系可以确定函数的开口方向；当有一个实根时，函数与x轴相切；当没有实根但有复根时，函数与x轴没有交点，且开口向上或向下。
2. 判断二次函数的最值，可以使用顶点公式。
当二次项系数为正数时，函数的最小值为顶点的y坐标；当二次项系数为负数时，函数的最大值为顶点的y坐标。
3. 根据函数图像确定函数表达式，可以根据函数的开口方向、顶点坐标、以及过已知点的信息来确定函数的表达式。
4. 根据函数表达式确定函数图像，可以通过分析函数的一、二阶导数来确定函数的开口方向、顶点坐标、以及拐点的位置。
掌握这些二次函数的解题技巧，可以帮助学生在考试中更加轻松地解决压轴题。
- 1 -。
初中二次函数最值问题解题技巧
初中二次函数最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？配方法可是二次函数最值问题的一大绝招啊！就像给函数穿上合适的衣服，一下子就变得精神了。
比如说对于函数y=x²+2x-3，咱就可以配方成y=(x+1)²-4，这样最值不就一目了然啦！
2. 哇塞，还有公式法呢！这可是超级厉害的工具哟！就如同有了一把万能钥匙。
像求二次函数y=2x²-4x+1 的最值，直接代入公式，不就轻松搞定啦！
3. 嘿呀，判别式法也不能小瞧呀！它就像是一个侦探，能帮我们找出很多线索呢。
比如已知一个二次函数与某个条件的关系，用判别式说不定就能找到最值啦！
4. 哎呀呀，图像法可是直观得很呐！简直就是把二次函数展现在你眼前。
像看二次函数 y=-x²+2x+3 的图像，最高点不就是最大值嘛，多清楚呀！
5. 哇哦，构造法也很奇妙哟！就好似搭建一个独特的模型。
比如根据已知条件构造一个新的二次函数来求最值，是不是很有意思呀？
6. 嘿，别忘了还有变量替换法呢！这就像给函数变个小魔术，巧妙得很呐。
假设一个变量来替换某个式子，然后求最值，噫，真神奇！
7. 哈哈，对称性质法也是很有用的呀！相当于找到了函数的一个秘密通道。
知道二次函数的对称轴，那最值还远吗？
8. 哟呵，参数法也可以试试呀！就好像加入了一个特别的元素。
通过参数来求解最值，那感觉超棒的！
9. 总之呢，这么多的解题技巧，可得好好掌握呀！它们都是我们解决二次函数最值问题的有力武器，可别小瞧它们哦！用对了技巧，这些难题都不叫事儿！。
二次函数
∴点C、D关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
六、一元二次不等式：
一元二次不等式其实就是在一元二次方程的基础上进行的。其所有的都是围绕一元二次方程与X轴的交点问题进行。下面我们以y=ax2+bx+c（a>0）为例进行探讨。
在解答题甚至填空题时往往不会很直白的告诉你三个点的坐标，而是与我们已经学过的一次函数或者反比例函数联立使用，告诉我们二次函数与一次函数或者反比例函数相交，或者顶点坐标在其上面。例如二次函数与一次函数y=kx+b相交，则交点既在二次函数上也在一次函数上。因此在没有给定交点时，我们可以设点坐标为（x,kx+b）后，再带入求解。
解：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝ ．
所以，二次函数的表达式为y＝ ，或y＝－
三、二次函数与一次函数或者反比例函数的联立计算。
列表描述如下：
一元二次不等式 的解集：
设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
任意解
无解
无解
例：解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若 即 则 或
若 即 则
若 即 则 或
练习：
1、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> ；
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧介绍二次函数是高中数学中重要的内容之一，而求二次函数的最值问题在解题过程中也是非常常见的。
本文将介绍解决二次函数最值问题的一些技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用。
1. 二次函数的基本形式二次函数一般可以写成如下形式：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
先来看一个具体的例子：例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最值。
2. 求二次函数的顶点求解二次函数的最值问题，首先需要求出函数的顶点。
二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标可以通过以下公式得到：x=−b2a例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的顶点坐标。
解：根据公式x=−b2a ，代入a=2和b=−4，可以得到x=−−42×2=1。
将x=1代入原函数f(x)，可以计算出对应的y值：f(1)=2×12−4×1+1=−1。
所以函数f(x)的顶点坐标为(1,−1)。
3. 确定开口方向在求得顶点后，我们还需要确定二次函数的开口方向，以便进一步确定最值的位置。
在一般情况下，当二次函数的系数a为正时，抛物线开口向上；当a为负时，抛物线开口向下。
在已知顶点的情况下，通过判断a的正负即可确定开口方向。
例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的开口方向。
解：由于a=2为正数，所以二次函数f(x)的抛物线开口向上。
4. 求解最值根据顶点坐标和开口方向，我们可以得出二次函数的最值。
当二次函数开口向上时，最小值就是函数的顶点值；当二次函数开口向下时，最大值就是函数的顶点值。
例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最小值。
解：由于函数f(x)是向上的抛物线，最小值就是顶点坐标的纵坐标。
所以函数f(x)的最小值为−1。
5. 问题求解的一般步骤在解决二次函数最值问题时，我们可以总结出一般的步骤如下：1.将二次函数写成标准形式：f(x)=ax2+bx+c；2.使用公式x=−b求得顶点坐标(x,y)；2a3.判断抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；4.根据开口方向，并结合顶点坐标，得出最值结果。
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二次函数解题技巧
技巧1 根据二次函数定义解题 例1 已知函数
1)32()1(222----+-=n x n n x n y
(1)当n 为何值时，x y 是的一次函数？ (2)当n 为何值时，x y 是的二次函数？
例2：已知函数35)1(1
2
++-=-x x m y m
，是二次函数，求m 的值
技巧2 求抛物线对称轴与顶点坐标
例3 通过配方，写出下列抛物线的开口方向，对称轴，与顶点坐标
（1）123
1
2--=x x y （2）)3)(1(4++-=x x y
技巧3 求二次函数的最值
例4求二次函数2
1
3212++=x x y 的最小值
技巧4 用待定系数法求二次函数的解析式
例5 已知抛物线经过（0,0）（2，21）（8
1
,1-）三点，求抛物线的解析式
例 6 已知二次函数当1=x 时，有最大值6-，其图象经过点（8,2-），求次二次函数的解析式
例7 已知二次函数图象的对称轴为1=x ，最高点到x 轴的距离为6，且经过点（8,2-），求此二次函数的解析式
技巧5 巧用顶点坐标处理抛物线移动问题
例8 将抛物线5422+-=x x y 作下列移动，求所得的抛物线解析式。
（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位 （2）以x 轴为对称轴，将抛物线开口反向
例9 已知抛物线c 沿y 轴向下平移3个单位后，又沿x 轴向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为111642++=x x y ，求原抛物线c 的解析式
技巧6 运用抛物线的对称性解题
例10 抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于点A,B 两点，点B 的坐标为（0,3）则点A 的坐标为是_________
例11 已知点（1,4）（3,4）在二次函数k kx x y 232-+=的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标是____________
技巧7 数形结合，解二次函数图象信息题
例12 如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上，图象经过点（2,1-），和（1,0），且与y 轴相交于负半轴
（1）给出的四个结论：（1）,0>a （2）0>b （3）0>c （4）0=++c b a ，其中正确的结论序号是________
（2）给出的四个结论：0)1(<abc （2）02>+b a
(3)1=+c a (4)1>a ,其中正确的结论是序号是________
例13 如图 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（2,1-），且与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，其中10,1221<<-<<-x x ，下列结论： （1）024<+-c b a （2）02<-b a （2）（3）1b <- （4）ac a b 482>+ 其中正确的有（ ）
A1个 B 2个 C 3 个 D 4 个
技巧8 数形结合法求抛物线的面积问题
例14 如图 已知32+-=x y 的图象与2x y =的图象交与A,B 两点，且与x,y 轴交于D,C 两点，O 为坐标原点 （1）求A,B 的坐标 （2）求AOB S △
1
-1
x
y
︱
-1 x
y
︱
1
︱
-2 ︱ -1
x
y
︱
1
︱
-2 B
A
O
技巧9;数形结合法求抛物线与几何综合问题
例15 如图 A,B 两点在x 轴上原点O 的右边，点A 在点B 的左边，经过A,B 两点的圆C 与y 轴相切与点D （3,0-），如果A,B 两点间的距离AB 为8
（1）求A,B 两点的坐标
（2）圆C 是否存在这样的一点E ，使△ABE 的面积最大？如果存在，请写出点E 的坐标，并写出经过点A,B,E 三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式；如果存在，请说明理由
例17 已知，Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，若以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将Rt OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处 （1）求点C 的坐标
（2）若抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过C,A 两点，求此抛物线的解析式 （3）若点P 为线段OB 上一点，过P 做y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问是否存在这样的点P ，使得线段PM 最大？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由
技巧10 建立数学模型，解决实际问题
例18 某区民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏组成，如图，若设花园的BC 边长为x （m),花园的面积为y(2cm )
A B D X y
O 。
C X
y B A O P M
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围
(2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由
(3)根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x 取何值时，花园面积最大，最大面积为多少？
例19 已知点A(c --,2)向右平移8个单位得到点'A ，A A 与'两点都在抛物线
c bx ax y ++=2上，且这条抛物线与y 轴交点的纵坐标为6-，求这条抛物线的
顶点坐标
A B C D ︱
-1 x
y ︱
1
︱ -2 A
B。