用费马原理推导光学三大定律
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接下来我们将用费马最短时间原理来证明几 何光学的三大定律和一些光学现象。
证明反射定律
我们来试着求下列问题的解，在图中画了A、B两点和一平面镜M。哪 一条是在最短时间光从A碰到镜面M再返回B的路径？ 首先相对于M取B点的对称点B'，取从A到B的 任一路径ADB，由于△DBM'≌△DB'M'，因 此DB=DB',AD+DB=
显然 直线ACB'是从A到B'路径中最短的一条。所以， 过C点的线段ACB为我们要求的路径。 因 为 △ CBM≌△CBM' ， 所 以 ∠ BCM=∠B'CM ， 又 因 为 ACB' 为 直 线 ， ∠ACD=∠B'CM,既而∠ACD=∠BCM',过C点作平面镜M的法线。因此，
入射角等于反射角的这种说法与光射向镜面沿着需时 最短的路径返回到BFra bibliotek说法是等效的。
在Ⅱ平面内，令QQ'=H1，PP=H2，Q'P'=p，Q'M=x，
则（QMP)=N1·QM+N2·MP
=
N1 H12 x2 N 2 H 22 ( p x)2
式中 ， 为Ⅰ两边媒质的折射率，取上式对x的微商，得：
d
N1 x
N 2 ( p x)
(QMP)
dx
H12 x2
H 22 ( p x)2
光 学 基 础 知 识
光学基础知识
第二章
用费马原理推导—— 几何光学的三大定律
一、几何光学的三大定律
光的直线传播定律：光在均匀媒介里沿直线传播
光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一 平面上；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角 等于入射角。
光的折射定律：光线通过两介质的界面折射时，入
至此我们全面证明了，符合费马原理的光线路径与几何光学 三个基本定律一致。
谢 谢
射光线与折射光线传播方向间关系为：N21=sinθ₁/sinθ₂
（又称为
）
二、费马原理
基于上述三大定律而建立的几何光学，还可以由一 个更为基本的原理来导出，这个原理就是费马原理。
费马原理可以表述为：光在指定的两点间 传播的实际路径，是光程最为平稳的路径。
特别是其中的“平稳”一词，有些费解。在微分学
=N1·sin i -N2·sin i' 由光程极小的条件：d(QMP)/dx=0,即得N1·sin i=N2·sin i'。 ， 分别为 入射角和折射角 因此，光的折射斯涅耳定律与光在介质界面折射时沿着需时最短的路径 传播的说法是等效的
证明光的直线传播定律
在均匀媒质中，光沿直线传播就是所需最短时间的路径。因 此光的直线传播定律与费马最短时间原理是等效的。
证明折射定律
图中的 是折射面，现在我们来研究由Q
出发经Ⅰ折射到达P的光线。作
，
。因QQ'与PP'平行，故而共面，
称此平面为 。作从Q经折射面Ⅰ上任一
点M'到P的光线QM'P。由M'作Q'P'连线的
垂线MM'，不难得出QM﹤QM'、PM﹤PM'
即光线QMP'在Ⅱ平面上的投影QMP比其 本身的光程更短，可见光程最短的路径应 该在Ⅱ平面内寻找。
中说一个函数y=f(x)在某处平稳，是指它的一阶微分
dy=0。在这里函数可以具有
、
或
。
数学表达式：
B
nds
极值
A
在一般情况下，实际光程大多是取极小值，费马
本人最初提出的也是最短光程。
为了能更好的说明费马原理，我们先大致将 其理解为最短光程，而光的速度是一定的，走过 相应光程所需要的时间也是最短的，因此费马原 理又被叫为费马最短时间原理。
证明反射定律
我们来试着求下列问题的解，在图中画了A、B两点和一平面镜M。哪 一条是在最短时间光从A碰到镜面M再返回B的路径？ 首先相对于M取B点的对称点B'，取从A到B的 任一路径ADB，由于△DBM'≌△DB'M'，因 此DB=DB',AD+DB=
显然 直线ACB'是从A到B'路径中最短的一条。所以， 过C点的线段ACB为我们要求的路径。 因 为 △ CBM≌△CBM' ， 所 以 ∠ BCM=∠B'CM ， 又 因 为 ACB' 为 直 线 ， ∠ACD=∠B'CM,既而∠ACD=∠BCM',过C点作平面镜M的法线。因此，
入射角等于反射角的这种说法与光射向镜面沿着需时 最短的路径返回到BFra bibliotek说法是等效的。
在Ⅱ平面内，令QQ'=H1，PP=H2，Q'P'=p，Q'M=x，
则（QMP)=N1·QM+N2·MP
=
N1 H12 x2 N 2 H 22 ( p x)2
式中 ， 为Ⅰ两边媒质的折射率，取上式对x的微商，得：
d
N1 x
N 2 ( p x)
(QMP)
dx
H12 x2
H 22 ( p x)2
光 学 基 础 知 识
光学基础知识
第二章
用费马原理推导—— 几何光学的三大定律
一、几何光学的三大定律
光的直线传播定律：光在均匀媒介里沿直线传播
光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一 平面上；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角 等于入射角。
光的折射定律：光线通过两介质的界面折射时，入
至此我们全面证明了，符合费马原理的光线路径与几何光学 三个基本定律一致。
谢 谢
射光线与折射光线传播方向间关系为：N21=sinθ₁/sinθ₂
（又称为
）
二、费马原理
基于上述三大定律而建立的几何光学，还可以由一 个更为基本的原理来导出，这个原理就是费马原理。
费马原理可以表述为：光在指定的两点间 传播的实际路径，是光程最为平稳的路径。
特别是其中的“平稳”一词，有些费解。在微分学
=N1·sin i -N2·sin i' 由光程极小的条件：d(QMP)/dx=0,即得N1·sin i=N2·sin i'。 ， 分别为 入射角和折射角 因此，光的折射斯涅耳定律与光在介质界面折射时沿着需时最短的路径 传播的说法是等效的
证明光的直线传播定律
在均匀媒质中，光沿直线传播就是所需最短时间的路径。因 此光的直线传播定律与费马最短时间原理是等效的。
证明折射定律
图中的 是折射面，现在我们来研究由Q
出发经Ⅰ折射到达P的光线。作
，
。因QQ'与PP'平行，故而共面，
称此平面为 。作从Q经折射面Ⅰ上任一
点M'到P的光线QM'P。由M'作Q'P'连线的
垂线MM'，不难得出QM﹤QM'、PM﹤PM'
即光线QMP'在Ⅱ平面上的投影QMP比其 本身的光程更短，可见光程最短的路径应 该在Ⅱ平面内寻找。
中说一个函数y=f(x)在某处平稳，是指它的一阶微分
dy=0。在这里函数可以具有
、
或
。
数学表达式：
B
nds
极值
A
在一般情况下，实际光程大多是取极小值，费马
本人最初提出的也是最短光程。
为了能更好的说明费马原理，我们先大致将 其理解为最短光程，而光的速度是一定的，走过 相应光程所需要的时间也是最短的，因此费马原 理又被叫为费马最短时间原理。