用费马原理推导光学三大定律
几何光学的基本定律和费马原理
主要内容一、几何光学的三个基本定律二、光路可逆原理三、全反射、光学纤维四、费马原理光线：空间的几何线。
各向同性介质中，光线即波面法线。
光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。
几何光学是关于光的唯象理论。
对于光线，是无法从物理上定义其速度的。
几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。
几何光学实验定律成立的条件：1.被研究对象的几何尺寸D远大于入射光波波长λD/ λ>>1 衍射现象不明显，定律适用。
D/ λ～1 衍射现象明显，定律不适用。
2.入射光强不太强在强光作用下可能会出现新的光学现象。
强光：几何光学的基本实验定律有一定的近似性、局限性。
一、几何光学的三个基本定律1.光的直线传播定律在真空或均匀介质中，光沿直线传播，即光线为2.光的独立传播定律自不同方向或由不同物体发出的光线在空间相交后，对每一光线的独立传播3.光的反射和折射定律3.1 反射定律G 3.2 折射定律入射面n光线在梯度折射率介质中的弯曲nn 5n 1n 3n 2n 4n 6海市蜃楼：沙漠中海面上光线在梯度折射率介质中的弯曲二、光路可逆原理在弱光及线性条件下，当光的传播方向逆转时，•光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q三、全反射、光学纤维1.全反射原理。
继续增大入射角，，而是按反射定律确定的方向全部反射。
全反射的应用：增大视场角毛玻璃r rr2.光纤的基本结构特性(1)光纤的几何结构光纤的几何结构(2)光纤分类①按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。
(3)光纤的传光条件i cn 0n 2n 1(4)光纤的数值孔径四、费马原理物质运动的趋势：达到一种平衡状态或极值状态费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间取极值。
1说明：费马原理是光线光学的理论基础。
① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
用费马原理导出光的反射定律和折射定律兰林
用费马原理导出光的反射定律和折射定律(内江师范学院工程技术学院2012级1班兰林20120341045)［摘要］以费马原理为基础，用极值条件和方程有解条件导出光在两种均匀介质分界面处的反射定律，并证明了光在反射和折射过程中，其实际光程取的是极小值.关键词:费马原理;反射定律;折射定律;光程;极小值几何光学是以光的直线传播定律、反射定律和折射定律为基础建立起来的，引入光程概念后，上述三定律就可用费马原理来概括，并由它导出.光的直线传播定律、反射定律和折射定律、独立传播原理是几何光学的基本原理，能够很好地解释光在传播过程中发生的物理现象.费马原理与光的直线传播定律、反射定律和折射定律具有同等重要的意义，可以说后者是前者的必然结果，即由费马原理可推出光的直线传播定律、反射定律和折射定律.反射定律:(1)反射光线位于入射光线和法线构成的平面内；(2) 反射光线和入射光线分居发现两侧；(3) 反射角等于入射角，即「= i折射定律:(1)折射光线、入射光线和法线在同一平面内；(2) 折射光线和入射光线分别位于法线的两侧；(3) 光从光疏介质到光密介质时折射角小于入射角。
费马原理：光在指定的两点间传播，实际光程是一个极值.光在均匀介质中的直线传播、在两种不同介质分界面处发生反射和折射，实际光程取极小值.即B［nds =极值(极小值、极大值或恒定值) (1)A证明如图1所示，设xoy平面是两均匀介质厲和n2的分界面，光线由介质1中指定的A点经界面反射后到达介质1中指定的B点.为确定实际光线的路径，过A、B两点作xoy平面垂直于界面，x轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点就可用费马原理来确定•首先证明共面，即折射点在交线x上轴•设A、B、C三点的坐标分别为A（x「y ,O）,B（X2, y2,0）,C（x,0,z）.A、B 间光程为L = n 1 • n 2（2）其中h二.y i2 * x -X i $ • z21 = . y?2• X2 - x $ • z2，光程取极值，要求上式对x和z的一阶导数为零.于是得已njx-xj n i x-x）n i l「nl i 2 1 1 1-0 ⑶x l1l2n1l1 n1l2 = = 0 ⑷:z l1l2只有当z =0时，4式才成立，所以C点应位于x轴上•即反射光线位于入射光线和法线构成的平面内.于是有其中：h = J y j +4-捲f ,l2 = J y22+（x2— x）2其次，证明异侧.由3式知，方程的解为：捲=x = x2或为：：：x x2若x—x=X2,则A、B两点连线垂直与界面，入射光线、法线和反射光线三线合一；若x i :：: X X2则入射光线和折射光线分别位于法线两侧.最后，证明i =i ,由图1易知：-x工二sin i,上邑二sin「（5）l l 12代入3中，即得sin i'sini，在反射角和入射角的定义范围内可得i'i,即反射角等于入射角.到此我们证明了反射定律符合费马原理中的光程取极值，但未证明取极小值.如图2所示,A、B为空间中指定的两点，CC ■为入射面与分界面交线.A,、B1分别为A、B 在交线上的垂足.为证明反射定律光程取极小值，我们假设在分界面上存在两个折射点 C 和CC ,前者遵循反射定律，后者不遵循反射定律；过CC •作入射光线AC的平行线DC和反射光线C的垂线，同时分别过A和C分别作平行线DC的垂线AE和CF .在RtL|G C C和RtU F C中因为. G CC F且CC为公共边，所以有F C =G C (6)同时在RtLlGBC、Rt_EAC中，存在B C • G B (7)AC EC (8)设路径ABC的光程为L ABC，对应地光沿此路径从A传播到B所用时间为t,与另一路和仁于是有径AC B对应的相应物理量分别为LAC BAC CBt =(9)11AC C B EC F C C G G Bt 二n n n n-(10)-1-1 -1将(7)代入上式有丄EC— GB “八t = m 门！(11)EC GB AC BC . …、取终的t = m n2 口n2 t ( 12) q q q p即t ::t.根据光程定义L=nI二ct,得L ACB J ACB.至此，我们不但证明了反射定律符合费马原理取极值的条件，而且证明了光程取的是极小值.图1 光的折射路线图对于折射如图1所示，设xoy 平面是两均匀介质m 和压的分界面，光线由介质1中指定 的A 点经界面折射到达介质2中指定的B 点.为确定实际光线的路径，通过A 、B 两点作 xoy 平面垂直于界面,x 轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点 C 就 可用费马原理来确定.首先证明共面，即折射点在交线x 轴上.设A B 、C 三点的坐标分别为 A (x u y i ,0), B (X 2, y 2,0),C (x,0, z). A 、B 间光程为 L = n 1+ n 2其中h — %2 • x -%• z 2」2二，y ?2• X 2 - x $ • z 2，光程取极值，要求上式对x 和z 的一阶导数为零.于是得一 n 1l 1 n 1l 2 二 吨 呼=0(15)-z11 12图2 光的实际折射路线图(13)—nj i ' n h .x口 x-X ! n M -X 2 2 =l l 12=0(14)只有当z=0时，15式才成立,所以C点应位于x轴上.于是C点变成C点,相应的坐标为C (x,0,0),于是图1简化为图2.结论:折射光线、法线和入射光线位于同一平面内•其次，证明异侧.由式(14)知，方程的解为= x = x2或x, ：：：x x2若x, =x=X2,则A、B两点连线垂直于界面，入射光线、法线和折射光线三线合一；若X, X ：：: X2，则入射光线和折射光线分别位于法线两侧•结论:折射光线和入射光线分居法线异侧•最后证明n, sini, = n2sin i2.由图2易知X -为 ..X2 —xsini,, sini2l, I2代入式⑴即得r, si ni, = n2 si ni2.其中I, = y,2亠iX -x ? ,|2=、J y22亠i x2 -x 2结论:入射角的正弦与入射光线所在介质折射率之积等于折射角的正弦与折射光线所在介质折射率之积•参考文献：⑴赵凯华，钟锡华•光学[M].北京:北京大学出版社[2] 姚启均.光学教程[M].北京:高等教育出版社[3] 王筱生，包仁，朱涵如.光学[M].上海:上海科技大学出版社[4] 王权.费马原理证明光的折射定律的一种方法[J].潍坊教育学院学报(自然科学版)。
光学费马原理推出反射定律和折射定律
光学费马原理推出反射定律和折射定律光学费马原理是光学理论中的基本原理之一，由法国物理学家皮埃尔·德·费马提出。
该原理用来描述光在传播过程中的路径，为研究光的反射和折射现象提供了重要依据。
通过运用光学费马原理，我们可以推导出光的反射定律和折射定律，从而深入理解和解释这些现象的本质。
本文将通过阐述光学费马原理的基本思想和推导过程，逐步推导出反射定律和折射定律的表达式，并加以解释和应用。
希望通过本文的介绍，读者能够对光的传播和折射现象有更深入的了解。
在开始推导之前，我们先对光学费马原理进行简要介绍。
光学费马原理的核心思想是“光在传播过程中所经过的路径，对应的光程是极值”。
这里的光程是指光线在传播过程中所经过的距离乘以介质的折射率。
根据这个原理，光线在传播过程中会选择光程极值的路径，也就是所谓的费马路径。
接下来，我们以光的反射现象为例，推导出反射定律。
假设有一束光线从一介质中射向另一介质的界面。
根据光学费马原理，光线在传播过程中会选择光程极值的路径。
我们可以设想在界面上有一个假想的点光源，发出的光线经过反射后和真实的光线重合。
由于光程极值的路径是使得传播时间取极值的路径，我们可以认为光线传播的时间在反射之前和反射之后是相等的。
根据这个思路，我们可以得到如下的推导过程。
设光线从介质1入射到介质2，光线的入射角为θ1，反射角为θ2。
根据光的传播速度和路径的关系，我们可以得到光线传播时间的表达式：t = l1 / v1 + l2 / v2其中，l1和l2分别为光线在介质1和介质2中的传播距离，v1和v2分别为介质1和介质2中的光速。
由于光线的传播时间在反射前后是相等的，我们可以得到如下的等式：l1 / v1 + l2 / v2 = l1' / v1' + l2' / v2'其中，l1'和l2'分别为反射光线在介质1和介质2中的传播距离，v1'和v2'分别为介质1和介质2中的光速。
费马原理介绍
费马原理介绍分概念，可以理解为一阶导数为零，费马原理它可以是极大值、极小值甚至是拐点。
费马原理是几何光学的基本定理。
用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律:1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射，入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律(斯涅尔定律)。
最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，目录可以有无数条路径，所有这些路径的光线传播时间都相等。
[隐藏] 概述费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。
对于某些1 概述状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，[2] 而是最大值，或甚至是拐值。
2 光的反射2.1 平面反射2.2 半球面反射3 光的折射4 运动学5 参阅光线从点Q传播至点O时，会被半6 参考文献圆形或混合形镜子反射，最终抵达点P。
费马原理(Fermat principle)最早由, 平面镜:任意两点的反射路径光程是最小法国科学家皮埃尔?德?费马在1662值。
年提出，又名“最短时间原理”:光, 半椭圆形镜子:其两个焦点的光线反射路径[1]不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小线传播的路径是需时最少的路径。
值。
费马原理更正确的称谓应是“平稳时, 半圆形镜子:其两个端点Q、P的反射路径间原理”:光沿着所需时间为平稳的光程是最大值。
路径传播。
所谓的平稳是数学上的微, 如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平取光程对的导数，令其为零: 面镜组合而成的镜子，同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。
[编辑]光的反射[编辑]平面反射。
光从P点出发射向x点，反射到Q点。
但其中。
即这就是反射定律设l =30图示反射光程随 X 的变化，当x= 15 时，显然光程最短。
光在平面上的反射平面反射的光程半球面反射P 点到 x点的距离Q 点到 x 点的距离从点P到点Q的光程 D 为光线从点Q传播至点O时，会被半圆形镜子反射，最终抵达点P。
高校物理强基计划讲义-几何光学(带答案详解)
1 费马原理
1.1 光程与光程差
光程是指在均匀介质中，光行径的几何路径的长度 s 与光在该介质中的折射率 n 的乘积，用 ∆ 表示，即：
∆ = ns
(1)
两条光线光程的差值叫做光程差。光程的重要性在于确定光的相位，相位决定光的干涉和衍射行为。 费马原理最早由法国科学家皮埃尔·德·费马在 1662 年提出：光传播的路径是光程取极值的路
其值取决于相邻介质折射率的比值：
ic
=
arcsin
n2 n1
(16)
光导纤维就是利用了全反射这一原理，由于反射时没有光线的损失，因此信号可以传输到极远的距
离，广泛应用于内视镜及电信上。海市蜃楼亦是由此一原理所生成，光线从较密的介质（冷空气）
进入到较疏的介质（近地面的热空气）。
1.5 棱镜
棱镜是一种常见的光学元件，它的主要用途有两种：作为色散元件和利用光在棱镜内的全发射 来改变光束的方向，即转向元件。
(14)
dx
v1
v2
将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到菲涅尔定律：
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(15)
1.4 全反射
全反射，是一种光学现象。当光线经过两个不同折射率的介质时，部分的光线会于介质的界面 被折射，其余的则被反射。但是，当入射角比临界角大时（光线远离法线），光线会停止进入另一界 面。
径。这个极值可能是最大值、最小值，甚至是函数的拐点。最初提出时，又名“最短时间原理”：光 线传播的路径是需时最少的路径。
费马原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从费马原理导出以下三个几何光学定律：
1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射，入射角必须等于出射角。
高二物理竞赛费马原理与三个实验定律课件
解出：
r
1 nr0
n
1 n
1r0
1 n cos 1 n cos
是一条二次曲线，曲面是旋转双曲面。
壮在志回与 转毅椭力球是面事上业一的点双作翼相。切的平面和球面，则
强经行球者 面有反志射。的光线中，实际光线光程最大。
人回不转可 抛以物有面傲焦气点，发但出不的可光以，无反傲射骨后变为平行光，会聚在无穷远处，光程为极大值。
学非做等任 光何程事得不按成部像就，班，急不得。
成回功转往 抛往物偏面向焦于点有发准出备的的光人，反射后变为平行光，会聚在无穷远处，光程为极大值。
1、费马原理与三个实验定律 1、光在均匀介质中直线传播
2、反射定律
要点：反射光线在 入射面，反射角等 于入射角，光程最 短。
Q M
Q’
P M’ M”
3、折射定律 y Q(x1, y1) A
n1
i1 M(x, 0)
x
n2
i2
B
P(x2,y2)
(1)折射光线在入射面内，方法和反射定律推导一样。
(2)入射角和折射角的关系；
有费志马的 原人理战是天几斗何地光，学无的志理的论人基怨础天，恨几地何。光学使用限度也是费马原理的使用限度。
严格成像， 近似成像， 不成像，
评述费马原理
费马原理的使用限度：
费马原理是几何光学的理论基础，几何光学使用限度 也是费马原理的使用限度。
费马原理在物理学发展史上的贡献：
开创了以“路径积分，变分原理”表述物理规律的新 思维方式。 （理论力学—最小作用原理或哈密顿原理和费马原理 有相同的数学表达式。）
（理论力学—最小作用原理或哈密顿原理和费马原理有相同的数学表达式。
(1)折射光线在入射面内，方法和反射定律推导一样。
Fermat 原理
Fermat 原理关于光的传播，可用费马原理概括。
1．光程：折射率×光所经过的路程，即n×S，n：折射率，或光学常数；S：沿光的路径的距离。
2．费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。
(1679年）平稳：极值（极大、极小）或恒定值.在数学上，用变分表示为原理，不是建立在实验基础上的定律，也不是从数学上导出的定理，而是一个最基本的假设，是一切理论的出发点。
一切定理和定律都建立在它的基础之上，即原理是一切理论体系的出发点。
Fermat 原理不是定理，也不是定律，它是最基本的假设。
3．由Fermat原理导出几何光学的实验定律（1）光的直线传播定律在均匀媒质中，两点间光程最短的路径是直线。
（2）光的反射定律Q，P两点在反射面的同一侧。
P'是P点关于面的对称点。
P，Q，O'三点确定平面P。
直线QP'与反射面交于O点。
则易知QO+OP为光程最短的路径。
（3）光的折射定律Q、P分别在介质1和介质2中，分界面为。
从Q、P两点分别向面做垂线,垂足为Q'和P'，则平行线QQ'和PP'可以确定一个平面P。
在P上，O'为两平面交线Q'P'外任一点，从O'向Q'P'做垂线，垂足为O。
则由Q到P的路径中，过O'点的总比过O点的要大。
即实际路径一定在平面P中。
光程取微商，即得折射定律。
4．物像之间的等光程性由Fermat原理，物点Q与像点Q'之间的光程总是平稳的，即不管光线经何路径，凡是Q通过同样的光学系统到达Q'的光线，都是等光程的。
费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律
费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。
例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。
如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。
此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
一平凸透镜的折射率为 n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。
在透镜外主光轴上取一点 F ， OF f （图 1-3-8 ）。
当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于 F 点。
试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（ 2）透镜顶点 A与点 O相距多少？（ 3）对透镜的孔径 R有何限制？解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于 F 的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线 BF 与任一条光线 NM F 的光程应相等。
由此可以确定凸面的方程。
其余问题亦可迎刃而解。
（1）取 o xy 坐标系如图，由光线 BF 和 NM F 的等光程性，得2 2 2 2nx ( f x) y f R整理后，得到任一点 M（x，y）的坐标 x，y 应满足的方程为1 ( ) 1 ( 1)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n nf f R y n n f R f n x 令 1 2 2 2 0 n n f R f x ， 1 2 2 2 n nf f R a，则上式成为2 2 2 0 2 (n 1)(x x ) y a这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。
（2）透镜顶点 A的位置应满足2 2 0 2 (n 1)( xA x ) axyBAM（x，y）nRf ′ F′ 图 1-3-8或者 1 1 2 2 2 n f R f n a x A x O可见，对于一定的 n 和 f ， xA 由 R决定。
由费马原理证明光的折射定律和反射定律
由费马原理证明光的折射定律和反射定律费马原理也称费马理论，是说光线从一点射入另一点的路径，其实际路径是光程时间的驻定值。
也就是说在介质分界面上，光线从一点射入另一点，其路径是光程时间取极小值或极大值。
费马原理可以用来推导光的折射定律和反射定律。
首先，让我们来证明光的折射定律。
光的折射定律指出，光线从一种介质射入另一种介质时，折射角和入射角之间的关系由折射率决定。
费马原理可以通过求解光程时间的极值来推导这一定律。
考虑光线从一种介质射入另一种介质的情况。
设入射介质的折射率为n1，出射介质的折射率为n2。
设光线在入射介质内的传播速度为v1，在出射介质内的传播速度为v2。
我们可以根据费马原理来求解光程时间的极值。
设入射光线和出射光线的路径分别为AB和BC，入射角为θ1，折射角为θ2。
那么根据费马原理，光线的实际路径使得光程时间取极小值。
这意味着，对于给定的入射角θ1，出射角θ2应该使得光程时间取极小值。
为了求解光程时间的极小值，我们可以通过数学方法来进行推导。
根据光的波动性质，光线传播的路径可以用光程L和波长λ来描述。
入射光线的光程为L1=n1AB，出射光线的光程为L2=n2BC。
因此，光程时间可以表示为T=L1/v1+L2/v2=n1AB/v1+n2BC/v2。
然后我们求解T对θ2的导数为零的条件，即∂T/∂θ2=0。
这样可以得到折射定律，即入射角θ1、出射角θ2与介质的折射率n1和n2之间存在的关系。
经过推导，我们可以得到正弦定律，即n1sinθ1=n2sinθ2。
这就是光的折射定律，是由费马原理推导出来的。
接下来，让我们来证明光的反射定律。
光的反射定律指出，入射角和反射角之间的关系是相等的。
同样地，我们可以利用费马原理来推导这一定律。
设光线从一种介质射入另一种介质时，入射角为θ1，反射角为θr。
根据费马原理，光线的实际路径使得光程时间取极小值。
这意味着，对于给定的入射角θ1，反射角θr应该使得光程时间取极小值。
应用光学第1章2
作业：
13页：2，3，4
1.2成像的基本概念与完善像
一.光学系统与成像概念
二.完善成像条件
1. 透镜对波面的作用与透镜成像
2. 透镜对光线的作用与透镜成像
如果P点成像于P′点，则P点到P′点之间的光程是相等的
P点发出的球面波经透镜变换成了另一个球面波，既然光从一个波 面传播到另一个波面所需的是同一个时间，则意味着波面之间的 光程是相等的，而P点到入射球面波波面上各点的光程是相等的， 因为它就是入射球面波的球心，同理出射球面波波面上各点到P′ 点的光程也是相等的，所以物点P到像点P′之间是等光程的。
在光线的实际路径上，光程的变分为0。
光程的意义： 光程的意义：
光在某介质中走过一段几何路程所需的时 间内，光在真空中所走的路程就是光程， 简言之，光程是等效真空程 。
由费马原理推导折射定律 证明： 证明：
（1）作图
∑
Q h i1 1
Q'
n1
M
x
M
Π
'
p−x
P'
（2）入射面上的光程最 小
Π
h2
n2
Q h1 i1
n1
Mp− xP'
∑
Q'
x
M'
h2
由光程取极小值条件 d(QMP) / dx = 0 即得
n2
Π
i2
P
n1 sin i1 = n2 sin i2
由费马原理推导折射定律
由费马原理推导反射定律
3. 费马原理的启迪
费马原理对于物理学的发展起过重要的推动作用，它 表明关于光的传播规律还存在另外一种表述形式，它 摆脱了光传播有如反射、折射、入射面、入射角、反 射角等的一些细节，而是指明实际光线是各种可能的 光线中满足某个条件，即光程取极值的那一条。由于 它比较抽象和含蓄，因而概括的面也就更广阔，这一 点曾启发物理学家探索物理规律的其他形式，于是找 到了被称之为最小作用原理(哈密顿变分原理)，它可表 述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取 极值。
反射定律和折射定律的证明
光线APB的光程为：
S = nR1 + n' R2
根据费马原理，P点应在使光线APB的光程为极值的位置，即求： z A(x1,0,z1) n R1 折射面 O y n’ P(x,y,0) R2 B(x2,0,z2) x
(nR1 + n' R2 ) = 0 y
(nR1 + n' R2 ) = 0 x
由前一式，得：
n y y + n' =0 R1 R2
y=0
上式意味着折射发生在垂直于折射面的平面 内，入射线、法线、折射线在同一平面内。 再设入射角为i、折射角为i’，则由后一式， 可得：
n
x x1 x x2 + n' =0 R1 R2
而同时
sin i =
z
x x1 R1
sin i ' =
x2 x R2
综合上三式 ，有：
A i n n’ R1 O x-x1 i x2-x P i’ R2 B x
sin i ' n = sin i n'
此即为折射定律第二条，折射角 的正弦与入射角的正弦之比与入 射角的大小无关，仅由两种介质 的折射率决定。
z1 + ( x x1 ) 2 + y 2 + z 2 + ( x x2 ) 2 + y 2
2 2
P(x,y,0)
根据费马原理，P点应在使光线的光程 为极值的位置，微积分上即是求：
n( R1 + R2 ) = 0 y
n( R1 + R2 ) = 0 x
将R1+R2代入上面第一式，得：
y y n( R1 + R2 ) = n( + ) = 0 y R1 R2
费马定理介绍
费马定理费马原理是光学中最为基础的原理，它在物理学发展的历程中有着至关重要的作用。
它用一种新的看法将几何光学的三个基本实验定律（光的反射定律和折射定律、光的独立传播定律光的直线传播定律直线传播）进行统一，并表述了三者的联系。
通过研究几何光学问题，能彰显出费马定理的重要性，能更加系统化光学理论。
可见通过费马原理推导上述三个基本实验定律，能使我们更加系统的理解光学理论，这对广大学者都有着不可或缺的意义。
费马原理的直观表达:光从空间的一点到另一点的实际路径是沿着光程为极值的路径传播的。
或者说, 光沿着光程为极大、极小或者常量的路径传播。
光线从Q 点传播到P 点所需的总时间：⎰∑∑=∆=∆===ndl ct l n c v l t PQ i i i i i i 1111费马原理：在所有可能的光传播路径中，实际路径所需的时间 取极值。
⎰==01ndl ct P Q δδ 在光传播的所有可能存在的路径中，其实际路径所对应的光程取极致。
⎰==0ndl L P Qδδ① 直线传播定律：两点间的所有可能连线中，线段最短——光程取极小值。
② 内椭球面的反射： 椭球面上任一点到两个焦点连线的角平分线即过该点()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=222221x a H x H n OBn AO n L +=的面法线，且两线段长度之和相等。
用费马原理导出反射定律如下图， PQ 为两个介质间的平面反射镜,从A 点发射出的光线照射到PQ 平面上的O 点，经过反射到达B 点。
假设光线所处的介质为均匀介质。
光线的透射点O 到A 点与反射平面垂足P 的长度为x 。
那么点A 到点B 的光程为：很明显，光程L 是关于变量x 的函数，由费马原理分析，真实的光程是固定的，在均匀介质中的一阶导数是0，即()()0222221=-+--+=x a H x a n xH nx dxdL即有()I n I n -sin sin =即I I -=反射定律由上面推导出来了。
费马原理证明反射定律和折射定律
费马原理证明反射定律和折射定律1. 费马原理大揭秘嘿，小伙伴们！你有没有过这样的经历：你在湖边玩耍，不小心把一个石头扔进水里，哇！石头溅起的水花飞溅而出，你瞪大眼睛想，哎呀，这水花飞到哪儿去了呢？其实，费马原理就像是自然界的魔法指南，告诉我们光和其他东西如何最“省心”地走路。
好啦，接下来咱们就聊聊费马原理的故事。
费马原理，听起来是不是有点拗口？别急，其实它挺简单的。
这个原理说的是，光在传播的时候，总是选择一条时间最短的路径。
就好像你跑步去上学，肯定选择最快的路一样，光也在选择它的“捷径”。
这也就是为什么光在不同介质（比如空气和水）中，行进的速度不一样了。
2. 反射定律的揭示2.1 光的反射原理说到反射定律，咱们得聊聊镜子。
记得小时候，你是不是总喜欢在镜子面前摆弄发型，瞅瞅自己帅气的模样？镜子里看到的你，真的是完美吗？不完全是哦，镜子里光的反射可是有讲究的。
反射定律告诉我们，光线打到镜子上的角度（入射角），和光线从镜子里反射回来的角度（反射角）是一样的。
所以，假如你用手电筒对着镜子照，光线照到镜子上就会反射回来，反射的角度和你手电筒照过去的角度一模一样。
这就像是你打篮球时，球打到篮筐上的角度，球反弹回来的角度也差不多一样，只不过篮球没有镜子那么“规矩”。
2.2 费马原理如何解释反射这里就有意思了，费马原理如何解释这个反射现象呢？其实，费马原理告诉我们，光在反射时也会选择一条时间最短的路径。
简单来说，光从你眼睛里出来，打到镜子上，再反射回来，这一切都是为了减少光行进的总时间。
这就像是你走路去超市买菜，为了省时，你会选择最快的路线，而不是绕路。
3. 折射定律的奥秘3.1 光的折射原理好了，接下来我们聊聊折射。
你有没有注意到，当你把一根吸管放进水里，它看起来好像弯了？这就是折射的效果。
折射发生在光线穿过不同介质的时候，比如从空气到水里。
这时候，光的传播速度会改变，导致光线方向发生改变。
想象一下，你的吸管在水里的那一部分，就好像光线在水中的“新路线”。
费马定律解释
费马定律解释费马定律是光学中重要的基本定律之一，它描述了光在传播过程中的行为。
以下是费马定律的详细解释和各个方面：1. 光的传播定律光的传播定律是指光在传播过程中所遵循的规律。
根据这个定律，光在传播过程中总是沿着最短的路径前进，除非遇到障碍物或介质不均匀。
这意味着光总是遵循最快的路径到达目的地。
2. 最小作用量原理最小作用量原理是费马定律的核心思想。
这个原理认为，在给定的时间内，光沿着所需时间最短的路径传播，以使总作用量最小。
这个作用量是由光在介质中传播时的能量和时间决定的。
3. 干涉现象和衍射现象干涉现象是指两个或多个波源的波的叠加，当波的相位相同或相反时，会出现明暗相间的条纹。
衍射现象是指波绕过障碍物传播的现象，这使得波的传播路径更加复杂。
费马定律解释了这些现象背后的原理，即光总是沿着最短的路径传播，但在遇到障碍物或介质不均匀时，会绕过它们继续传播。
4. 光的本性和光速不变原理光的本性是电磁波，它以光速在真空中传播。
光速不变原理是指光在真空中的速度恒定不变，与观察者的参考系无关。
这个原理是相对论的基础之一，也是费马定律的重要基础。
5. 相对论和量子力学对费马定律的诠释相对论和量子力学是现代物理学的两大支柱。
相对论对时间的概念进行了重新定义，认为时间不再是绝对的，而是与参考系的选择有关。
量子力学则描述了微观粒子在空间和时间上的行为。
在相对论和量子力学的框架下，费马定律仍然成立，但需要考虑到时空的弯曲和量子效应的影响。
6. 费马定律与几何光学基本定律的关系几何光学是光学的一个分支，主要研究光线在物体表面的反射和折射现象。
费马定律与几何光学基本定律之间存在密切的联系。
几何光学的基本定律可以看作是费马定律在不同情况下的具体应用。
例如，反射定律和折射定律可以解释为光在遇到不同介质表面时的行为，而像差和色差等效应也可以用费马定律来解释。
7. 费马定律与薛定谔方程的关系薛定谔方程是描述量子力学中粒子行为的偏微分方程。
费马原理与几何光学基本实验定律
费马原理与几何光学基本实验定律费马原理（Fermat’sPrinciple）是17世纪法国数学家费马提出的有关光路线反射和折射的基本原理，它可以完全描述该过程的物理规律。
此原理同时提供了对光或电磁波性质的定量分析，并且可以用来推导几何光学的基本实验定律。
费马原理的主要内容是：“在任何路径条件下，光的传播时间总是最短的，即光总是走最短路径。
”这一原理是建立在光完全反射和折射后仍保持它原有的性质这一假设下的。
由此定理可知，光沿最短路径传播时，在其折射和反射中，任何物理现象都不能改变光本身的速度或能量。
这就是费马原理的整体观点。
在几何光学中，费马原理可以被用来推导一些基本实验定律。
这些定律包括如：光的几何反射定律、几何折射定律、双折射定律、spectacle定律等。
几何反射定律是光反射最基本的定律。
它规定，任何光线从介质表面反射，其反射角应等于入射角，即“入射角等于反射角”，简记为“入=反”，也称为反射定律。
几何折射定律是指光线从一种介质转入另一种介质，其入射角和折射角之间的关系：“入射角大体等于折射角”，简记为“入等于折”，也称作折射定律。
双折射定律是光从至少两种不同的介质中折射的定律，它的基本思想是：由两个介质折射的光线，从这两种介质中入射的光线，在所有可能情况下都与由另一种介质中出射的光线形成同一波面。
双折射定律由费马原理推导而来，由新加坡著名物理学家赫伯特博内特提出，也是几何光学中最重要的定律之一。
有趣的是，费马原理作为17世纪提出的一种理论，它仍然在今天发挥着重要的作用，成为几何光学基本实验定律的基础。
掌握了费马原理的原理和推导，不仅可以用来理解光的散射、折射和反射的物理原理，而且可以用来阐明与几何光学有关的基本实验定律。
它们不仅是给几何光学提供了重要的理论基础，也是给许多其他领域的物理现象提供理论依据的基础。
几何光学的基本定律和费马原理
光传播的可逆性
• 光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的 反射和折射光将沿原来的入射光的方向。 如果物点 Q 发出的光线经光学系统后在 Q’ 点成像， 则Q’点发出的光线经同一系统后必然会在 Q点成像。 即物像之间是共轭的。
Q
Q ’
三、全反射、光学纤维
1.全反射原理
全反射：当入射角i1增大到某一值ic时，折射角i2=90o。继续增大入射角， 则光线不再进入介质2，而是按反射定律确定的方向全部反射。 全反射临界角： 全反射的条件：
48.6
o
48.6
o
鱼眼在水中的视场
水中的针孔成像
2.光纤的基本结构特性
(1) 光纤的几何结构
光纤：能够导光的圆柱型玻璃或塑料纤维
几何结构：一般由纤芯和包层两部分构成
z
纤芯
n1
n2
包层
光纤的几何结构
(2) 光纤分类
① 按纤芯介质分：均匀光纤，非均匀光纤。 ② 按传输特性分：单模光纤，多模光纤。
n
说明：单模光纤中各层介质
折射率均匀分布，多模光纤 各层介质折射率可以是均匀 分布（阶跃型），也可以是 纤芯介质折射率呈渐变分布 （梯度折射率型）。
n n
a 阶跃型单模光纤
b 阶跃型多模光纤
c 梯度折射率型光纤
三种主要光纤类型的折射率分布及传光特性
(3) 光纤的传光条件
传光条件：光线在纤芯与包层分界面处的入射角为i1应满足全反射条件
d (QOP) n1 x n2 ( p x) n1 sin i1 n2 sin i2 0 2 2 dx h1 x 2 h2 ( p x) 2
④物像之间的等光程性：
物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳的，即不管光线经何 路径，凡是由Q通过同样的光学系统到达Q’的光线，都是 等光程的。
费马原理及其在几何光学中的应用
费马原理及其在几何光学中的应用作者：汪子轩来源：《文理导航·教育研究与实践》 2018年第7期【摘要】费马原理是几何光学的基本原理，利用该原理可以导出几何光学三定律（直线传播定律、反射定律、折射定律），从而原则上能够得到几何光学的所有结论。
本文将介绍费马原理的内容，并利用费马原理推导几何光学三定律和圆锥曲线（抛物线、椭圆曲线、双曲线）成像规律。
【关键词】费马原理；几何光学三定律；圆锥曲线费马原理由费马提出，经后世改进，成为几何光学的基本原理，其内容为光在A、B两点之间的传播路径是光程取平稳值的那条曲线，其数学表达式为利用费马原理可以推导出几何光学中的三大定律，并在处理透镜成像、变折射率介质等问题中具有重要的用处。
原则上，费马原理可以用来解决几何光学中的所有问题，利用费马原理解释圆锥曲线的成像规律也是这些问题之一，将会在本文中得到处理，这为理解费马原理提供了一个很好的例子。
一尧费马原理费马最初提出的原理表述为：光线的实际路径是传播时间最短的路径。
后来人们认识到这个表述并不在一般情形中成立，现代版本的费马原理表述为光线的传播路径是光程取平稳值的那条曲线，也即光程的变分为零，dl=0，其中W是光程。
这意味着，和光的实际传播路径相比，其附近曲线的光程可能大于，小于或等于实际路径的光程。
光实际是一种电磁波，光的波动力学最早由惠更斯提出，他提出了惠更斯原理，解释了几何光学的三定律。
费马原理虽然最早是费马独立于惠更斯原理提出来的，但在随后的科学发展中，人们认识到，能够利用惠更斯原理从数学上导出费马原理。
尽管如此，费马原理在科技史上的地位依旧非常重要，它直接影响了后来力学中的最小作用量原理，并且是哈密顿量光学的基本原理。
四、结束语费马原理的高度概括性体现了物理学基本原理的美学特征，它是几何光学的最基本的原理，在很多光学问题中应用广泛。
相比于直接使用几何光学三定律，利用费马原理获取几何光学的一些规律通常简单有效，因此需要引起我们的重视。
几何光学定律及惠更斯费马原理
5) 耐火 耐腐蚀 可用在许多恶劣环境下
6) 资源丰富 价格低
色散
同一种介质对不同波长的光具有不同的折射 率的现象称为色散,即折射率n与光波长l有关。
折射率与那些因素有关： 不同介质 同一介质对于不同波长
正常色散:
nl a b
l
2
随波长l的增加，折射率n下降。
石英的色散曲线
由于A1C1 = AnBn = v1tn
AC1Bn B n An A1 1
i1 An A1Bn C1Bn A1 i1 '
反射定律
i2 D1Bn A1
An Bn sin i1 A1 Bn
i2
A1 D1 sin i2 A1 Bn
折射定律
An Bn v1tn sin i1 v1 const sin i2 v2tn v2 A D1 1
折射率：n
G
棱镜最小偏向角：偏向角 随入射角i的改变中，对于 某一i值，偏向角有最小值m 。
棱镜最小偏向角
光在主截面中的折射
D i1
i2
i2’
i1’
折射率：n
G
可证(略)，在
i1 i1 ' 或 i2=i2’时偏向角取极值：
i2 / 2
2i2 m 2i1
棱镜最小偏向角
棱镜偏向角：光线在棱镜中经历两次折射后传播 方向的变化
(i1 i2 ) (i1 ' i2 ') (i1 i1 ') (i2 i2 ')
(i2 i2 ')
D
光在主截面中的折射
i1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明反射定律
我们来试着求下列问题的解，在图中画了A、B两点和一平面镜M。哪 一条是在最短时间光从A碰到镜面M再返回B的路径？ 首先相对于M取B点的对称点B'，取从A到B的 任一路径ADB，由于△DBM'≌△DB'M'，因 此DB=DB',AD+DB=
显然 直线ACB'是从A到B'路径中最短的一条。所以， 过C点的线段ACB为我们要求的路径。 因 为 △ CBM≌△CBM' ， 所 以 ∠ BCM=∠B'CM ， 又 因 为 ACB' 为 直 线 ， ∠ACD=∠B'CM,既而∠ACD=∠BCM',过C点作平面镜M的法线。因此，
入射角等于反射角的这种说法与光射向镜面沿着需时 最短的路径返回到BFra bibliotek说法是等效的。
在Ⅱ平面内，令QQ'=H1，PP=H2，Q'P'=p，Q'M=x，
则（QMP)=N1·QM+N2·MP
=
N1 H12 x2 N 2 H 22 ( p x)2
式中 ， 为Ⅰ两边媒质的折射率，取上式对x的微商，得：
d
N1 x
N 2 ( p x)
(QMP)
dx
H12 x2
H 22 ( p x)2
光 学 基 础 知 识
光学基础知识
第二章
用费马原理推导—— 几何光学的三大定律
一、几何光学的三大定律
光的直线传播定律：光在均匀媒介里沿直线传播
光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一 平面上；反射光线和入射光线分居法线的两侧；反射角 等于入射角。
光的折射定律：光线通过两介质的界面折射时，入
至此我们全面证明了，符合费马原理的光线路径与几何光学 三个基本定律一致。
谢 谢
射光线与折射光线传播方向间关系为：N21=sinθ₁/sinθ₂
（又称为
）
二、费马原理
基于上述三大定律而建立的几何光学，还可以由一 个更为基本的原理来导出，这个原理就是费马原理。
费马原理可以表述为：光在指定的两点间 传播的实际路径，是光程最为平稳的路径。
特别是其中的“平稳”一词，有些费解。在微分学
=N1·sin i -N2·sin i' 由光程极小的条件：d(QMP)/dx=0,即得N1·sin i=N2·sin i'。 ， 分别为 入射角和折射角 因此，光的折射斯涅耳定律与光在介质界面折射时沿着需时最短的路径 传播的说法是等效的
证明光的直线传播定律
在均匀媒质中，光沿直线传播就是所需最短时间的路径。因 此光的直线传播定律与费马最短时间原理是等效的。
证明折射定律
图中的 是折射面，现在我们来研究由Q
出发经Ⅰ折射到达P的光线。作
，
。因QQ'与PP'平行，故而共面，
称此平面为 。作从Q经折射面Ⅰ上任一
点M'到P的光线QM'P。由M'作Q'P'连线的
垂线MM'，不难得出QM﹤QM'、PM﹤PM'
即光线QMP'在Ⅱ平面上的投影QMP比其 本身的光程更短，可见光程最短的路径应 该在Ⅱ平面内寻找。
中说一个函数y=f(x)在某处平稳，是指它的一阶微分
dy=0。在这里函数可以具有
、
或
。
数学表达式：
B
nds
极值
A
在一般情况下，实际光程大多是取极小值，费马
本人最初提出的也是最短光程。
为了能更好的说明费马原理，我们先大致将 其理解为最短光程，而光的速度是一定的，走过 相应光程所需要的时间也是最短的，因此费马原 理又被叫为费马最短时间原理。