关于最小二乘法与曲线拟合课件
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第六章_曲线拟合的最小二乘法
25
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
(0 , 0 ) (0 , 1 ) a0 (0 , f ) ( , ) ( , ) a ( , f ) 1 1 1 1 1 0
计算系数
(0 , 0 ) 1 8
bt y
则矛盾方程组为：
1 1 1 1 1 0.669131 0.370370 0.390731 0.500000 a 0.621118 0.121869 b 0.309017 0.833333 0.980392 0.587785
例1. 对彗星1968Tentax的移动在某极坐标系下有如 下表所示的观察数据，假设忽略来自行星的干扰,坐 r 标应满足： 1 e p 其中：p为参数，e为偏心率, cos
试用最小二乘法拟合p和e。
r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
得正则方程组为：
5.0 0.284929 0.284929 a 3.305214 b 0.314887 1.056242
解得： a 0.688617
b 0.483880
1 则： p 1.452186 e bp 0.702684 a 1.452186 则拟合方程为： r 1 0.702684 cos
第六章 曲线拟合的最小二乘法
§6.1 引言
§6.2 线性代数方程组的最小二乘解
§6.3 曲线最小二乘拟合
§1 引言
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都 “很好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要 失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量， 本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误 差的点，势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插 值多项式的次数过高而效果不理想。 从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近 似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基 本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟 合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本 章介绍用最小二乘法求拟合曲线。
2.6-曲线拟合的最小二乘法
果较好，而在远离节点的地方，由Runge现象知道，有时效果 会很差。
第2页，共29页。
由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是
较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，
相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合理。 对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，只要求总体上
尽可能小，即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体 趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
第1页，共29页。
问题
数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数；(连续情形)
当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集
的区间上用公式给出函数的简单表达式.(离散情形)
这些都涉及到在已知区间上用简单函数逼近已 知复杂函数或未知函数的问题，这就是函数逼
近问题
插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效
(1
,n
)
a1
(
f
,
1
)
(n
,
n
)
an
( f ,n )
称为法方程. 但是0 (x), ,n (x)在C[a, b]上线性无关，
不能保证其系数矩阵非奇异.
例如，0 sin x,1 sin 2x, x [0, 2 ], xk k , k 0,1, 2.
G
(0 ,0 )
(1
,
t 9 10 11 12 13 14 15 16
y 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.5 10.6
0
0
2
2
0
5
8
0
第20页，共29页。
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由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是
较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，
相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合理。 对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，只要求总体上
尽可能小，即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体 趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
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问题
数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数；(连续情形)
当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集
的区间上用公式给出函数的简单表达式.(离散情形)
这些都涉及到在已知区间上用简单函数逼近已 知复杂函数或未知函数的问题，这就是函数逼
近问题
插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效
(1
,n
)
a1
(
f
,
1
)
(n
,
n
)
an
( f ,n )
称为法方程. 但是0 (x), ,n (x)在C[a, b]上线性无关，
不能保证其系数矩阵非奇异.
例如，0 sin x,1 sin 2x, x [0, 2 ], xk k , k 0,1, 2.
G
(0 ,0 )
(1
,
t 9 10 11 12 13 14 15 16
y 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.5 10.6
0
0
2
2
0
5
8
0
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曲线拟合 最小二乘法
曲线拟合最小二乘法
曲线拟合是指通过已知数据点来推导出一条函数曲线，使得该曲线尽
可能地贴近这些数据点。
而最小二乘法（Least Squares Method）是求解
这种拟合问题的一种常用方法。
最小二乘法的核心思想是尽量减小误差平方和。
假设已知的数据点为$(x_i, y_i)$，曲线函数为 $y=f(x)$，我们希望找到一组参数 $\theta$，使得 $f(x_i;\theta)$ 与 $y_i$ 的差距最小，即：
$$\min_{\theta}\sum_{i=1}^n [y_i - f(x_i;\theta)]^2$$。
这个式子被称为目标函数，也叫做残差平方和（RSS）。
通过对目标
函数进行求导，可以得到最优参数 $\theta^*$ 的解析解：
$$\theta^* = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T
\mathbf{y}$$。
其中，$\mathbf{X}$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，每一行代表一
个数据点的特征向量，$p$ 是曲线函数的参数个数。
$\mathbf{y}$ 是一
个 $n \times 1$ 的列向量，代表数据点的真实输出值。
最小二乘法在实际应用中有很广泛的应用。
例如，可以用它来构建多
项式回归模型、高斯过程回归模型等。
此外，在机器学习领域，最小二乘
法也被用于求解线性回归模型、岭回归模型等。
数值分析3-4(最小二乘法)ppt课件
i0
j0
f (xi )]k (xi )
展开
n
m
m
a j ( xi ) j ( xi )k ( xi ) ( xi ) f ( xi )k ( xi )
j0 i0
i0
法方程
解方程组
有唯一解ak ak (k 0,1,..., n)
则S ( x) a00 ( x) a11( x) ... ann ( x)
本例经过计算可得
max i
|
(1) i
|
0.568
103
, max i
|
(2) i
|
0.277
103
而均方误差为
m
m
(
(1) i
)2
1.19 103 ,
(
( i
2)
)
2
0.34 103
i 1
i 1
由此可知第二个模型较好。
结论：
选择拟合曲线的数学模型，并不一定开始 就能选好，往往需要通过分析若干模型后， 经过实际计算才能选到较好的模型，如本 例的指数模型就比双曲线模型好得多。
三、求解步骤
确定拟合曲线的形式
最困难！
确定变量对应的数据
确定法方程
求解法方程
四、举例
例1. 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.
xi
1
2
3
4
5
fi
4 4.5 6
8 8.5
ωi
21311
解 根据所给数据，在坐标纸上标出，从图 中看到各点在一条直线附近，故可选择 线性函数作拟合曲线，即令
S1( x) a0 a1 x
曲线拟合最小二乘法ppt课件
这里
1( x), ,l ( x)
是线性无关函数系，
为待定常数.
i (i 1, 2, , l)
9
在例1中，设函数
1( x) 1, 2( x) x, 3( x) x2
误 n,
我们希望猜想的数学模型应尽量接近观测数据，
m
2 i
m
[s * ( xi )
f ( xi )]2
i0
i0
m
min
s( x)
[s(
i0
xi
)
f ( xi )]2.
11
（1）直线拟合
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m ,分布大致为一
条直线。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通
的方法称为曲线拟称合为“，残f(差x)”
1
x
x0 x1 x2 …… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x) y=f(x)
插值
2
求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又 不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性, 使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种 方法度量达到最小。
解得 a0 0.562302 , a1 0.772282
由 a0 ln a 得 a ea0 e0.562302 1.754708,
23
由a1 b 得 b a1 0.772282
于是得到拟合指数函数为 y 1.754708 e0.772282x
（4）超定方程组的最小二乘解
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
a ∑xi2 +b ∑xi= ∑xi yi a ∑xi+bn=∑ yi
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
最小二乘法与曲线拟合-PPT
点(xi,yi)带入y=(x) ，便得到以a0,a1,…,am为未知
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
第六章 最小二乘法与曲线拟合
的误差或距离最小。按照这种误差最小原则构造的逼近函数 称为拟合函数，构造拟合函数的过程称为曲线拟合。
第六章 最小二乘法与曲线拟合
从给定的一组实验数据( xi , yi ) (i 1,2,, n) 出发，寻求一 个逼近函数 y ( x) ，使得逼近函数从总体上来说产生的偏 差按照某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的实验数 据点 ( xi , yi ) ，这就是曲线拟合法。最常用的曲线拟合法就是 本章所要介绍的最小二乘曲线拟合法。 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。曲线拟合问题 的特点在于，被确定的曲线原则上并不要求通过给定的数据 点，而只是要求尽可能从给定点附近通过。插值法确定的曲 线要求通过所有给定数据点，对于含有观测误差的数据来说 ，不通过给定数据点的原则显然更为合适。因为这样的处理 ，可以部分地抵消数据中含有的观测误差，从总体上与实际 函数曲线更为符合。
y a bx
上面5组数据大致满足如下方程组：
a 2b 2.01 a 4b 2.98 a 5b 3.50 a 8b 5.02 a 9b 5.47
式中 a , b 为待定参数。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
确定a , b 的最简单方法是选点法，即在给定的5个点中， 任选两个构造直线。也就是从上述5个等式中任选2个联立即 可解出 a , b。例如选择前两个点可得
m Q aij x j bi i 1 i 1 j 1
n 2 i n
j 1
如果 x j ( j 1,2,, m) 的取值使上式的值达到最小，则称这组 值是矛盾方程组的最优近似解。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
最优近似解的求解：
偏差平方和最小的必要条件：
第六章 最小二乘法与曲线拟合
从给定的一组实验数据( xi , yi ) (i 1,2,, n) 出发，寻求一 个逼近函数 y ( x) ，使得逼近函数从总体上来说产生的偏 差按照某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的实验数 据点 ( xi , yi ) ，这就是曲线拟合法。最常用的曲线拟合法就是 本章所要介绍的最小二乘曲线拟合法。 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。曲线拟合问题 的特点在于，被确定的曲线原则上并不要求通过给定的数据 点，而只是要求尽可能从给定点附近通过。插值法确定的曲 线要求通过所有给定数据点，对于含有观测误差的数据来说 ，不通过给定数据点的原则显然更为合适。因为这样的处理 ，可以部分地抵消数据中含有的观测误差，从总体上与实际 函数曲线更为符合。
y a bx
上面5组数据大致满足如下方程组：
a 2b 2.01 a 4b 2.98 a 5b 3.50 a 8b 5.02 a 9b 5.47
式中 a , b 为待定参数。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
确定a , b 的最简单方法是选点法，即在给定的5个点中， 任选两个构造直线。也就是从上述5个等式中任选2个联立即 可解出 a , b。例如选择前两个点可得
m Q aij x j bi i 1 i 1 j 1
n 2 i n
j 1
如果 x j ( j 1,2,, m) 的取值使上式的值达到最小，则称这组 值是矛盾方程组的最优近似解。
§1 用最小二乘法求解矛盾方程组
最优近似解的求解：
偏差平方和最小的必要条件：
数值分析课件Chapter7曲线拟合与线性最小二乘问题.ppt
法方程组可写成：GT F T FGx GT F T b
可以验证 x GT (GGT )1(F T F )1 F T b
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
推论7.1.2 若 rankA ，r则方n程组
有无穷多个最小二乘解。
Ax b
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
8.9
8.5
10
4
3.5
22
9
8
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10
8.1
可以看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可认为强度与 拉伸倍数之间的主 要关系是线性关系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y ( x ) a bx
该直线称为这一问题的数学模型。
线性无关，下面讨论正交分解的具体实现方法。
记 A [a1, a2 , , an ]，Q [q1, q2 , , qr ] 其中 a1, a2 , , ar线性无关，q1, q2 , , qr两两正交。
Gram-Schmidt正交化方法： 由 A QU 得
a1 u11q1 a2 u12q1 u22q2
y a bx c 1 x
1( x) 1;
2(x)
x;
3(x)
1 x
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
Def 1 设 A R，m若n 存在 x 精R确n地满足
可以验证 x GT (GGT )1(F T F )1 F T b
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
推论7.1.2 若 rankA ，r则方n程组
有无穷多个最小二乘解。
Ax b
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
8.9
8.5
10
4
3.5
22
9
8
11
4.5
4.2
23
9.5
8.1
12
4.6
3.5
24
10
8.1
可以看出,纤维强度随 拉伸倍数增加而增加
并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可认为强度与 拉伸倍数之间的主 要关系是线性关系
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y ( x ) a bx
该直线称为这一问题的数学模型。
线性无关，下面讨论正交分解的具体实现方法。
记 A [a1, a2 , , an ]，Q [q1, q2 , , qr ] 其中 a1, a2 , , ar线性无关，q1, q2 , , qr两两正交。
Gram-Schmidt正交化方法： 由 A QU 得
a1 u11q1 a2 u12q1 u22q2
y a bx c 1 x
1( x) 1;
2(x)
x;
3(x)
1 x
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
Def 1 设 A R，m若n 存在 x 精R确n地满足
最小二乘法与曲线拟合市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
解：将已给数据点描在坐标系中，能够看出这些点 接近一条抛物线，所以设所求旳多项式为
y a0 a1 x a2 x 2
由法方程组（5.46）, n=6, 经计算得
6
6
6
6
6
6
6
xi 15, xi2 55, xi3 225, xi4 797, yi 14, xi yi 30, xi2 yi 122
令 y ln y, a0 ln a, a1 b
得 y a0 a1x
则就得到线性模型
则正规方程组为
6a0
6
a1
i 1
xi
6
ln
i 1
yi
6
6
6
a0
i 1
xi
a1
i 1
xi2
i 1
xi ln
yi
其中
6
6
xi 7.5
xi2 13.75
i 1
i1
6
6
ln yi 2.043302
于是得到拟合指数函数为
y 1.754708e0.772282x
有些非线性拟合曲线可以经过适当旳变量替换转化为线性曲线，从而用线性
拟合进行处理，对于一个实际旳曲线拟合问题，一般先按观察值在直角坐标平 面上描出散点图，看一看散点旳分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近旳 曲线拟合方程。再经过适当旳变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出 后再还原为原变量所表达旳曲线拟合方程。
3
4
5
16 30 52
1 1 1 4
A 1
9
1 16
1 25
2 9
b
16
30
52
由 AT Ax AT b 可得
y a0 a1 x a2 x 2
由法方程组（5.46）, n=6, 经计算得
6
6
6
6
6
6
6
xi 15, xi2 55, xi3 225, xi4 797, yi 14, xi yi 30, xi2 yi 122
令 y ln y, a0 ln a, a1 b
得 y a0 a1x
则就得到线性模型
则正规方程组为
6a0
6
a1
i 1
xi
6
ln
i 1
yi
6
6
6
a0
i 1
xi
a1
i 1
xi2
i 1
xi ln
yi
其中
6
6
xi 7.5
xi2 13.75
i 1
i1
6
6
ln yi 2.043302
于是得到拟合指数函数为
y 1.754708e0.772282x
有些非线性拟合曲线可以经过适当旳变量替换转化为线性曲线，从而用线性
拟合进行处理，对于一个实际旳曲线拟合问题，一般先按观察值在直角坐标平 面上描出散点图，看一看散点旳分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近旳 曲线拟合方程。再经过适当旳变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出 后再还原为原变量所表达旳曲线拟合方程。
3
4
5
16 30 52
1 1 1 4
A 1
9
1 16
1 25
2 9
b
16
30
52
由 AT Ax AT b 可得
第五章 最小二乘法和曲线拟合
L
i 1 n
1 1 y f ( xi , C ) 2 exp{ [ i ]} 2 i 2 i 1 (5.1.7)
1 n [ yi f ( xi , C )]2 exp{ } n2 2 (2 ) 1... n 2 i 1 i
最大似然法要求上式取极值，即要求指数项中
残差平方和表为
R i2 V TV
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2013-7-29 13
正则方程可表为
F T FC F T Y
其中
n T F F x i
(5.2.5)
xi T FY 2 xi
xi x y i i
上一内容
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(5.2.3)
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动画演示
2013-7-29
11
另一形式为
简记几个表达式
1 1 x xi , y yi , L2 ( xi x ) 2 , L2y ( yi y ) 2 x n n L ( x x )( y y ) x y 1 x y i i i i i i xy n
合值 由最小二乘法的准则知
R i [ yi f ( xi ; C )]2
i 1 2 i i i 1 n n
(5.1.5)
取最小值。 由极值条件有
0 ck f ( xi ; C ) 2i [ yi f ( xi ; C )] c , k 1, 2,..., m i i i k
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整理得
i 1 n
1 1 y f ( xi , C ) 2 exp{ [ i ]} 2 i 2 i 1 (5.1.7)
1 n [ yi f ( xi , C )]2 exp{ } n2 2 (2 ) 1... n 2 i 1 i
最大似然法要求上式取极值，即要求指数项中
残差平方和表为
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F T FC F T Y
其中
n T F F x i
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xi T FY 2 xi
xi x y i i
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另一形式为
简记几个表达式
1 1 x xi , y yi , L2 ( xi x ) 2 , L2y ( yi y ) 2 x n n L ( x x )( y y ) x y 1 x y i i i i i i xy n
合值 由最小二乘法的准则知
R i [ yi f ( xi ; C )]2
i 1 2 i i i 1 n n
(5.1.5)
取最小值。 由极值条件有
0 ck f ( xi ; C ) 2i [ yi f ( xi ; C )] c , k 1, 2,..., m i i i k
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例 设有某实验数据如下：
i1 2 3 4
x i 1.36 1.37 1.95 2.28
y i 14.094 16.844 18.475 20.963
用最小二乘法求以上数据的拟合函数
解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据 点的分布可以用一条直线来近似地描述,
设所求的拟合直线为
y(x)a0a1x
i (xi)f(xi) (i0,1, ,n)
不都严格地等于零。即为矛盾方程组。
但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的 变化趋势,要求 i 按某种度量标准最小。若记向量
e0,1, ,nT
即要求向量 e的某种范数 e 最小,如 e的1-范数 e 1
或∞-范数 e
为了便于计算、分析与应用，通常要求 e的2-范数
解得 a03.93,74 a 17.4626
即得拟合直线 y3.93 774 .46x26
（2）多项式拟合
有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条 直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项 式拟合。
对寻求于给次定数的不一超组过数m 据(m，<<nx i),y 的i多,i 项 式1 ，,2 , ,n y a 0 a 1 x a 2 x2 a m xm
来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的 平方和
为最小
n
m
Q (yi ajxij)2
i1
j0
n
m
Q (yi ajxij)2
i1
j0
由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多元函 数, 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元 函数的极值问题。令
Q0,k0,1,2,,m ak
求解该方程组，解得 a0与a1
代人 y(x)a0a1x即得拟合曲线。
解法二：
也可将条件带入构成矛盾方程组
y1 a0 a1x1
y 2 a 0 a 1 x 2
y m a 0 a 1 x m
1
其中
A
1 1
1
x 1 x2 x m
y1
b
y2
y m
利用 ATAxATb
23
9.5
12
4.6
3.5
24
10.0
强度 kg/mm2
5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
（提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y, 在座标纸上标出各点，可以发现什么?）
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系， 可用一条直线来表示两者之间的关系。
则正规方程组为
4a0
a1
4 i1
xi
4 i1
yi
4
4
4
a0 i1 xi a1 i1 xi2 i1 xi yi
其中
4
xi 7.32
i1
4
yi 70.376
i1
4
xi2 13.8434
i1
4
xi yi 132.12985
i1
将以上数据代入上式正规方程组,得
4a0 7.32a1 70.376 7.32a013.843a1413.122985
为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近
似函数 (x) ,不要求函数 (x) 完全通过所有的数据点
，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，
如图5-7所示。
y
•
图5-7
曲线拟合示意 图
•
•
•
••
•• ••
•
• •
•• •
o
x
曲线拟合函数 (x) 不要求严格地通过所有数据点
也就是说拟合函数(x) 在xi处的偏差(亦称残差）
极小值，
故 a 0 和 a 1 应满足下列条件：
F(a0,a1)
F(aa00,a1) a1
m
2 (a0
i1
m
2 (a0
i1
a1xi a1xi
yi) 0 yi)xi 0
即得如下正规方程组
a0m a1
m
m i1
xi
m
m i1
yi
m
a1 i1 xi2 a0 i1 xi i1 xi yi
1
1
e n
2 i0
i2 2
n i0
(xi)f(xi)2 2
即
n
n
2
e2 2 i2 (xi)f(xi)
i0
i0
为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的
拟合称为曲线拟合的最小二乘法。
实质仍然是求矛盾方程组的最小二乘解。
（1）直线拟合
设已知数据点 x i,y i,i 1 ,2 , ,m ,
分布大致为一条直线。
作拟合直线 y(x)a0a1x
该直线不是通过所有的数据点 xi , yi ,
而是使偏差平方和
m
F(a0,a1) (a0a1xi yi)2 为最小， i1
解法一：
其中每组数据与拟合曲线的偏差为
y(xi)yia0a 1xiyi i1,2,,m
根据最小二乘原理，应取 a 0 和 a 1使 F(a0,a1) 有
n
m
得
(yi ajxij)xik0, k0,1, ,m
强度
编号 拉伸倍数 kg/mm2
编号
拉伸倍数
1
1.9
1.4
13
5.0
2
2.0
1.3
14
5.2
3
2.1
1.8
15
6.0
42.5Biblioteka 2.5166.3
5
2.7
2.8
17
6.5
6
2.7
2.5
18
7.1
7
3.5
3.0
19
8.0
8
3.5
2.7
20
8.0
9
4.0
4.0
21
8.9
10
4.0
3.5
22
9.0
11
4.5
4.2
即得如下正规方程组
a0m a1
m
m i1
xi
m
m i1
yi
m
a1 i1 xi2 a0 i1 xi i1 xi yi
求解该方程组，解得 a0与a1
代人 y(x)a0a1x即得拟合曲线。
例：某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关 系，下表是实际测定的24个纤维样品的强度与 相应拉伸倍数的记录。试确定这种关系。
关于最小二乘法与曲线拟合
最小二乘法与曲线拟合
如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处 的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为 f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会 遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精 确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不 可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数 曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保 留着一切测试误差。
解：设 y=a+bx
则：
a 1 .9 b 1 .4
a
2 .0 b
1 .3
a
9 .5b
8 .1
a 10 . 0 8 . 1
由ATAxATb
计算出它的正规方程得
24 a12.57b11.13 12.57a82.69b173.610
解得： a=0.15 , b=0.859 直线方程为：y=0.15+0.859x