四年级数学拓展校本课程 第三讲 定义新运算
四年级奥数一定义新运算
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基本概念：定义一种新的运算符号，这个新 的运算符号包含多种基本（混合）运算。
例1.若A★B=(2A+1)ⅹb,求5★6的值
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把 已知的数代入，转化为加、减、乘、除运算 然后按照基本运算过程、规律进行运算。
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例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍 减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算： （1）5△6；（2）6△5。
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例2.定义新运算aΔb=(a+1)÷b,求6Δ（3Δ4） 的值。
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例2.已知a,b是任意自然数，我们规定： a⊕b=a+b-1,a⊙b=ab-2， 那么4⊙ [(6⊕8) ⊕(3⊙5)]等于多少?
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例3.羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼， 我们规定一种运算，作符号Δ表示：羊Δ羊=羊；羊Δ狼 =狼；狼Δ羊=狼；狼Δ狼=狼，以上运算的意思是羊与 羊在还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起 时便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜我们规定另 一种运算，用符号☆表示；羊☆羊=羊；羊☆狼=羊； 狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是当羊与羊 在一起时还是羊，狼与狼在一起时还是狼，当狼与羊在 一起时它便被羊赶走而只剩下羊了，对羊或狼可以用上 面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右， 括号内先算，运算结果是羊或狼，求下式的结果;羊Δ （狼☆羊）☆羊Δ（狼Δ狼）。
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1、设a、b都表示数，规定： a○b=6×a－2×b。试计算 3○4。
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奥数《定义新运算》微课(教案)人教版数学四年级上册
奥数《定义新运算》微课（教案）人教版数学四年级上册一、教学目标1. 让学生掌握定义新运算的方法和步骤。
2. 培养学生运用新运算解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
二、教学内容1. 定义新运算的概念。
2. 定义新运算的方法和步骤。
3. 运用新运算解决问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定义新运算的方法和步骤。
2. 教学难点：运用新运算解决问题。
四、教学过程1. 导入新课通过一个有趣的故事引入新课，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解定义新运算的概念解释定义新运算的含义，让学生明白定义新运算的意义。
3. 讲解定义新运算的方法和步骤通过具体的例子，讲解定义新运算的方法和步骤，让学生掌握定义新运算的技巧。
4. 操练定义新运算给出一些题目，让学生进行练习，巩固所学知识。
5. 讲解运用新运算解决问题通过具体的例子，讲解如何运用新运算解决问题，让学生学会运用新运算。
6. 操练运用新运算解决问题给出一些实际问题，让学生运用新运算进行解决，提高学生解决问题的能力。
7. 总结与反思对本节课的内容进行总结，让学生明白定义新运算的重要性，并引导学生进行反思。
五、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 思考如何将新运算运用到实际生活中。
六、教学评价1. 通过课后练习题的完成情况，评价学生对定义新运算的掌握程度。
2. 通过学生的课堂表现，评价学生的逻辑思维能力和创新意识。
七、教学资源1. 教材：人教版数学四年级上册。
2. 教学课件：包含故事、例子、练习题等。
八、教学建议1. 在教学过程中，注重学生的参与，引导学生积极思考。
2. 在讲解定义新运算的方法和步骤时，要详细讲解，确保学生能够理解。
3. 在讲解运用新运算解决问题时，要注重实际例子的选择，让学生能够更好地理解。
4. 在课后作业的布置上，要注重练习题的质量，确保学生能够巩固所学知识。
需要重点关注的细节是“讲解定义新运算的方法和步骤”。
这个部分是教学的核心，学生能否理解和掌握定义新运算的方法和步骤，直接影响到他们能否在实际问题中灵活运用新运算。
四年级奥数一定义新运算课件
四年级奥数一定义新运算
14. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成 立:4⊗8=16，10⊗6=26，6⊗10=22， 18⊗14=50.求7⊗3=?
四年级奥数一定义新运算
15. 对于数ba,规定运算“▽”为a▽b=(a+3)×(b-5).求 5▽(6▽7)的值.
四年级奥数一定义新运算
16. x、y,表示两个数,规定新运算“★”及“△” 如下:x★y=6x+5y,x△y=3xy.求(2★3)△4的 值..
四年级奥数一定义新运算
四年级奥数一定义新运算
四年级奥数一定义新运算
四年级奥数一定义新运算
4. 定义新的运算a⊖b=a×b+a+b.求 (1⊖2)⊖3.
四年级奥数一定义新运算
5. 有一个数学运算符号“⊗”,使下列算式成 立:2⊗4=10,5⊗3=18,3⊗5=14,9⊗7=34. 求:7⊗3=?
1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4， 计算：3▽4。
四年级奥数一定义新运算
2，如果2▽4=24÷（2＋4）， 3▽6=36÷（3＋6），计算 8▽4。
四年级奥数一定义新运算
3、如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15， 求x。
四年级奥数一定义新运算
例4：对于两个数a与b，规定 a□b=a+(a+1)+(a+2)+……+(a+b－1)。 已知x□6=27，求x。
四年级奥数一定义新运算
4、如果4※2=14，5※3=22，3※5=4， 7※18=31，求6※9的值。
四年级奥数一定义新运算
5、设a▽b=a×b+a-b,求:5▽8。
四年级奥数一定义新运算
四年级奥数(定义新运算)
奥数：定义新运算1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、▴、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
例题1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
变式训练1.假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。
求 8 ★ 4变式训练2.如果a◎b=a×b-(a+b)。
求6◎（9◎2）例题2、A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2，求(1)(3△17) △28 (2)[(1△9) △11] △6。
变式训练1、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：（1）8▽5 (2)(4▽6) ▽7例题3、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。
求6Δ5。
变式训练1.规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5；200*3例题4、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。
用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。
对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。
求下列结果1、羊△狼☆羊2、羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）课堂作业1、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：（1）5 ☆6 （2）6☆8（3）2☆（3☆6）（4）（2☆8）☆102、设m，n都表示自然数，规定m#n=2m+3n，计算4#3，2#20.3、假设a ★ b = ( a + b )÷（a-b）。
小学四年级奥数ppt：定义新运算
• 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11， 9▽7=25。按此规律计算：10▽12。
•练习五
• 1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算 式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15， 5▽1=8。按此规律计算：8▽4。
•
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• 2，对于两个数a、b，规定a▽b=b×x－ a×2，并且已知82▽65=31，计算：29▽57。
B的平均数。已知A▽6=17，求A。
• 例2：对于两个数a与b，规定 a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
•
•练 习 二 • 1，对于两个数a与b，规定：
a⊕b=a×b－（a＋b）。计算 3⊕5。
• 例3：如果2△3=2＋3＋ 4，5△4=5＋6＋7＋8， 按此规律计算3△5。
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1，如果5▽2=5×6， 2▽3=2×3×4，计算：3▽4。
• 练习四
• 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋ 10=40。已知x□3=5973，求x。
•
• 2，对于两个数a与b，规定 a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585， 求x。
•
• 3，如果1！=1，2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6，按此规律计 算5！。
• 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减 去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。
• 试计算：（1）5△6；（2）6△5。
•
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分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本
质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数
的3倍减去符号后面的数的2倍。
• 5△6=5×3－6×2=3
四年级《定义新运算》奥数教案
（四年级）备课教员：第十五讲定义新运算一、教学目标：知识目标理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。
能力目标经历新定义运算算式转化成一般的＋、－、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。
情感目标通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法。
体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功感受。
二、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。
三、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：谈话导入，用加法和乘法的运算，引出定义新运算的思想，引起学生的学习兴趣。
】师：在生活中，我们常见的有哪几种运算？生：有加、减、乘、除这四种。
师：同学们对这些运算都很熟悉吧？生：熟悉。
师：是的，它们在学习中特别“普及”，我们对它们的运算和意义都很熟悉。
我们来回忆下乘法的运算。
它是好多个相同的数相加的时候，比如8个13 相加，为了便于书写和计算，我们可以用8×13来表示，那么乘法是不是在加法运算上发展出来的新运算呢？生：是的。
师：不错，改革开放30多年，中国发生翻天覆地的变化。
昔日的农村的土坯房变成了今天的高楼大厦。
交通也发生了新的变化，这些变化都是由于改革的需要。
而在我们的数学中，有时为了某种需要，会用一种新符号来表示含有加、减、乘、除的运算，这种运算时根据需要而定义的，我们称之为定义新运算。
（可以举例说明定义新运算和普通运算的区别，如：a△b=a+b+ab ，3△2=3+2+3×2=11 ，那5△5=5+5+5×5=？可以和学生集体探讨下）学生没有学习过定义新运算的知识，需要老师好好引导。
【板书课题：定义新运算】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（10分）规定A⊙B=3×A＋4×B，试计算8⊙3的值。
3四年级《定义新运算》
学生姓名学生年级四年级学校上课时间辅导老师科目四年级上数学教学重点定义新运算教学目标掌握加减乘除四则运算为基础的新运算开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格新课导入定义新运算也叫做按规定顺序来计算，它常常是把许多含有加、减、乘、除的计算用一个符号来表示，这样的运算及符号在课本中没有统一的规定。
解答定义新运算这类题目的关键是要抓住定义的本质，弄清定义的符号所代表的运算方式，并严格按新的要求计算。
新课内容知识点一：定义新运算课堂练习：如果定义新运算有：（1）()2a b a b∆=+÷（2）*()2a b a b=-÷（3）#2a b a b=⨯÷（4）%2a b a b=÷÷（5）a b a a b b⊕=⨯+⨯（6）a b a a b b⊗=⨯-⨯（7）()()a b a b a b∧=⨯-+（8）()()a b a b a b∨=⨯++（9）$52a b a b=⨯+⨯（10）&42a b a b=⨯-÷1.以下算式的答案是：（难度☆）（1）20△28＝___________________________________（2）62*24＝____________________________________（3）3#12＝_____________________________________（4）24%4＝____________________________________（5）34⊕＝____________________________________（6）53⊗＝____________________________________（7）55∧＝____________________________________（8）24∨＝____________________________________（9）2$5＝______________________________________（10）4&6＝____________________________________2.以下算式的答案是：（难度☆☆）（1）3△（6△8）＝______________________________（2）(410)3∨∨＝________________________________（3）(28)3∧∨＝_________________________________（4）5&（2$4）＝________________________________（5）（4#6）%3＝________________________________（6）(13)2⊕∧＝_________________________________（7）（5$2）△11＝______________________________（8）14*（43⊗）＝____________________________3.以下算式的答案是：（难度☆☆☆）（1） （3△9）△（9*5）＝___________________________（2） （3#6）%（7*5）＝____________________________（3） （4$1）△（712⊕）＝__________________________（4） [（45⊕）△17]&24＝__________________________（5） 6△[4(10*2)]∧＝_______________________________ 知识点二：仿照运算（难度☆☆）课堂练习：1.如果2→（3）＝2＋3＋4＝9，5→（4）＝5＋6＋7＋8＝26，那么： ①7→（2）＝____________________________________________ ②10→（5）＝___________________________________________ ③3→（100）＝__________________________________________2.如果1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，那么：①5！＝_________________________________________________ ②8！＝_________________________________________________3.如果1∑＝1，2∑＝1＋2＝3，3∑＝1＋2＋3＝6，那么：①10∑＝________________________________________________ ②100∑＝_______________________________________________4.如果3//（2）＝32，4//（3）＝432，5//（2）＝54，那么①4//（5）＝______________________________________________ ②6//（3）＝______________________________________________ 知识点三：添加符号或括号使算式成立（1） 1 2 3 4 5 ＝ 1（2） 1 2 3 4 5 ＝ 101 2 3 4 5 ＝ 101 2 3 4 5 ＝ 10（3） 3 3 3 3 3 ＝ 13 3 3 3 3 ＝ 23 3 3 3 3 ＝ 33 3 3 3 3 ＝ 43 3 3 3 3 ＝ 5（4） 1 2 3 4 5 6 7 ＝ 512 3 4 5 6 7 1 ＝ 513 4 5 6 7 1 2 ＝ 514 5 6 7 1 2 3 ＝ 51教 学后记学生签名： 家长签名：。
小学拓展专题之《定义新运算》(1)
小学拓展专题之《定义新运算》（1）一、知识要点解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练例1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求29*7。
举一反三：1.设a*b=a2+2b，那么求12*6和6*（2*8）。
2、设a*b=3a－b×1/2，求（24*12）*（12*5）。
3.假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
例2:设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
举一反三：1. 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
2、设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
例3：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
举一反三：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
例4：规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。
小升初数学课程：第三讲 定义新运算
第三讲定义新运算一、知识梳理定义新运算经常出现在小学四至六年级思维数学和部分初一衔接学习中,有别于我们已熟悉的“＋”、“－”、“×”、“÷”基础四则运算,不再只是简单传统的运算意义和计算法则,而是通过人为赋予数或式利用各种不同的运算符号创新运算定义和算理,更融入例如字母运算、方程,甚至是找规律思想在内的一种综合计算形式,系统学习这些知识,不仅可以开阔我们的视野,而且还能进一步拓展数学思维.1、基础运算型定义新运算基础题型是指通过字母表示,依据四则运算组合和运用括号进行计算的一种简单运算方式.2、复合运算型定义新运算复合运算题型是指反复利用字母表示及其结合四则运算,在符合运算定律基础上的一种混合运算方式.3、方程思想引入型定义新运算方程思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把方程计算引入的一种高级运算方式.4、找规律思想引入型定义新运算找规律思想引入题型是指在基础和复合运算基础上,把找规律计算引入的一种更高级运算方式.5、综合运算型定义新运算综合运算题型是指在探索规律背景下,融合四则基础和复合运算内容,进一步拓展方程思想参与计算的一种最高级运算方式.二、例题精讲例1：设a、b为两个数,规定a&b=a×5－b×3,试计算：4&2=？.【解析】该题运算最重要的是抓住定义的本质,即a、b是怎样去运算,然后运用这样的定义进行运算.这种新的运算方法还要很快的适应,并能很好的应用,以达到解题的目的.本题规定的运算本质是：用“&”前面的数乘以5减去“&”后面的数乘以3进行计算.∴4&2=4×5－2×3=14变式1：定义运算☆为A☆B=（A＋B）÷3,试算：11☆7=？.【解析】这种新运算的本质是用符号“☆”前面的数加上“☆”后面的数的和除以3 .∴11☆7=（11+7）÷3=18÷3=6变式2：设a◎b=a×b－(a＋b),试求：3◎4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号◎前后两个数的积减去两个数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴3◎4=3×4-（3+4）=12-7=5例2：设p、q是两个数,规定：p△q = 3×p－（p＋q）÷2,试求7△（2△4）=？. 【解析】这种新运算的本质是用符号△前后两个数的积减去两个数的和的一半,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴7△（2△4）= 7△【3×2－（2＋4）÷2】= 7△3 = 3×7－（7＋3）÷2 = 16变式1：设a%b = 4×a－b,试求（5%4）%（10%6）=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的4倍减去后一个数,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5%4 ）%（10%6）= （4×5－4 ）%（4×10－6）= 16%34=16×4－34 = 30. 变式2：设a,b表示两个不同的数,规定a^b=3a+4b,试求(8^7)^6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号△前数的3倍加上后一个数的4倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴(8^7)=3×8+4×7 52^6=3×52+4×6=24+28 =156+24=52 =180例3：设a※b = 5a－3b,已知x※（3※2）= 18,求x.【解析】这种新运算的本质是用符号※前数的5倍减去后一个数的3倍,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴3※2 = 5×3－3×2 = 9,x※9 = 5x－3×95x－27=18x=9变式1：规定a*3 = a＋（a＋1）＋（a＋2）,那么x*5 = 45,x = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号*前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到比后一个数少1的数为止,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）= 45,5x =35x =7变式2：有两个整数是m和n,m☆n表示 m和n的平均数,如果m☆6=17,那么,m是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号☆前后的数计算平均数,请注意方程算理融入特点.∴m☆6=17（m+6）÷2=17m+6=34m=28例4：如果1★3=1＋2＋3,4★5=4＋5＋6＋7＋8,那么,3★6=？.【解析】这种新运算的本质是用符号★前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到★后的数位为止.∴3★6=3+4+5+6+7+8=33变式1：如果1▽3=1×2×3,5▽3=5×6×7,根据此规律计算：6▽3=？.【解析】这种新运算的本质是用符号▽前的数开始算起,依次相差1累积连续自然数,直到加到▽后的数位为止.∴6▽3=6×7×8=336变式2：如果1#5 = 1＋11＋111＋1111＋11111,2#4 = 2＋22＋222＋2222,3#3 = 3＋33＋333,……,那么4#3 = ________；105#2 = ________.【解析】这种新运算的本质是用符号#前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到#后的数位为止.∴4#3 = 4＋44＋444 = 492；105#2 = 105＋105105 = 105210例5：定义两种运算“☆”,“○”,对于任意两个整数a、b,a☆b = a＋b－1,a○b = a ×b－1,求：（1） 4○【（6☆8）☆（3☆5）】的值；（2）若x☆（x○4）= 30,求x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是分别利用符号☆和○前后的数的和或积减去1,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的；还应留意方程算理融入特点.∴（1） 6☆8 = 6＋8－1 = 133☆5 = 3＋5－1 = 713☆7 = 13＋7－1 = 194○19 = 4×19－1 = 75（2） x☆（4x－1）= 30x＋4x－1－1 = 305x－2 = 30x = 6.4变式1：设x,y表示两个数,规定新运算“*”及“△”如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中 m,n,k 均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)△4=64,试求(1△2)*3的值.【解析】本题我们应采用逐级运算分析法.首先计算1*2,根据"*"的定义:1*2=5可以分类讨论求出m,n的值,然后通过(2*3)△4=64求出 k的值,最后再求(1△2)*3的值.∴由1*2=m×1+n×2=m+2n,则m+2n=5.又m,n均为自然数,故解出:①当m=1,n=2时:(2*3)△4=(1×2+2×3)△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64,解出k=2.②当m=3,n=1时:(2*3)△4=(3×2+1×3)△4=9△4=k×9×4=36k=64,则k不为自然数,故不符合题意,舍去该种可能性.所以m=1,n=2,k=2.(1△2)*3=(2×1×2)*3=4*3=1×4+2×3=10.变式2：▽表示一种运算符号,它的意义是X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1) 】,已知2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3,那么2015▽2016=？.【解析】本题应从已知条件入手,首选通过方程运算计算出A值,然后代入到新运算中得出运算式,最后计算2015▽2016的值.∴2▽1=1/2+1/【3×（1+A）】=2/3A=1则： X▽Y=1/XY+1/【(X+1) ×(Y+1)】2015▽2016=1/（2015×2016）+1/（2016×2017）=1/2015-1/2017=2/4064255三、课堂总结（1）解决此类问题,关键是应首选准确且透彻地理解新运算的算式含义,然后严格按照新定义的计算顺序,逐步将符合要求的数值代入算式中进行运算,最后再把它转化为四则混合或方程运算等予以计算,得出合理结果.（2）我们还应知晓,这是一种人为规定的运算形式,它是使用特殊的运算符号,如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种创新运算.（3）新定义的算式中,如有括号的,要先算括号里面的,还须格外留意方程和找规律思想引入对解题计算的特殊要求.四、课后作业1、如果A*B=3A+2B,那么7*5=？.【解析】这种新运算的本质是用符号*前数的3倍加上后数的2倍的和进行计算.∴7*5=3×7+2×5=21+10=312、如果任何数A和B有A¤B=（A+B）×（A-B）,试求（5¤3）¤4=？.【解析】这种新运算的本质是用符号¤前后数的乘积减去前后两数的和,请注意运算顺序：有括号先算括号里面的.∴（5¤3）¤4=【（5+3）×（5-3）】¤4=（8×2）¤4=16¤4=（16+4）×（16-4）=20×12=2403、规定a$b=a+(a+1)+(a+2)+…(a+b-1),(a,b均为自然数,b>a).如果x$10=65,那么x的值是多少？.【解析】这种新运算的本质是用符号$前的数开始算起,依次相差1累加连续自然数,直至加到$后的数位少1为止,还应留意方程算理融入特点.∴X$10=x+(x+1)+(x+2)+…(x+10-1)=10x+45则: 10x+45=6510x=20X=24、有一个数学符号“@”,使下列等式成立：2@4=8,5@3=13,3@4=10,9@7=25,那么,7@3=？. 【解析】这种新运算的本质是用等式左边符号@前数的2倍加上后数的和等于等式右边的数进行计算.∴7@3=7×2+3=175、如果：1⊕2=1＋11=12,2⊕3=2＋22＋222=246,3⊕4=3＋33＋333＋3333=3702,那么1⊕5=（）.【解析】这种新运算的本质是用符号⊕前的数开始算起,依次增加1个数位的相同数累加,直至加到⊕后的数位为止.∴1⊕5=1+11+111+1111+11111=12345。
(完整word版)华罗庚学校数学课本四年级(上)
华罗庚学校数学课本：四年级（上册）第一讲速算与巧算（三）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解：A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为987654321＞123456788，所以A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋3）×（250—3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250—5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 ×250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求1966、1976、1986、1996、2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，...，x—1，x，x＋1， (x)＋n—1，x＋n，其中x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 ×98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝ 52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5. 例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义：a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
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数学拓展校本课程第三讲定义新运算
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，
①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？
③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？
⑤如果已知4△b＝2，求b.
例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），
①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；
③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.
③这个运算有交换律和结合律吗？
例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均为自然数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：m=1，n=2或m=3，n=1
①当m=1，n=2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.
②当m=3，n=1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
所以m=l，n=2，k=2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.
习题三
计算：①10*6 ②7*（2*1）.
3.有一个数学运算符号°，使下列算式成立：
5.对于任意的整数x、y，定义新运算“△”，
如果1△2=2，则2△9=？
7、规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？。