对数与对数函数(共45张PPT)

3．对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图 象
(1)定义域：⑰_(_0_，__＋__∞_ )
(2)值域：⑱____R____
性 质
(3)过点⑲__(_1_,_0_) __，即 x＝⑳____1____时，y＝○21___0_____ (4)当 x>1 时，○22__y_>_0____ (4)当 x>1 时，○24__y_<_0____ 当 0<x<1 时，○23__y_<_0____ 当 0<x<1 时，○25__y_>_0____
单调递增区间，即求函数 t＝x2 的单调递减区间，结合函数的定 义域，可知所求区间为(－∞，0)．
答案：B
5．(2015·安徽卷)lg52＋2lg2－12－1＝________.
解析：lg52＋2lg2－12－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2 ＝1－2＝－1.
答案：－1
答案：A
6．函数 y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解析：令 u＝x2－2x，则 y＝log3u. ∵y＝log3u 是增函数，u＝x2－2x(u>0)的单调减区间是(－∞， 0)，∴y＝log3(x2－2x)的单调减区间是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)
＝－32.
(3)因为 14b＝5，所以 log145＝b，
又 log147＝a，
142 所以 log3528＝lloogg11442385＝log1lo45g＋14 l7og147＝2a－＋ab.
[答案]
(1)D
(2)－32
2－a (3)a＋b
——[悟·技法]——
对数运算的一般思路及解题策略 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指 数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆 用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
[解析] (1)原式＝( 3＋ 2) log( 3 2)5
＝( 3＋ 2) ＝15. log(
3
1 2) 5
(2)原式＝
lg32－2lg3＋132lg3＋3lg2－32 lg3－1·lg3＋2lg2－1
＝1l－g3l－g31·32·llgg33＋＋22llgg22－－11
A.0，
2 2
B. 22，1
C．(1， 2) D．( 2，2)
(2)方法一：构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a>1 时不满
足条件，当 0<a<1 时，画出两个函数在0，12上的图象，可知，
f(12)<g(12)，即 2<loga12，则 a> 22，所以 a 的取值范围为 22，1. 方法二：∵0<x≤12，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1，
(5)是(0，＋∞)上的
(5)是(0，＋∞)上的
○26___增__函__数_______
○27___减 ___函__数______
4.反函数 指数函数 y＝ax 与对数函数○28_y_＝__l_o_g_ax_互为反函数，它们的
图象关于直线○29__y_＝__x___对称．
二、必明 2●个易误点 1．在运算性质 logaMn＝nlogaM 中，易忽视 M>0. 2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围．
考向一 对数的基本运算[自主练透型]
[例 1] (1)( 3＋ 2) 等于( 2log( 3 2) 5
)
A．1
1 B.2
1 C.4
1 D.5
lg32－lg9＋1lg 27＋lg8－lg 1 000
(2)
lg0.3·lg1.2
＝________；
(3)若 log147＝a,14b＝5，则用 a，b 表示 log3528＝________.
解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增．
答案：B
4．函数 f(x)＝log 1 x2 的单调递增区间为( ) 2
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：因为 y＝log 1 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的 2
(2)由 x2＋2x－3>0，得(x－1)(x＋3)>0，即 x<－3 或 x>1.令 t
＝x2＋2x－3，该二次函数在(－∞，－3)上为减函数．又对数函
数 y＝log 1 t 为减函数，由复合函数的单调性可得，函数 f(x)＝log 1
2
2
(x2＋2x－3)的单调递增区间是(－∞，－3)．
[答案] (1)C (2)(－∞，－3)
答案：B
考向三 对数函数的ห้องสมุดไป่ตู้质及应用[互动讲练型]
[例 3] (1)(2016·全国卷乙)若 a>b>1,0<c<1，则( )
A．ac<bc
B．abc<bac
C．alogbc<blogac D．logac<logbc
(2)(2017·大连模拟)函数 f(x)＝log 1 (x2＋2x－3)的单调递增 2
6．函数 y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过一定点是 ________．
解析：依题意，当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1) 的值为 2，所以其图象恒过定点(2,2)．
答案：(2,2)
[知识重温]
一、必记 4●个知识点
1．对数的概念
(1)对数的定义 如果①a_x_＝__N_(_a_>_0__且__a_≠__1_)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，
2 3
＋lg7
5＝________.
解析：原式＝lg4＋12lg2－lg7－23lg8＋lg7＋12lg5＝2lg2＋12(lg2 ＋lg5)－2lg2＝12.
答案：12
考向二 对数函数的图象及应用[互动讲练型] [例 2] (1)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x≥0)，g(x) ＝logax 的图象可能是( D )
——[通·一类]——
3．(2017·新疆乌鲁木齐一诊)设 f(x)＝|ln(x＋1)|，已知 f(a)＝ f(b)(a<b)，则( )
A．a＋b>0 B．a＋b>1 C．2a＋b>0 D．2a＋b>1
解析：
作出函数 f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由 f(a)＝f(b)，得 －ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即 ab＋a＋b＝0.0＝ab＋a＋b<a＋4b2＋a ＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－1<a<0，b>0，∴a＋b＋4>0. ∴a＋b>0.故选 A.
——[通·一类]——
1．(2017·山东青岛模拟)计算lg1125－lg82÷4

1 2
＝________.
解 析 ： 由 题 意 知 原 式 ＝ (lg5 － 3 － lg23)2÷2 － 1 ＝ ( － 3lg5 － 3lg2)2×2＝9×2＝18.
答案：18
2．lg4
7
2－lg8
A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b
解析：由 loga2<logb2<logc2 的大小关系，可知 a，b，c 有如 下 四 种 可 能 ： ① 1<c<b<a ； ② 0<a<1<c<b； ③ 0<b<a<1<c ； ④
0<c<b<a<1. 作出函数的图象(如图所示)． 由图象可知选项 A 不可能成立．
(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 (ⅰ)loga(MN)＝⑭_l_o_g_aM__＋__lo；gaN (ⅱ)logaMN ＝⑮_l_o_g_aM__－__l；ogaN (ⅲ)logaMn＝⑯_n_l_o_g_aM___(n∈R)；
(ⅳ)logma Mn＝mn logaM.
3．解对数不等式的类型及方法 (1)形如 logax>logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论． (2)形如 logax>b 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式 的形式．
——[通·一类]——
5．若实数 a，b，c 满足 loga2<logb2<logc2，则下列关系中不 可能成立的是( )
∴0<a<1，排除选项 C，D；取 a＝12，x＝12，
则有
4
1 2
＝2，log
1 2
12＝1，显然
4x<logax
不成立，
排除选项 A.
——[悟·技法]——
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数， 在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形 结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象 问题，利用数形结合法求解．
答案：A
4．若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则下列 函数图象正确的是( )
解析：由图象可知 loga3＝1，所以 a＝3.A 选项，y＝3－x＝13 x 为指数函数，在 R 上单调递减，故 A 不正确．B 选项，y＝x3 为幂函数，图象正确．C 选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和 B 选 项中 y＝x3 的图象关于 x 轴对称，故 C 不正确．D 选项，y＝log3(－ x)，其图象与 y＝log3x 的图象关于 y 轴对称，故 D 选项不正确．综 上，可知选 B.
记作②_x_＝__l_o_g_aN_，其中③___a_____叫做对数的底数，④___N_____ 叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) ⑤__lo_g_a_N___
常用对数 底数为⑥__1_0_____ ⑦__l_g_N____
自然对数 底数为⑧___e_____ ⑨__l_n_N____
[小题热身]
1．函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
解析：由题意，得1x≥－0x>，0， 解得 0≤x<1，故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)．
答案：B
2．(2017·河南八市质检)已知
a＝4
1 3
，b＝log 1 4
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 (ⅰ)alogaN＝⑩___N_____；(ⅱ)logaaN＝⑪___N_____(a>0 且 a≠1)． ((2ⅰ)对)换数底的公重式要：公⑫式_lo_g_b_N_＝__l_loo_gg_aa_Nb(a，b 均大于零且不等于 1)； (ⅱ)logab＝log1ba，推广 logab·logbc·logcd＝⑬__l_o_g_a_d__.
区间是________．
[解析] (1)特殊值验证法，取 a＝3，b＝2，c＝12，
因为 3> 2，所以 A 错；
因为 3 2＝ 18>2 3＝ 12，所以 B 错；
因为 log312＝－log32>－1＝log212，所以 D 错；
因为 3log212＝－3<2log312＝－2log32，所以 C 正确．故选 C.
[解析] (1)根据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函 数，排除选项 A(利用(1,1)点也可以排除)；选项 B 从对数函数图 象看 a<1，与幂函数图象矛盾；选项 C 从对数函数图象看 a>1， 与幂函数图象矛盾，故选 D.
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则 a 的取值范围是( B )
——[悟·技法]——
1.求对数形函数定义域的策略 列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的 取值范围． 2．比较对数式大小的类型及相应的方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行 判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． (2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底 后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较．
13，c＝log314，
则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
解析：因为
a＝4
1 3
>1,0<b＝log
1 4
13＝log43<1，c＝log314<0，所
以 a>b>c，故选 A.
答案：A
3．函数 y＝lg|x|( ) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增