二次函数中等腰三角形的存在问题
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• （1）求该抛物线的解析式；
• （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E， 连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
• （3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC
交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使
△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存 在，请说明理由．
（1）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM 是以线段AB为底的等腰三角形？
基本方法：线段AB为底：
作线段AB的垂直平分线，
垂直平分线与对称轴的交
点
（2）在x轴上是否存在点D，使△ABD是以线段 AB为腰的等腰三角形？
基本方法：以线段AB为腰：分别以点A、B
为圆心，线段AB长为半径画弧，与x轴的交点
执教者：陈开英
2013年3月27日
1、会准确找到满足条件的点。 2、会运用恰当的方法求出满足条件的点的坐标
1、能准确找到符合条件 的点。
2、利用等腰三角形的性 质、勾股定理和三角 形相似等知识求点的 坐标。
利用等腰三角形的性质 和勾股定理等知识求点 的坐标。
如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点， 过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C.问：
,
0)
如图，抛物线 交x轴于A、C两点，交y轴于B点
试问: 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使
△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点坐标；若不存在，请说明理由．
1.如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞ x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0 的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E， 连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q， 使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件 的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交 于A、C两点，抛物线 y 4 x2 bx c的图象经过A、C 两点，且与x轴交于点B． 3
• ∵ 直线AB过点A（4,0）和B（0,3）两点
•
∴ 直线AB的解析式为
y 3x3 4
•
C
• 设直线DP的表达式为 y kx b
• ∵ AB⊥DP k 4
3Байду номын сангаас
•
∵直线DP过点 D（2，3
y 4x7
2
36
∵ 点P在DP上又在x轴上
）b
a
7 8
7 6
点P(
7 8
方法一：等腰三角形的性质和勾股定理解答
解：作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,连接BP 设点P(a,0)
∵ DP垂直平分AB,∴ AP=BP
∵ 点P(a,0)，点A(4，0)、点B(0，3),
∴ OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,
∴ 在RT△OPB中， OP2 OB2 BP2
即 a2 32 (4 a)2
解得
a7 8
点P( 7 , 0) 8
方法二：利用相似三角形解答
解：作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,
设点P(a,0)
∵ 点P(a,0)，点A(4，0)、点B(0，3),
∴ OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,
在RT△OAB中,OA2 OB2 AB2
（3）在抛物线的上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？
基本方法：分别以线段AB为底和腰，
找出满足条件的点
数学基本思想----分类讨论
如图，已知二次函数y=﹣x2+ 14 x+3的图象与x轴的一
3
个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
试问：在x轴的正半轴上是否存在点P．
使得△PAB是线段AB为底的等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、 N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角 三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标； 如果不存在，请说明理由．
• 3、如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0， 4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
• 作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P, • 设点P(a,0) AD BD 1 AB • ∵ 点A(4，0)、点B(0，3), 2∴ OA=4，0B=3，
• 过D作DC⊥OA于C
• ∵ OB⊥OA ∴ CD∥OB
•
CD
1 2
OB
3 2
, OP
1 2
OA
2
点D(2,
3) 2
即 42 32 AB2
∴ AB=5
∴ AD=BD=2.5
∵ PD⊥AB
∴ ∠ADP=90°
∵ ∠AOB= 90° ∴ ∠ADP=∠AOB
∵ ∠OAB= ∠DAP ∴ ⊿0AB∽⊿DAP
OA AB AD AP
a 7 8
即 4 5 2.5 4 a
点P（7 ，0） 8
方法三：函数解答
• （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E， 连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
• （3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC
交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使
△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存 在，请说明理由．
（1）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM 是以线段AB为底的等腰三角形？
基本方法：线段AB为底：
作线段AB的垂直平分线，
垂直平分线与对称轴的交
点
（2）在x轴上是否存在点D，使△ABD是以线段 AB为腰的等腰三角形？
基本方法：以线段AB为腰：分别以点A、B
为圆心，线段AB长为半径画弧，与x轴的交点
执教者：陈开英
2013年3月27日
1、会准确找到满足条件的点。 2、会运用恰当的方法求出满足条件的点的坐标
1、能准确找到符合条件 的点。
2、利用等腰三角形的性 质、勾股定理和三角 形相似等知识求点的 坐标。
利用等腰三角形的性质 和勾股定理等知识求点 的坐标。
如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点， 过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C.问：
,
0)
如图，抛物线 交x轴于A、C两点，交y轴于B点
试问: 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使
△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点坐标；若不存在，请说明理由．
1.如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞ x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0 的两个根．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E， 连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q， 使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件 的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，一次函数y=﹣4x﹣4的图象与x轴、y轴分别交 于A、C两点，抛物线 y 4 x2 bx c的图象经过A、C 两点，且与x轴交于点B． 3
• ∵ 直线AB过点A（4,0）和B（0,3）两点
•
∴ 直线AB的解析式为
y 3x3 4
•
C
• 设直线DP的表达式为 y kx b
• ∵ AB⊥DP k 4
3Байду номын сангаас
•
∵直线DP过点 D（2，3
y 4x7
2
36
∵ 点P在DP上又在x轴上
）b
a
7 8
7 6
点P(
7 8
方法一：等腰三角形的性质和勾股定理解答
解：作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,连接BP 设点P(a,0)
∵ DP垂直平分AB,∴ AP=BP
∵ 点P(a,0)，点A(4，0)、点B(0，3),
∴ OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,
∴ 在RT△OPB中， OP2 OB2 BP2
即 a2 32 (4 a)2
解得
a7 8
点P( 7 , 0) 8
方法二：利用相似三角形解答
解：作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P,
设点P(a,0)
∵ 点P(a,0)，点A(4，0)、点B(0，3),
∴ OP=a，OA=4，0B=3，AP=BP=4-a,
在RT△OAB中,OA2 OB2 AB2
（3）在抛物线的上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？
基本方法：分别以线段AB为底和腰，
找出满足条件的点
数学基本思想----分类讨论
如图，已知二次函数y=﹣x2+ 14 x+3的图象与x轴的一
3
个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
试问：在x轴的正半轴上是否存在点P．
使得△PAB是线段AB为底的等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、 N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角 三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标； 如果不存在，请说明理由．
• 3、如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0， 4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
• 作线段AB的垂直平分线，垂足为D交x轴于点P, • 设点P(a,0) AD BD 1 AB • ∵ 点A(4，0)、点B(0，3), 2∴ OA=4，0B=3，
• 过D作DC⊥OA于C
• ∵ OB⊥OA ∴ CD∥OB
•
CD
1 2
OB
3 2
, OP
1 2
OA
2
点D(2,
3) 2
即 42 32 AB2
∴ AB=5
∴ AD=BD=2.5
∵ PD⊥AB
∴ ∠ADP=90°
∵ ∠AOB= 90° ∴ ∠ADP=∠AOB
∵ ∠OAB= ∠DAP ∴ ⊿0AB∽⊿DAP
OA AB AD AP
a 7 8
即 4 5 2.5 4 a
点P（7 ，0） 8
方法三：函数解答