高中数学复习提升-第一部分 专题六 第一讲 用导数研究函数的切线、性质

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一、选择题

1．曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x ＋y ＋3＝0垂直，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)

D ．(0,2)

解析：与直线x ＋y ＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y ′＝e x ，所以由y ′＝e x ＝1，解得x ＝0，此时y ＝e 0＝1，即点A 的坐标为(0,1)，选B. 答案：B

2．已知函数f (x )＝x 3

3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)·x ＋2在实数集R 上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．2

D ．2≤m ≤4

解析：f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意可得f ′(x )≥0在x ∈R 上恒成立，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0⇒2≤m ≤4. 答案：D

3．函数f (x )＝1

2x 2－ln x 的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在

答案：A

4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－∞，52 D ．⎝ ⎛

⎦⎥⎤－∞，52

解析：因为f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，令f ′(x )≥0，即6x 2－6mx ＋6≥0，则m ≤x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1

x 在(2，＋∞)上为增函数，故当x ∈(2， ＋∞)时，x ＋1x >52，故m ≤5

2，故选D. 答案：D

5．已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0

6．曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B ．π4 C.π3

D ．π2

解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为π

4. 答案：B

7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )

解析：当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减，排除A ，B ；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )的单调递增．只有D 选项符合题意． 答案：D

8．已知常数a ，b ，c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( ) A ．－8122 B ．13 C ．2

D ．5

解析：由题意知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为[－2,3]，且在x ＝3处取得极小值－115，

故有⎩⎪

⎨⎪⎧

3a >0，

－2＋3＝－2

b 3a ，

－2×3＝c

3a ，f (3)＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115，

解得a ＝2. 答案：C

9．(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1)

解析：根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3

<0，

说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零． 答案：D

10．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a

b 的值为( ) A ．－12e B ．－2

e C.2e D ．12e

答案：D

11．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．4 答案：B

12．若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝sin x 1x 1，y 2＝sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2

C ．y 1

D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 解析：设y ＝sin x x ，则y ′＝(sin x )′·x －sin x ·(x )′x 2＝x cos x －sin x x 2，因为在⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2上x

⎭⎪⎫0，π2上单调递减，

所以y 1>y 2. 答案：B 二、填空题

13．已知f (x )＝⎩⎨⎧

x ＋3，x ≤1，

－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为

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