《信号与系统》第四章课件

=
1 2j
e jω0t
− e − jω0t
X
(
jω
)
=
π
j
[δ
(ω
−
ω0
)
−
δ
(ω
+
ω0 )]
X ( jω) π
j
−ω0
−π 0
ω0
ω
j
[ ] 例2：x(t ) = cos ω 0t
=
1 2
e jω0t
+ e − jω0t
X ( jω ) = π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )]
也有相应的两组条件：
∫ 1.
若
∞
2
x(t) dt < ∞ 则 X ( jω ) 存在。
−∞
这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2. Dirichlet 条件
∫ a. 绝对可积条件 ∞ x (t )dt < ∞ −∞
b. 在任何有限区间内， x(t)只有有限个极值点，
且极值有限。
c. 在任何有限区间内， x(t)只有有限个第一类间
激响应 h(t)才能完全描述一个LTI系统的特性，δ (t)
才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
4. 矩形脉冲:
x(t)
=
⎧1 ⎩⎨0
t < T1 t >T
x(t)
1
t
−T1
T1
∫ X ( jω ) = T1 e − jωt dt = 2 sin ω T1 = 2T1 sin ω T1
−T1
ω
1
t
−T1 0 T1
π
T1
ω
0
x(t)
1
t
−2T1
0
2T1
X( jω)
4T1
π
2 T1
ω
0
可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。
5.
X ( jω ) =
⎧1 ⎩⎨0
ω < W (称为理想低通滤波器) ω >W
x(t)
=
1
2π
W
∫−W
X(
jω)e
jωt dω
=
sinWt
πt
=
W
π
Sa(Wt)
=
t
X ( jω ) =∞∑Fra bibliotek2 sin
2π
T0
kT 1
δ (ω
− 2π
k)
k = −∞
k
T0
X( jω)
2T1 = 1 T0 2
••
2π • •
ω
T0
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
Properties of the Continuous-Time Fourier Transform 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示
由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是 集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都 具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号 时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有 效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的 频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义 带宽。通常有如下定义带宽的方法:
1. X ( jω) 下降到最大值的 1 2 时对应的频率范围, 此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。
三.常用信号的傅立叶变换：
x (t )
1. x(t) = e−atu(t), a > 0
1
∫ X( jω) = ∞e−ate−jωtdt = 1
−∞
a + jω
0
t
X( jω) = 1
∠ X( jω) = −tg−1 ω
a2 +ω2
a
∠X( jω)
X( jω)
1/ a
−a 0
1 2a
ω a
π /2
• 若x(t)是实信号，则 x(t) = x∗(t)
∫ x(t ) = 1 ∞ X ( jω )e jωtdω
2π −∞
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频 谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信 号频谱的包络。
二. 傅立叶变换的收敛
既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶 级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得 来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。
到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，
非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法
的不一致，在某些情况下, 会给我们带来不便。但
由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直
接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。
考查 X ( jω ) = 2πδ (ω − ω0 )所对应的信号
∫ ∫ x(t
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换
Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 T0 增大时，频谱的幅度随 T0 的增大而下降；谱线 间隔随 T0 的增大而减小；但频谱的包络不变。
a e jkω0t k
k =−∞
就有
∞
X ( jω ) = 2π ∑ akδ (ω − kω0 )
k =−∞
周期信号的傅立叶变换表示
这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组
成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，
其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 ak 。
[ ] 例1： x(t ) = sin ω 0t
结论：实偶信号的傅立叶 变换是实偶函数。此时可以 用一幅图表示信号的频谱。
2 1a
X ( jω)
a
ω
−a
a
3. x(t) = δ (t)
δ (t)
∫ X( jω) = ∞ δ (t)e−jωtdt = 1 −∞
0
t
X( jω)
1
ω
0
这表明δ (t)中包括了所有的频率成分，且所有频
率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲
由于ak
=
2T1 T0
siknωkω0T01T1也随
T0
增大而减小，并最
终趋于0，考查 T0ak 的变化，它在 T0 → ∞ 时应该
是有限的。
于是，我们推断出:当T0 → ∞ 时，离散的频谱将
演变为连续的频谱。
∫ 由 T0ak =
T0 / 2 x~(t )e− jkω0t dt
−T0 / 2
如果令
信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和 运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。
1. 线性: Linearity 若 x(t) ↔ X( jω), y(t) ↔Y( jω) 则 ax(t) + by(t) ↔ aX( jω) + bY( jω)
2. 时移: Time Shifting 若 x(t) ↔ X( jω) 则 x(t − t0 ) ↔ X( jω)e− jωt0
2. 对包络是 Sa(x) 形状的频谱，通常定义主瓣宽
度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。
以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出， 脉宽乘以带宽等于常数C (脉宽带宽积)。这清楚地 反映了频域和时域的相反关系。
4.2 周期信号的傅立叶变换
The Fourier Transformation of Periodic Signals
断点。
应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分
条件。
sint
这两组条件并不等价。例如：
是平方可积
t
的，但是并不绝对可积。
和周期信号的情况一样，当 x(t) 的傅立叶变换存 在时，其傅立叶变换在 x(t)的连续处收敛于信号本
身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断 点附近会产生Gibbs 现象。
X ( jω)
2π
1
T
t
− 2T −T 0 T 2T
ω
−2π 0 2π
TT
x(t) =
∞
∑δ
(t
−
nT)
↔X
(
jω
)
=
2π
∞
∑
δ
(ω
−
2π
k
)
k=−∞
T k=−∞
T
例4. 周期性矩形脉冲
x(t)
ak
=
2T1 T0
Sa ( 2π
T0
kT1 )
=
sin
2π
T0
T1k
k1π
1
−T0 −T1 0
T1 T0
ω T1
=
2T1 Sa (ω T1
显然，将X (
) = 2T1
jω )中的
Sinc (ω T1 ) π
ω 代之以kω0再乘以
1 T0
，即
是相应周期信号的频谱
ak
=
2T1 T0
Sa (kω 0T1 )
=
2T1 T0
sin kω 0T1 kω 0T1
不同脉冲宽度对频谱的影响
X ( jω)
x(t)
2 T1
=1 T0
∞
X(jkω0)ejkω0t
k=−∞
=1
2π
∞
X(
k=−∞
jkω0)ejkω0tω0
当 T0
→ ∞ 时，
x~(t ) →
x(t ),ω 0
=
2π
T0
→ dω ,
kω0 → ω ∑ →∫
于是有：