数值传热学2
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MOE KLTFSE
2.1 网格生成（区域离散化）
2.1.1 区域离散化的任务及方法分类
1.区域离散化的任务
将所计算的区域分割成许多不重叠的子区域，确 定每个子区域中节点的位置以及所代表的控制容积。 离散结果得出五种几何信息： (1) 节点（node) :所求解未知量的位置； (2) 控制容积（control volume):实施守恒定律的最 小几何单位； (3) 界面（interface) :控制容积的分界位置;
n i n i 1
n n n i 1 a i 1 i b x x x
25/41
MOE KLTFSE
2. 设局部型线为二次函数－可导出二阶截差表达式
( x0 x, t ) a bx cx
原点设在
n i
2
x0 处， 则
n i1 2 n i1 2
t
显式 explicit 隐式 implicit C-N格式 Crank-Nicolson
O(t )
O(t )
O(t )
2
23/41
MOE KLTFSE
2. 一维模型方程的显式格式 精确形式
t 2x (i 1, n) 2 (i, n) (i 1, n) S (i, n) HOT 2 x
教材表2-1
21/41
MOE KLTFSE
定性判别导数的差分表达式正确与否的方法： （1)量纲是否正确－与导数本身一致； （2)均匀场的各阶导数应为零。
Rule of Thumb
22/41
MOE KLTFSE
2.2.3 一维模型方程的有限差分离散表示式 1. 非稳态问题空间导数差分的计算时层 Taylor展开点
列无序，邻点间无固定的连接关系模式，邻点间 的连接关系的生成与存储是网格生成的主要内容。
结构化网格（a)
5个单元
结构化网格（b)
非结构化网格
6个单元 7/41
MOE KLTFSE
结构化与非结构化均有内接点与外节点两种布置。
（3）结构化网格的内接点与外节点法
(a) 外节点法：节点位于子区域的角顶；控制容积界 面位于两节点之间；生成过程：先节点后界面；又称 Practice A， 又称单元顶点法（cell-vertex）。
MOE KLTFSE
数值传热学
(Numerical Heat Transfer)
第二章 计算区域及控制方程的离散
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流科学与工程教育部重点实验室 CFD-NHT-EHT CENTER 2011年9月19日,西安
1/41
MOE KLTFSE
第 2 章教学目录
方法A 边界节点代表半个CV
方法B 边界节点代表零个CV
(b)网格非均分时节点作为控制容积的代表方法B更合理 方法A 方法B
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MOE KLTFSE
(c)网格非均分时，方法A可以保证界面导数的离散 精度
界面位于两节点之间
界面偏离两节点中间位置
E P ( )e ( x)e x
10/41
内节点法网格生成过程
MOE KLTFSE
2.1.4 结构化网格内节点与外节点法的比较 (a)边界节点所代表的控制容积不同
( x, t ) 在（i+1,n)的值
t
对（i,n)点做Taylor展开：
2
2
x 2 (i 1, n) (i, n) )i ,n x 2 )i ,n x ..... x x 2!
(i 1, n) (i, n) x 2 ) i ,n ( 2 )i ,n ... x x 2 x
x ；界面间距离－ x 。
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MOE KLTFSE
节点间距
网格线
界面
界面间距
2.1.3 区域离散方法简介 （1）结构化网格(structured grid)：节点位置排列 有序，邻点间连接关系的模式固定不变。
6/41
MOE KLTFSE
（2）非结构化网格(unstructured grid)：节点位置排
子区域
控制容积
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MOE KLTFSE
(b) 内节点法：节点位于子区域的中心；子区域即为 控制容积；生成过程：先界面，后节点，又称 Practice B, 又称单元中心法（cell-centered）。
子区域即为控制容积
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MOE KLTFSE
13/41
MOE KLTFSE
Int. Journal Heat & Fluid Flow, 1993, 14(3):246253。
Int. Journal Numerical Methods in Fluids, 1998, 28: 1371-1387。
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25
78×12×10
Fp
15/41
MOE KLTFSE
2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法 2.2.1 一维模型方程 2.2.2 由Taylor 展开法导出导数的差分表示式 2.2.3一维模型方程的有限差分离散表示式 2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式
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2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法 2.2.1 一维模型方程（ 1-D model equation ） 一维模型方程是一维非稳态有源项的对流-扩 散方程，具有四个特征项，便于离散方法的研讨。 非守恒型 守恒型
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(4) 网格线（grid lines) : 沿坐标方向相邻节点连接 成的曲线簇。 (5) 节点间相互关系: 记录每个节点的左邻右舍。
（节点之间的相互影响在方程离散步骤中确定）。
2. 区域离散方法分类 (1) 按照节点间的关系：结构化网格与非结构化网格 。 (2) 按照节点的位置：内接点法与外界点法 。 2.1.2 网格系统表示方法 网格线－节点间连线，用实线表示；界面为虚线； 节点间距离－
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随空间自变量的变化型线 型线 型线
分段线性
阶梯逼近
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piece-wise linear step-wise approximation
n i 2 n i1
26/41
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3. 多项式拟合方法多用于边界条件处理 例题2－1 已知：温度 Ti ,1 , Ti ,2 , Ti ,3 导出y向具有二阶截差的边界热流表达式。 解：设y＝0处温度呈二次曲线
3 O ( y ) T ( x, y ) a by cy ,
n i
n i 1
, O(x)
in1 in1 2 ) , O ( x ) 中心差分： i ,n 2x x
2. 一、二阶导数的各种差分表达式。 表达差分结构的格式图案（stencil)
构筑差分表达式的位置； 构筑差分表达式所用到的节点。
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2.1 网格生成（区域离散化） 2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟 合法 2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2/41
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2.1 网格生成（区域离散化）
2.1.1 区域离散化的任务及方法分类 2.1.2 网格系统表示方法 2.1.3 不同区域离散方法简介 2.1.4 结构化网格内接点与外节点法的比较 2.1.5 网格独立解
( ) u ( ) S t x x x
FDM采用
( ) ( u ) ( ) S FVM采用 t x x x
瞬态 对流 扩散 源项
17/41
“麻雀虽小，五脏俱全！”
MOE KLTFSE
2.2.2 由Taylor 展开法导出导数的差分表示式 1. 一阶导数的差分表达式 将函数
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2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2.3.1 控制容积积分法实施步骤 2.3.2 两种常用型线 2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散 2.3.4 FVM中型线假设的讨论 2.3.5 平衡法导出离散方程 2.3.6 两类导出离散方程方法的比较
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24
142×12×10
23 22
Nu
21 20 19 0 20000 40000
142×22×10 142×32×20
60000 80000 100000
International Journal of Heat Mass Transfer, 2007, 50:1163-1175
Grids number
2
Ti ,1 a, Ti ,2 a by cy 2 , Ti ,3 a 2by 4cy 2
3Ti ,1 4Ti ,2 Ti ,3 由此得： b 2y T 解出： qb ) y0 -b (3Ti,1 4Ti,2 Ti,3 ) ,O(y2 ) 2y y
2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2.3.1 控制容积积分法实施步骤
1. 将守恒型的方程对控制容积做积分； 2. 选定被求函数及其一阶导数对时间的变化型线； 3. 完成积分，整理成相邻节点间未知量的代数方程。
2.3.2 两种常用型线
型线－被求函数随自变量的局部变化方式， (profile, shape function) 型线本是所求的内容，近似求解需先假定。
a, a bx cx , a bx cx
b
n i 1
n i 1
2x
n i1 n i1
, c
2
2
n i 1
2x
n i1
n i 2
n i 1
2 b 2c , , 2 x x x 2x
可以保持二阶精度
E P ( )e ( x)e x
低于二阶精度
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2.1.5 网格独立解 实际计算时，网格生成并非一蹴而就，要经过 反复调试与比较； 复杂区域的网格生成可能占总计算时间的大部 分,网格的质量对计算的精度有影响较大。网格生成 方法已成为数值计算中相对独立的部分，称为网格 生成技术(grid generation technique)； 当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对 数值计算结果基本上没有影响时所得到的数值解称 为网格独立解（grid-independent solution)。
(i, n 1) (i, n)
u
(i 1, n) (i 1, n)
差分表达式
t 2x n n in 2 2 n 1 i i 1 Si , O(t , x ) 2 x
in1 in
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ u
n in 1 i 1
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O ( x ) 称为截断误差, truncation error，表示：
( i 1, n ) ( i , n ) 随 x 的趋于零，用 代替 )i ,n 的误差 x x
(i 1, n) (i, n) )i ,n O(x) x x
差分方程 截断误差
(20110914)
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2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式 对函数的局部变化型线作出假设，导出差分表达式。 1. 设局部型线为线性函数－可导出一阶截差表达式
( x0 x, t ) a bx
原点设在
x0 处， 则
a, a bx,
Kx ， K
与 x 无关。
x 的方次称为截差的阶数（order of TE)。
用数值计算的近似解 in 代替精确解 (i, n)
)i , n 得向前差分： x
in1 in
x
, O(x)
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)i , n 向后差分： x x
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2.1 网格生成（区域离散化）
2.1.1 区域离散化的任务及方法分类
1.区域离散化的任务
将所计算的区域分割成许多不重叠的子区域，确 定每个子区域中节点的位置以及所代表的控制容积。 离散结果得出五种几何信息： (1) 节点（node) :所求解未知量的位置； (2) 控制容积（control volume):实施守恒定律的最 小几何单位； (3) 界面（interface) :控制容积的分界位置;
n i n i 1
n n n i 1 a i 1 i b x x x
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2. 设局部型线为二次函数－可导出二阶截差表达式
( x0 x, t ) a bx cx
原点设在
n i
2
x0 处， 则
n i1 2 n i1 2
t
显式 explicit 隐式 implicit C-N格式 Crank-Nicolson
O(t )
O(t )
O(t )
2
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2. 一维模型方程的显式格式 精确形式
t 2x (i 1, n) 2 (i, n) (i 1, n) S (i, n) HOT 2 x
教材表2-1
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定性判别导数的差分表达式正确与否的方法： （1)量纲是否正确－与导数本身一致； （2)均匀场的各阶导数应为零。
Rule of Thumb
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2.2.3 一维模型方程的有限差分离散表示式 1. 非稳态问题空间导数差分的计算时层 Taylor展开点
列无序，邻点间无固定的连接关系模式，邻点间 的连接关系的生成与存储是网格生成的主要内容。
结构化网格（a)
5个单元
结构化网格（b)
非结构化网格
6个单元 7/41
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结构化与非结构化均有内接点与外节点两种布置。
（3）结构化网格的内接点与外节点法
(a) 外节点法：节点位于子区域的角顶；控制容积界 面位于两节点之间；生成过程：先节点后界面；又称 Practice A， 又称单元顶点法（cell-vertex）。
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数值传热学
(Numerical Heat Transfer)
第二章 计算区域及控制方程的离散
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流科学与工程教育部重点实验室 CFD-NHT-EHT CENTER 2011年9月19日,西安
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第 2 章教学目录
方法A 边界节点代表半个CV
方法B 边界节点代表零个CV
(b)网格非均分时节点作为控制容积的代表方法B更合理 方法A 方法B
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(c)网格非均分时，方法A可以保证界面导数的离散 精度
界面位于两节点之间
界面偏离两节点中间位置
E P ( )e ( x)e x
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内节点法网格生成过程
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2.1.4 结构化网格内节点与外节点法的比较 (a)边界节点所代表的控制容积不同
( x, t ) 在（i+1,n)的值
t
对（i,n)点做Taylor展开：
2
2
x 2 (i 1, n) (i, n) )i ,n x 2 )i ,n x ..... x x 2!
(i 1, n) (i, n) x 2 ) i ,n ( 2 )i ,n ... x x 2 x
x ；界面间距离－ x 。
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节点间距
网格线
界面
界面间距
2.1.3 区域离散方法简介 （1）结构化网格(structured grid)：节点位置排列 有序，邻点间连接关系的模式固定不变。
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（2）非结构化网格(unstructured grid)：节点位置排
子区域
控制容积
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MOE KLTFSE
(b) 内节点法：节点位于子区域的中心；子区域即为 控制容积；生成过程：先界面，后节点，又称 Practice B, 又称单元中心法（cell-centered）。
子区域即为控制容积
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13/41
MOE KLTFSE
Int. Journal Heat & Fluid Flow, 1993, 14(3):246253。
Int. Journal Numerical Methods in Fluids, 1998, 28: 1371-1387。
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MOE KLTFSE
25
78×12×10
Fp
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2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法 2.2.1 一维模型方程 2.2.2 由Taylor 展开法导出导数的差分表示式 2.2.3一维模型方程的有限差分离散表示式 2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式
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2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法 2.2.1 一维模型方程（ 1-D model equation ） 一维模型方程是一维非稳态有源项的对流-扩 散方程，具有四个特征项，便于离散方法的研讨。 非守恒型 守恒型
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(4) 网格线（grid lines) : 沿坐标方向相邻节点连接 成的曲线簇。 (5) 节点间相互关系: 记录每个节点的左邻右舍。
（节点之间的相互影响在方程离散步骤中确定）。
2. 区域离散方法分类 (1) 按照节点间的关系：结构化网格与非结构化网格 。 (2) 按照节点的位置：内接点法与外界点法 。 2.1.2 网格系统表示方法 网格线－节点间连线，用实线表示；界面为虚线； 节点间距离－
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MOE KLTFSE
随空间自变量的变化型线 型线 型线
分段线性
阶梯逼近
30/41
piece-wise linear step-wise approximation
n i 2 n i1
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MOE KLTFSE
3. 多项式拟合方法多用于边界条件处理 例题2－1 已知：温度 Ti ,1 , Ti ,2 , Ti ,3 导出y向具有二阶截差的边界热流表达式。 解：设y＝0处温度呈二次曲线
3 O ( y ) T ( x, y ) a by cy ,
n i
n i 1
, O(x)
in1 in1 2 ) , O ( x ) 中心差分： i ,n 2x x
2. 一、二阶导数的各种差分表达式。 表达差分结构的格式图案（stencil)
构筑差分表达式的位置； 构筑差分表达式所用到的节点。
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2.1 网格生成（区域离散化） 2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟 合法 2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
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2.1 网格生成（区域离散化）
2.1.1 区域离散化的任务及方法分类 2.1.2 网格系统表示方法 2.1.3 不同区域离散方法简介 2.1.4 结构化网格内接点与外节点法的比较 2.1.5 网格独立解
( ) u ( ) S t x x x
FDM采用
( ) ( u ) ( ) S FVM采用 t x x x
瞬态 对流 扩散 源项
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“麻雀虽小，五脏俱全！”
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2.2.2 由Taylor 展开法导出导数的差分表示式 1. 一阶导数的差分表达式 将函数
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2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2.3.1 控制容积积分法实施步骤 2.3.2 两种常用型线 2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散 2.3.4 FVM中型线假设的讨论 2.3.5 平衡法导出离散方程 2.3.6 两类导出离散方程方法的比较
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142×12×10
23 22
Nu
21 20 19 0 20000 40000
142×22×10 142×32×20
60000 80000 100000
International Journal of Heat Mass Transfer, 2007, 50:1163-1175
Grids number
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Ti ,1 a, Ti ,2 a by cy 2 , Ti ,3 a 2by 4cy 2
3Ti ,1 4Ti ,2 Ti ,3 由此得： b 2y T 解出： qb ) y0 -b (3Ti,1 4Ti,2 Ti,3 ) ,O(y2 ) 2y y
2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2.3.1 控制容积积分法实施步骤
1. 将守恒型的方程对控制容积做积分； 2. 选定被求函数及其一阶导数对时间的变化型线； 3. 完成积分，整理成相邻节点间未知量的代数方程。
2.3.2 两种常用型线
型线－被求函数随自变量的局部变化方式， (profile, shape function) 型线本是所求的内容，近似求解需先假定。
a, a bx cx , a bx cx
b
n i 1
n i 1
2x
n i1 n i1
, c
2
2
n i 1
2x
n i1
n i 2
n i 1
2 b 2c , , 2 x x x 2x
可以保持二阶精度
E P ( )e ( x)e x
低于二阶精度
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2.1.5 网格独立解 实际计算时，网格生成并非一蹴而就，要经过 反复调试与比较； 复杂区域的网格生成可能占总计算时间的大部 分,网格的质量对计算的精度有影响较大。网格生成 方法已成为数值计算中相对独立的部分，称为网格 生成技术(grid generation technique)； 当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对 数值计算结果基本上没有影响时所得到的数值解称 为网格独立解（grid-independent solution)。
(i, n 1) (i, n)
u
(i 1, n) (i 1, n)
差分表达式
t 2x n n in 2 2 n 1 i i 1 Si , O(t , x ) 2 x
in1 in
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ u
n in 1 i 1
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O ( x ) 称为截断误差, truncation error，表示：
( i 1, n ) ( i , n ) 随 x 的趋于零，用 代替 )i ,n 的误差 x x
(i 1, n) (i, n) )i ,n O(x) x x
差分方程 截断误差
(20110914)
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2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式 对函数的局部变化型线作出假设，导出差分表达式。 1. 设局部型线为线性函数－可导出一阶截差表达式
( x0 x, t ) a bx
原点设在
x0 处， 则
a, a bx,
Kx ， K
与 x 无关。
x 的方次称为截差的阶数（order of TE)。
用数值计算的近似解 in 代替精确解 (i, n)
)i , n 得向前差分： x
in1 in
x
, O(x)
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)i , n 向后差分： x x