2019世纪金榜理科数学210

【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①y′=f′(x)在点x=x0处的函数值就是函数y=f(x)在点x=x0处 的导数值;
②求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0); ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点;
④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线; ⑤若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .
x
2.下列求导过程
① （ 1 x ） x 1 2 ; ② x 2 1 x ; ③ l o g a x （ l l n n x a ） x l 1 n a ;
④（sin） cos.
3
3
其中正确的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.①正确，由求导公式可知（1） x1
x
x11
1 x2
;
②正确， x （ x1 2） 1x1 21 1 ; 2 2x
③正确;④错误，因为sin 为 一常数，所以(sin )′= 0,故
3
3
正确的只有①②③三个.
3.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为 ( )
A.2(x2-a2)
B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2)
D.3(x2+a2)
1
的值为
x2 x 2
()
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)利用定义求函数y= 4 的导数.
x2
【解题视点】(1)根据导数的定义，将 f x 表 3示成平均变
x2
化率的形式，根据定义求解.
(2)先求Δy， y 再, 求出当Δx→0时的极限值.
x
【规范解答】(1)选C.令Δx=x-2,
则
f lim
x 3
6t2-gt,则v′(t)=12t-g,故当t=2s时,汽车的加速度是
v′(2)=12×2-10=14(m/s2).
5.(2019·大纲版全国卷)已知曲线y=x4+ax2+1在点处切线的斜
率为8,a= ( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
【解析】选D.由题意可知,点(-1,a+2)在曲线上,因为
y′=4x3+2ax,则4×(-1)3+2a×(-1)=8,解得a=-6.
=_△ l_ixm _ _0_f(_x_0_ _ _ _xx _) __f__x_0_.
x 0 x
(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是
在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的_切__线__的__斜__率__.相应地,切线 方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
1
x2 x 2
=limfx2f21
x 0
x
=f′(2)+1=2+1=3.
(2) yx 4 x2x 4 24 x 2 x x 2 x x x 2，
y4 x
2xx ，
x2xx2
所以 lx im 0 x y lx im 0[4x22 x x x x2]x 8 3.
【互动探究】在本例(1)中,若将题干中“x-2”变为
(1)[f(x)±g(x)]′=_f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)_.
(2)[f(x)·g(x)]′=_f_′__(_x_)_g_(_x_)_+_f_(_x_)_g_′__(_x_)_.
fxgxfxgx
(3)[ f x ] =
［gx］ 2 (wk.baidu.com(x)≠0).
g x
5.复合函数的导数 若y=f(u),u=g(x),则y′x=_y_′__u·__u_′__x_.
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f(x)=lnx
导函数 f′(x)=_0_ f′(x)=_α__x_α_-_1 f′(x)=_c_o_s_x_ f′(x)=_-_s_i_n_x_ f′(x)=_a_xl_n_a_ f′(x)=_e_x
1
f′(x)=_x _l n_a_
1
f′(x)=_x _
4.导数四则运算法则
【知识梳理】
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
△ _lix _m _0_f_(x _0 _ __ _ x_x )__f__x_0_= l i m y 为y=f(x)在x=x0处的导数，记作
x 0 x
f′(x0)或 y |xx0 , 即f′(x0)= li m y
x
其中正确的是 ( )
A.①② B.②③④ C.①③⑤ D.①③④ 【解析】选C.①正确.根据导数的定义知其正确. ②错误.应先求f′(x),再求f′(x0). ③正确.如y=1是曲线y=sinx的切线,但其交点个数有无数个. ④错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物 线y2=x的切线. ⑤正确.f′(x)=(f′(a)x2+lnx)′=(f′(a)x2)′+(lnx)′ =2xf′(a)+ 1.
2.函数y=f(x)的导函数
f(xx)fx
称函数f′(x)=
lim
△x0
x
为函数y=f(x)的导函数,导
函数有时也记作y′.
3.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax(a>0,且a≠1)
f(x)=ex
【解析】选C.f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).
4.某汽车的路程函数是s(t)=2t3- 1 gt2(g=10m/s2),则当t=2s
2
时,汽车的加速度是 ( )
A.14m/s2
B.4m/s2
C.10m/s2
D.-4m/s2
【解析】选A.由题意知,汽车的速度函数为v(t)=s′(t)=
“2(x-2)”,其他条件不变,则结果如何?
【解析】令Δx=x-2,则 lim f x 3 1 x2 2x 2
1 l i m f ( x 2 ) f 2 1 1 f 2 1 1 2 1 2 .
2 x 0 x
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【规律方法】 1.利用定义法求导数流程
6.(2019·济南模拟)曲线y= x 在点(-1,-1)处的切线方程
x2
为
.
【解析】 y （xx2） 故xy2′2|x=2-,1=2,
所以切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
答案:y=2x+1
考点 导数的定义及应用
【典例1】(1)已知f′(2)=2,f(2)=3,则
f lim
x
3