现代控制理论6.2 反馈控制与极点配置

� 相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为 b1 s n−1 + ... + bn Gk ( s ) = n s + ( a1 + kn ) s n −1 + ... + (a n + k1 )
f k( s ) = s n + (a1 + kn ) s n−1 + ... + (an + k1 )
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。
SISO系统状态反馈极点配置方法(7/10)—例3
� 例6-3 已知系统的传递函数为 10 G( s ) = s( s + 1)(s + 2) 试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点 配置在-2和-1±j上。 � 解 1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。 � 因此,可选择能控规范II形来建立被控系统的状态空间模 型。 � 故有
SISO系统状态反馈极点配置方法(5/10)
3. 求反馈律: � 因此开环特征多项式
f(s)=s2-2s-5, 而由期望的闭环极点-1±j2所确定的期望闭环特征多项式 f*(s)=s2+2s+5,
则得状态反馈阵K为 ~ 1 * K = K Tc− = [ a 2 2 - a2
1 a1* - a1 ]Tc− 2
状态反馈极点配置定理(3/11)
� 下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可完 全类似于SISO的情况完成证明过程。 � 证明过程的思路为: 分别求出开 环与闭环系 统的传递函 数阵 比较两传 递函数阵 的特征多 项式 建立可 极点配 置的条 件
状态反馈极点配置定理(4/11)
证明过程: � 设SISO被控系统∑(A,B,C)为能控规范II形,则其各矩阵分 别为 1 ... 0 ⎤ ⎡ 0 ⎡0⎤ ⎢ ... ⎢...⎥ ... ... ... ⎥ ⎥ A=⎢ B=⎢ ⎥ 0 ... 1 ⎥ ⎢ 0 ⎢0⎥ ⎢− a − a ⎢1⎥ ... − a1 ⎥ n −1 ⎣ ⎦ ⎣ n ⎦ C = [bn bn−1 ... b1 ] 且其传递函数为
状态反馈极点配置定理(6/11)
� 如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为
f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an*
那么,只需令fK(s)=f*(s),即取
a1+kn=a1* … an+k1=an*
则可将状态反馈闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点配置在特征 多项式f*(s)所规定的极点上。 � 即证明了充分性。 � 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为
表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点。 � 当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置。 � 因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重 合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。 � 根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态 不能观。
状态反馈极点配置定理(11/11)
1 ⎡- 1 2 ⎤ = [5 - (-5) 2 - (-2)] × ⎢ 6 ⎣- 1 8 ⎥ ⎦ = [- 7 / 3 26 / 3] 则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
SISO系统状态反馈极点配置方法(6/10)
⎡2⎤ 1 ⎡11 −58 ⎤ ̃′ = ⎢ ̃ x u x + ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎣ 4 −17 ⎦ ⎣1 ⎦
� 上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置 的充分必要条件,而且给出了求反馈矩阵K的一种方法。对此, 有如下讨论: 1. 由上述定理的充分性证明中可知,对于SISO线性定常连续 系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范II形, 则相应反馈矩阵为
K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1]
状态反馈极点配置定理(2/11)
� 定理3-22 对线性定常系统∑(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能 使闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为 被控系统∑(A,B,C)状态完全能控。 □ � 证明 (1) 先证充分性(条件⇒结论)。 � 即证明,若被控系统∑(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统∑K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。 � 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统∑(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形。 � 不失一般性,下面仅对能控规范II形证明充分性。
b1 s n −1 + ... + bn G ( s) = n s + a1 s n−1 + ... + a n
状态反馈极点配置定理(5/11)
� 若SISO被控系统∑(A,B,C)的状态反馈阵K为 K=[k1 k2 … kn] 则闭环系统∑K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为 1 ⎡ 0 ⎢ ... ... A - BK = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢- a - k - a - k ⎣ n 1 n−1 2 ... 0 ⎤ ... ... ⎥ ⎥ ... 1 ⎥ ... - a1 - k n ⎥ ⎦
状态反馈极点配置定理(8/11)
证明过程: � 被控系统∑(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 ̃ ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型: x=Pc x
̃ ̃1′ ⎤ ⎡ A ⎡x = ⎢ 11 ⎢x ⎥ ′⎦ ⎣ 0 ⎣ ̃2 ̃ ⎤⎡x ̃ ⎤ ̃1 ⎤ ⎡ B A 12 + ⎢ 1⎥ u ⎥ ⎢ ⎥ ̃ ⎣x ̃2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ A 22 ⎦
̃ = T −1 AT A c2 c2
1 ̃ = Tc− B 2 B
对能控规范II形Σ~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下 * * * ̃ = ⎡ an K − a a − a ⋯ a n n −1 n −1 1 − a1 ⎤ ⎣ ⎦ 因此,原系统∑的相应状态反馈阵K为
̃ K = KT c2
SISO系统状态反馈极点配置方法(3/10)—例2
K=[k1 k2 … kn]
其中
k i = a* n − i+1 − an − i+1
状态反馈极点配置定理(7/11)
(2) 再证必要性(结论⇒条件)。 � 即证明,若被控系统∑(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系 统是状态完全能控的。 � 采用反证法。 � 即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任 意的极点配置。 证明过程的思路为: 对状态不完 全能控开环 系统进行能 控分解 对能控分 解后的系 统进行状 态反馈 其完全不能 控子系统不 能进行极点 配置 与假设 矛盾,必 要性得 证
� 本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点。 � 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法。
反馈控制与极点配置 (2/5)
� 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 � 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 � 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 � 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还 是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法。 � 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上。
� 由于线性变换不改变系统特征值,因此系统∑(A,B,C)的极 点并不是都能任意配置的。 � 这与前面假设矛盾,即证明被控系统∑可任意极点配置,则 是状态完全能控的。 � 故必要性得证。
状态反馈极点配置定理(10/11)
� 由能控规范II形的状态反馈闭环系统的传递函数
b1 s n −1 + ... + bn Gk ( s ) = n s + ( a1 + kn ) s n −1 + ... + (a n + k1 )
̃1是完全能控的;状态变量 x ̃ 2是完全不能控的。 其中状态变量 x
� 对状态反馈闭环系统∑K(A-BK,B,C)作同样的线性变换,有
̃ −B ̃K ̃ ̃1′ ⎤ ⎡ A ⎡x 11 1 1 =⎢ ⎢x ⎥ 0 ⎣ ̃′ 2⎦ ⎣ ̃ −B ̃K ̃ ⎤ x ̃⎤ ̃ ⎡B A 12 1 2 ⎡ 1⎤ 1 + v ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ̃ A22 ⎦ ⎣ ̃2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ̃ ] = KP K 2 c
Ch.6 线性系统综合
目录(1/1)
目
� � � � � � � � �
录
Hale Waihona Puke Baidu
概述 6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 反馈控制与极点配置 6.3 系统镇定 6.4 系统解耦 6.5 状态观测器 6.6 带状态观测器的闭环控制系统 6.7 Matlab问题 本章小结
反馈控制与极点配置 (1/5)
6.2 反馈控制与极点配置
其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望 的闭环系统特征多项式的系数。
SISO系统状态反馈极点配置方法 (2/10)
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 ̃, 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x ̃, B ̃ ) ,即有 ̃ (A 将系统∑(A,B)变换成能控规范II形 Σ
p2 p1 p3
反馈控制与极点配置 (4/5)
� 基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: � 给定线性定常连续系统
̇ = Ax + Bu x
确定反馈控制律
u = − Kx + v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
λi ( A − BK ) = si* , i = 1,2,..., n
� 下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。 � 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
⎡ −1 −2 ⎤ ⎡2⎤ x′ = ⎢ x u + ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1 −3⎦ ⎣1⎦
求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。
SISO系统状态反馈极点配置方法(4/10)
� 解 1： 判断系统的能控性。 � 开环系统的能控性矩阵为 ⎡2 - 4⎤ [ B AB] = ⎢ ⎥ ⎣1 1 ⎦ 则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。 2. 求能控规范II形:
T1 = [0 1][ B
−1 c2
AB]−1 = [− 1 / 6 1 / 3]
⎡ T1 ⎤ 1 ⎡− 1 2 ⎤ T =⎢ ⎥= ⎢ ⎥ T A − 1 8 6 ⎣1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡0 1 ⎤ ~ −1 A = Tc 2 ATc 2 = ⎢ ⎥ 5 2 ⎣ ⎦
⎡0⎤ ~ −1 B = Tc 2 B = ⎢ ⎥ ⎣1⎦
反馈控制与极点配置 (5/5)
� 下面分别讨论: � 状态反馈极点配置定理 � SISO系统状态反馈极点配置方法 � MIMO系统状态反馈极点配置方法 � 输出反馈极点配置
状态反馈极点配置定理(1/11)
6.2.1 状态反馈极点配置定理
� 在进行极点配置时,存在如下问题: � 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的。 � 下面的定理就回答了该问题。
其中
̃ [K 1
状态反馈极点配置定理(9/11)
~ , � 由上式可知 状态完全不能控子系统的系统矩阵 A22的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置。 ~ � 虽然状态完全能控子系统的 A11的特征值可以任意配 ̃ 的特 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 征值个数。
̃, B ̃ ) 的所有极点并不是都能任意配置。 ̃ (A ̃,C � 因此,系统 Σ
反馈控制与极点配置(3/5)
� 由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数; 3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求。
� 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。 � 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。 � 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状态能观性。
SISO系统状态反馈极点配置方法(1/10)
6.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法