利用基本图形解决圆的几个问题初中阶段的圆

利用基本图形解决圆的几个问题

松岙镇初中 孙林岳

内容提要：初中数学的知初识内容中，圆的基本性质、圆与直线的位置关系，圆与圆的位置关系及其这几个方面知识结合三角函数、相似三角形、函数等知识应用是重点也是难点。下面就对本人在教学实践中所得到的经验给予总结。初中圆知识的复习基本可以分为四块：1、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。2、答案不唯一性的讨论。3、变化中寻找不变的量或关系。4、圆在综合题中的应用。以上这四块知识应该分块系统地进行复习，并且在复习中注意题目的演变和应用。再配合相应的练习，效果应该会更加的好。

关键词：圆 基本图形 不唯一性 变化

正文 初中数学的知识内容中，圆的基本性质、圆与直线的位置关系，圆与圆的位置关系及其这几个方面知识结合三角函数、相似三角形、函数等知识应用是重点也是难点。特别是九年级的数学教师，考虑最多的肯定是如何系统有效地复习这部分知识。下面就对本人在教学实践中所得到的经验给予总结。初中圆知识的复习基本可以分为四块：1、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。2、答案不唯一性的讨论。3、变化中寻找不变的量或关系。4、圆在综合题中的应用。

一、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。

圆的基本知识主要可以分为：关于圆的定理，圆与点、线、其他圆位置关系两大块。

关于圆的基本定理可以从圆的两个主要性质中得到。1、圆的轴对称性—对称轴为直径所在的直线。根据这个性质可以方便的得到垂径定理。2、圆的旋转不变性—圆以圆心为旋转中心旋转任意角度能和原来的圆重合。由这个性质也可以容易的得到圆心角定理。再由圆心角定理推出圆周角定理。关于这几个定理的叙述和证明同学们都应该已经熟练地掌握。

圆与点、线、其他圆位置关系。这三种位置关系的关键就是分别讨论点与圆心之间的距离和半径的比较、圆心与直线的距离和半径的比较、圆心和圆心之间的圆心距和两圆半径关系的比较。结合在一起复习，就有对比性，学生容易掌握。 圆的基本图形主要就是对上面几个性质常规的应用，能够在一些复杂的图形中分析并找到经常应用的几个常规图形对于学生解题思路的形成和解题的速度都有很大的帮助。关于圆的基本图形有很多，下面几个图是我个人认为比较重要的。 上组图是单圆系列图。图（一）是典型的垂径定理应用的图，都应该非常熟练的掌握。后面五个图是一个系列的问题，可以用一个系统的方法来记忆。图（二），从圆外一点P 做☉O 的两条切线PA 、PB ，易证△PAO ≌△PBO ，从而得到PA=PB 。而当PB 这条线以P 为旋转中心向圆内旋转与圆有两个交点时可变为图（三），图（四）这两个图形，图（三）中，因为∠PAO=∠EAF=Rt ∠，可证 （一 A B P

O （二 A B

P C O （四 A B D P

C （五

C B

P D A （六E A O P

F （三

∠PAF=∠OAE=∠OEA ，所以△PAF ∽△PEA ，可得PA ×PA=PF×PE 。图（四）也可以证明△PAC ∽△PBA ，证明的过程可借助图（三）这个特殊情况，如图所示，根据上面图（三）的结论已知∠PAF=∠E ，又因为∠E=∠H ，

所以∠GAF=∠H ，所以△GAF ∽△GHA ，所以GA ×GA=GF ×GH ，

即在图（四）中有结论PA ×PA=PC ×PB 。再当图（四）中的

PA 这条线也以P 为旋转中心往圆内旋转与圆有两个交点时，

就变成了图（五）这个基本图形，从图中信息不难得到

∠PBC=∠PDA ，∠PAC=∠PDB ，∠PCA=∠PBD ，于是可证

△PBC ∽△PDA 、△PAC ∽△PDB ，根据任意一对三角形

相似都可以得到PA ×PB=PC ×PD 。图（六）则是圆外点P 跑到圆内时引出的两条弦，只要连接AC 、BD ，易的△APC ∽△DPB ，从而可得PA ×PB=PC ×PD 。经过上述这样系统的讲解后相信大多数学生对以上的几个基本图形中存在的量之间的关系都能有所掌握。单圆系列图还有下面这两个比较重要的基本图形，相对来说比较容易，不做详细的介绍。

下组图为双圆系列图： 图(七)是两个圆结合在一起比较常用的一个图形,这样的辅助线添法也可以在两圆外切,相交时使用.后面6个图也是一组系列图,可以系统的给学生讲授.图(八)是两个圆外切时候,过切点P 做一条直线分别交两个圆于A,B.如图连接圆

心和两条半径后,容易得到△AO1P ∽△BO2P,于是可知AP:BP=R1:R2.同理可证图(九)中当两圆内切时,△APO1∽△BPO2,同样有AP:BP=R1:R2.以变成下面两个图,根据上面的结论容易得到△APC ∽△BPD,AC//BD.交时,如图(十),有公共弦AB, 过B 做任意直线交两圆于C,D. 再连接AC,AD.也有同样的结论

AC:AD=R1:R2.该结论的证明可以 借助图(十一)这个特殊情况.

EF 垂直AB 于点B 时,容易得到AE,AF 都为直径,于是也有AE:AF=R1:R2.把图(十)和图(十一)结合在一起可得图(十二),从图中,根据圆周角定理可知∠EBC=∠EAC=∠DBF=∠DAF.再连接EC,DF 后如图(十三),因为AE,AF 都为直径,所以∠ACE=∠ADF=Rt ∠,可以推出△ACE ∽△ADF,于是有AC:AD=AE:AF=R1:R2.通过以上的讲解,大家不难发现当两个圆位置变化的过程中,有些量之间的关系始终都没有发生变化,能够从变化的过程中发现不变的量或关系,这也是学生需要掌握的一项重要能力.

以上两组图形的熟练掌握,并能在实际解题中善于发现这些基本图形,对学

G H P E F O A C O A P B B C A P O O2 O1 A B

P C D O1 O2 A B P A

B C D O1 O2 A B E F O1 O2 A B C E F O1 O2 O2 O1

A B P （七） （九） （八） （十） （十一） （十二）