柯西不等式

从上面的分析可知不等式 ② 与不等式① 有相 ,
② 同的意义 , 所以我们把不等式 叫做 柯西不等
式 ①的向量形式.
综上所述, 得
定理 2
柯西不 等 式的向量形式 设 , 是两
个向量, 则 | || || | , 当且仅当 是零向量 , 或存在实数 , 使 k 时, 等号成立. k
不等 式 ③叫做 二维 形式 的 le inequality ).
三角不等式( triang

定理 3 R , 那么 x y
2 1 2 1
二维形式的三角不等式
x y
2 2 2 2
设 x1 , y1 , x 2 , y 2
2 2

x1
x2 y1 y 2 .
3 y 的最小值是 D. 36 25
(B )
25 36
3 .函数 y 2 1 x
4 . 设实数 x , y 满足 3 x 值是 ______ 11
5 .若 a b 1 , 则 ( a 1 a
2
2 x 1的最大值为
2y
2
3 ______
6 , 则 P 2 x y 的最大
10 2 x
的最大值.
分析 利用不等式解决极值问 , 通常 题
设法在不等式一边得到 一个常数 并寻 , 找不等式取等号的条件 .这个函数的解 析式是两部分的和 若能化为ac bd 的 , 形式就能利用柯西不 等到式求其最 大 值.
解
函数的定义域为 x1 2
1 , 5 , 且
5 x
bd
ad bc ,
2
而 ad bc
0 , 因此
2
a
2
b
2
c
d
ac

2
.
①
①式中每个括号内都是两 项式, 通过后面的学
习会进一步认识二维形 式的含义 .
①式反映了 个实数的特定数量关系 4 , 不仅排列
形式上规律明显 具有简洁、对称的美感 , , 而且 在数学和物理中有重要 作用.它是柯西不等式
证明
2

2
x y
2 1
2 1 2

x y
2 2
2 2
2 2

2
x1 y 1 2
2 2
x1 y1
x2 y2 x2 y2
2 2
2
2
2
x1 y 1 2 | x1 x 2 y 1 y 2 | x 2 y 2
2 2 2
x1 y 1 2 ( x1 x 2 y 1 y 2 ) x 2 y 2 x 2 x1 x 2 x y 2 y 1 y 2 y
y 0,
y 5

5
2
2
2


x1

2


5 x

2

27 4 6 3 .
2 127 x1 5 5 x 时 , 等号 6 3.
当且仅当
27 回顾例2 的求 解过 程 , 可以体会其中式
成立 , 即 x
时函数取最大值
子变形的作用 提高利用柯西不等式解 , 题的能力 .
25
) (b
2
1 b
) 的最小值是
2
2 ______

2
,
当且仅当 ad bc 时 , 等号成立 .
思考 你能简明地写出定理 的证明吗? 1
根据二维形式的柯西不
a b
2 2
等式 , 容易得出

c d
2
2
a
2
b
2
c
2
d
2

2
ac
2
bd
2
2
2
| ac bd |,
2
a b
c d

|a | |b |
2
一
二维形式的柯西不等式
探究
a b 2aba, b为实数是我们非常
2 2
熟悉的不等式它反映了两个实数的平 , 方和 与乘积的大小关系现在考虑乘积 a b .
2 2

c
2
d
2
a, b, c, d为实数 ,它涉及到四个实
数 , 并且形式上也与平方和 有关 . 你能类比 a b 2ab 的推导过程, 研究一下关于它 的不等关系吗 ?
1 .若 a , b R , 且 a
2
b
2
10 , 则 a b 的取值范围是 B . 2 10 , 2 10 5,
2
(
C .
A.
A. - 2
5 ,2 10 ,
10
5
D .
C.
5

2

A)
2 .已知 x y 1 , 那么 2 x 5 6 B. 6 5
二维 向量的坐标表示不等式
| ac bd |
a b
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
c d .两边平方 ,
2
2
2
①式与
得 ac bd
2
a b
2
c
2
d
2
.
二维向
①
,
量相对 应, 所 以 称之为 二维形 式的柯 西不等 式.
这是二维形式的柯西不 二 维 形 式的柯西不等式 的不等式
等式 .由此可知
x1 x 2 y 1 y 2 ,
2 2
2 1 2 2 2 1 2 2
2
故
x1 y 1
2
2
x2 y2
2
2
x1
x 2 y1 y 2 .
2 2
证明中 ,哪一步用了柯西不等式 .
由于不等式 ③ 对于任何实数都成立 不妨用x1 x3 代 , x1 , 用y1 y3 代 y1 , 用x2 x3 代 x2 , 用 y2 y3 代 y2 , 代入不 等式 ③ , 得
例3
设a, b R , a b 1, 求证
1 a

1 b
4.
分析 问题中有a b 1这个条件,由于常 数 1的特殊性, 用 a b 去乘任何数或式子 , 都不会改变它们的值根据证明的需要可 , 以应用这个条件在本例中 注意到 . , 1 a 1 b
1 1 1 1 a b , 有了 a b , 就可以 a b a b 用柯西不等式了 .
x1 x3

2
y1 y3
2
x2 x3
2
y2 y3
2
x1 x2 2 y1 y2 2 .
④ 探究 请结合直角坐标系解释不等式 的几何意义 , . ④ 不等式 有明显的几何意义 仍被称为二维形式的 ,
三角不等式.
上面得出三个定 的过 程 , 分别讨论了二维形式柯 理 西不等式的数学意义、 几何背景及其在不等式 证明 中的应用 .下面继续结合不等式的 证明 介绍二维形式 , 柯西不等式的应用 .
设点P , P 的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 , 根据 1 2
OP P2 的边长关系 你能发现 x1 , y1 , x2 , y2这4 , 1 个实数蕴涵着何种大小 关系吗?
打开几何画板观察实验 .
y
y
P1 x 1 , y 1
P1 x 1 , y 1
2
对一个代数结果进行最 简单的诠释 往往要借助直 , 观的几何背景 .下面看一看柯西不等式 的几何意义 .
如图 3 . 1 1 , 设在平面直角坐 标系 xOy 中有向量 为 ,0 .
根据向量数量积
y
a , b ,

O
c , d
c , d , 与 之间的夹角
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
本例说明 在证明 , 不等式时 联系经 , 典不等式, 既可以 启发证明思路 又 , 可以简化运算所 . 以, 经典不等式是 数学研究的有力 工具 .
例 1 中哪 4 个数分 别对应柯西不等 式 ①中的 a , b , c , d ?
a
4
b
4
a
2
b
2
a , b
内积 的定
x
义 , 我们有 | || | cos ,
图 3 .1 1
所以 | | | || || cos | . 因为 | cos | 1 ,
所以 | | | || | . 用平面
② ② ,得
① 是向量形式
.如果向量 和
② 的坐标表示
. 如果向量
中有零向量
式取等号 量 , 则当且仅当
, 则 ad bc 0 , 以上不等
和 都不是零向
| cos | 1 , 即向量 和
共线时 , 以上不等式取等号
.这时存在非零实数
k,使
k .即 a , b k c , d .故 ad bc kcd kcd 0 .
分析
上面从几何角度发现了三角不等到式 ,
下面我们利用柯西不等 , 从代数的角度证明 式 这个不等式证明中 为了使用柯西不等式 . , , 需要 进行式子变形 设法构造两数平方和乘 , 另两数 平方和的形式, 例如构造出x
2 1
y
2 1
x
2 2
y
2 2
,
这 样 就能使用柯西不等式了 .

P2 x 2 , y 2
O O
x

x
P2 x 2 , y 2
图 3 .1 2
如图3.1 2, 根据两点间距离公式以 及三角形 的边长关系 容易发现 , x y
2 1 2 1
x y
2 2
2 2
x1 x2
2
y1 y2 , ③
2
当且仅当P , P 与原点O在同一直线上 并且点 , 1 2 P , P 在原点O两旁时,③ 式中的等号成立 . 1 2
2 2
展开这个乘积
,得 d
2
a
2
b
2
2
c
2
2
2

a c b d
2 2
2
2
2
2
a d
2
2
b c .
2
2
由于 a c b d ac bd
2
a d
b c
2
2
2

2
ad bc
2

,
2
即 a b
2
2
c

2 2
d
2
ac bd
证明
由于 a , b R , 根据柯西不等式
a
1 a 1 b
,得
2
1 1 a b b a
又 a b 1 , 所以
1 a

1 b b
4.

4.
本例中a, b R 这个条件可以去掉吗? 为什么 ?
练习
Cauchy inequality 的最简形式 即二维形式的 ,
柯西不等式 .
从上面的探究过程可以 发现,当且仅当ad bc 0 时,① 式中的等号成立 .于是我们有
定理 1 都是实数
二维形式的柯西不等式
,则
若 a , b, c, d
a
2
b
2
c
2
d
2
ac
bd
2
|c| |d |
2
| a || c | | b || d | | ac | | bd | .
所以 , 对于任何实数
a , b , c , d , 以下不等式成立
2
:
a b a b
2 2
2
2
c d c d
2
2
| ac bd | , | ac | | bd | .
探究 试从不等式 ① 推导不等式② , 再进行反
方向的推导 从数形结合的角度体 两者的等 , 会 价关系 .
y
y
P1 x 1 , y 1
P1 x 1 , y 1

P2 x 2 , y 2
O O
x

x
P2 x 2 , y 2
图 3 .1 2
观察
如图 3.1 2 , 在平 面直 角 坐 标 系中 ,
a
3
b
3 2
.
分析
虽然 可以作乘法展
开上式的两边 然而再比较 , 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 就可以避免繁 , 杂的计算.
证明
a a
根据柯西不等式, 有
4
4
b
a
2
2
ab
b a
2
b
2
2
3
b
3 2
.
例2
求函数 y 5 x 1
第三讲
柯西不等式与排序不等 式
数学研究中 发现一些不仅形式优美 , 而且具有重要应用价值 的不等式, 人 们称它们为经典不等式柯西不等式 , 与排序不等式就属于这 样的不等式 . 通过本讲的学习 我们可以领略这些 , 不 等式 的数 学意义、几何背景、证 明方法及其应用感受数学的美妙 提 , , 高数学素质.