引言及第一章.ppt
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y
z2
z1 z2
z1 z2 z1
o
x
图1.3
复数的辐角 设复数 z 0 对应的向量为 OP
（如图1.2）, 以正实轴为始边，以表示z 的向 量 OP为终边的角 ，称为复数 z 的辐角,记
作 Arg z ，即 Arg z .
显然，Arg z 有无穷多个值，其中每两个值相差
2 的整数倍，但所有 Arg z 中满足条件
2 29i 5
例2
设
z
1 3
2i 4i
(2 i) 5i
，求 Re
z,
Imz 及 zz
.
解 z 1 2i 2 i (1 2i)(3 4i) 2 i
3 4i 5i (3 4i)(3 4i) 5i
11 2i (2 i)(5i) 11 2i 5 10i
25
中南大学数学公共课程之
复变函数与积分变换
王国富
中南大学数学科学与计算技术学院
引言
高等数学主要研究对象是以实数为变量的函数。 而复变函数主要是研究以复数为变量的函数。
复变函数中的许多概念、理论和方法都是实变 函数在复数领域内的推广和发展，因此我们在 学习过程中要注意比较两者的共同点和不同点。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工 程技术中有着广泛的应用。
P(x, y) 的向量 OP 来表示（如图1.2），x 与 y 分别是 OP 在 x 轴与 y 轴上的投影.这样，复数
与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.
（2）复数的模与辐角
复数的模. 如图1.2中的向量 OP 的长度称为
复数 z x iy 的模，记作 z 或 r ，即
z r x2 y2
何表示法，通常称为点表示，并将点 z 与数 z 看作同义词.
图1.2
由于 x 轴上的点对应着实数，故 x 轴称为实轴；y
轴上非原点的点对应着纯虚数，故 y 轴称为虚轴。
这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面。
1.2.2.复数的向量表示、模与辐角
（1）复数的向量表示 复数 z x iy 还可以用起点为原点，终点为
(4)
z1 z2
z1 z2
;
(5) z z (Re z)2 (Im z)2;
(6) Re z z z , Im z z z ;
2
2i
(7) z z z为实数.
例1 化简 (2 3i)2 .
解
2i
(2 3i)2 4 9 12i
2i
2i
(5 12i)(2 i) (2 i)(2 i)
示式：z r(cos i sin )
5.复数的指数表示式
根据欧拉公式ei cos i sin，可得复数 z
的指数表示式 z rei
复数的球面表示 如图1.4，取一个与复平面切于原
点的球面，球面与始于原点且垂直
（5）分配律：z1（ z2 z3） z1 z2 z1 z3
实部相同，虚部互为相反数 的两个复数称为共轭复数， 与z共轭的复数记为z，如果 z x iy,则z x iy。
图1.1
共轭复数的运算性质：
(1) z z;
(2) z1z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2;
x2 y1 x1 y2 x22 y22
(z2 0)
2.复数的四则运算律
（1）加法交换律： z1 z2 z2 z1 （2）乘法交换律： z1 z2 z2 z1 （3）加法结合律：(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3) （4）乘法结合律：(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
5i(5i)
25
25
16 8 i 25 25
所以，Re z 16 , Im z 8
25
25
zz (16 8 i)(16 8 i) 64 25 25 25 25 125
1.2 复数的几何表示
1.2.1 复数的几何表示、复平面
由复数z x iy的定义可知，复数是由一对有 序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全体复 数和 xOy 平面上的全部点之间的一一对应关 系，即可以用横坐标为 x ，纵坐标为 y 的点 表示复数 z x iy （如图1.2），这是一种几
当x 0, y 0时，z iy称为纯虚数；当 y 0 时，我们可把该复数看 成是一个实数。
两个复数相等的充要条件是他们的实 部和虚部分别相等。
一般说来，任意两个复数不能比较大 小。
各数集之间的关系可表示为：
复数
实数
有理数 无理数
虚数
纯虚数 非纯虚数
1.1.2 复数的代数运算
1.设复数z1 x1 iy1, z x2 iy2 ,定义z1, z2的 四则运算如下：
第1章 复数与复变函数 第2章 解析函数 第3章 复变函数的积分 第4章 级数 第5章 留数 第6章 共形映射
第1章 复数与复变函数
1.1 复数及其代数运算
1.1.1 复数的概念
设x, y为两个任意实数，称形如x iy的数为 复数，记为z x iy，其中i满足i2 1, 称为 虚数单位，实数x和y分别称为复数z的实部 和虚部，记为x Re z, y Im z.
的只有一个，称为复数 z 的辐角的主值，记
作 argz ，则 Argz arg z 2k , (k Z, arg z )
. 而 arg z 可根据 tan(argz) y 计算得出 .
x
我们规定 按逆时针方向取值为正，顺时
针方向取值为负.
4.复数的三角表示式
由 x r cos, y r sin 可得复数 z 的三角表
加法：z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2 );
减法：z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 );
乘法：z1z2 (x1x2 y1 y2） i(x1 y2 x2 y1）;
除法：z1 z2
x1 iy1 x2 iy2
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
模的性质：
(1) | z || z |, zz | z |2
(2) | z || x | | y |, | x || z |, | y || z |
(3) | z1z2 || z1 || z2 |
(4) | z1 z2 || z1 | | z2 |
(5) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
z2
z1 z2
z1 z2 z1
o
x
图1.3
复数的辐角 设复数 z 0 对应的向量为 OP
（如图1.2）, 以正实轴为始边，以表示z 的向 量 OP为终边的角 ，称为复数 z 的辐角,记
作 Arg z ，即 Arg z .
显然，Arg z 有无穷多个值，其中每两个值相差
2 的整数倍，但所有 Arg z 中满足条件
2 29i 5
例2
设
z
1 3
2i 4i
(2 i) 5i
，求 Re
z,
Imz 及 zz
.
解 z 1 2i 2 i (1 2i)(3 4i) 2 i
3 4i 5i (3 4i)(3 4i) 5i
11 2i (2 i)(5i) 11 2i 5 10i
25
中南大学数学公共课程之
复变函数与积分变换
王国富
中南大学数学科学与计算技术学院
引言
高等数学主要研究对象是以实数为变量的函数。 而复变函数主要是研究以复数为变量的函数。
复变函数中的许多概念、理论和方法都是实变 函数在复数领域内的推广和发展，因此我们在 学习过程中要注意比较两者的共同点和不同点。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工 程技术中有着广泛的应用。
P(x, y) 的向量 OP 来表示（如图1.2），x 与 y 分别是 OP 在 x 轴与 y 轴上的投影.这样，复数
与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.
（2）复数的模与辐角
复数的模. 如图1.2中的向量 OP 的长度称为
复数 z x iy 的模，记作 z 或 r ，即
z r x2 y2
何表示法，通常称为点表示，并将点 z 与数 z 看作同义词.
图1.2
由于 x 轴上的点对应着实数，故 x 轴称为实轴；y
轴上非原点的点对应着纯虚数，故 y 轴称为虚轴。
这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面。
1.2.2.复数的向量表示、模与辐角
（1）复数的向量表示 复数 z x iy 还可以用起点为原点，终点为
(4)
z1 z2
z1 z2
;
(5) z z (Re z)2 (Im z)2;
(6) Re z z z , Im z z z ;
2
2i
(7) z z z为实数.
例1 化简 (2 3i)2 .
解
2i
(2 3i)2 4 9 12i
2i
2i
(5 12i)(2 i) (2 i)(2 i)
示式：z r(cos i sin )
5.复数的指数表示式
根据欧拉公式ei cos i sin，可得复数 z
的指数表示式 z rei
复数的球面表示 如图1.4，取一个与复平面切于原
点的球面，球面与始于原点且垂直
（5）分配律：z1（ z2 z3） z1 z2 z1 z3
实部相同，虚部互为相反数 的两个复数称为共轭复数， 与z共轭的复数记为z，如果 z x iy,则z x iy。
图1.1
共轭复数的运算性质：
(1) z z;
(2) z1z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2;
x2 y1 x1 y2 x22 y22
(z2 0)
2.复数的四则运算律
（1）加法交换律： z1 z2 z2 z1 （2）乘法交换律： z1 z2 z2 z1 （3）加法结合律：(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3) （4）乘法结合律：(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
5i(5i)
25
25
16 8 i 25 25
所以，Re z 16 , Im z 8
25
25
zz (16 8 i)(16 8 i) 64 25 25 25 25 125
1.2 复数的几何表示
1.2.1 复数的几何表示、复平面
由复数z x iy的定义可知，复数是由一对有 序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全体复 数和 xOy 平面上的全部点之间的一一对应关 系，即可以用横坐标为 x ，纵坐标为 y 的点 表示复数 z x iy （如图1.2），这是一种几
当x 0, y 0时，z iy称为纯虚数；当 y 0 时，我们可把该复数看 成是一个实数。
两个复数相等的充要条件是他们的实 部和虚部分别相等。
一般说来，任意两个复数不能比较大 小。
各数集之间的关系可表示为：
复数
实数
有理数 无理数
虚数
纯虚数 非纯虚数
1.1.2 复数的代数运算
1.设复数z1 x1 iy1, z x2 iy2 ,定义z1, z2的 四则运算如下：
第1章 复数与复变函数 第2章 解析函数 第3章 复变函数的积分 第4章 级数 第5章 留数 第6章 共形映射
第1章 复数与复变函数
1.1 复数及其代数运算
1.1.1 复数的概念
设x, y为两个任意实数，称形如x iy的数为 复数，记为z x iy，其中i满足i2 1, 称为 虚数单位，实数x和y分别称为复数z的实部 和虚部，记为x Re z, y Im z.
的只有一个，称为复数 z 的辐角的主值，记
作 argz ，则 Argz arg z 2k , (k Z, arg z )
. 而 arg z 可根据 tan(argz) y 计算得出 .
x
我们规定 按逆时针方向取值为正，顺时
针方向取值为负.
4.复数的三角表示式
由 x r cos, y r sin 可得复数 z 的三角表
加法：z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2 );
减法：z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 );
乘法：z1z2 (x1x2 y1 y2） i(x1 y2 x2 y1）;
除法：z1 z2
x1 iy1 x2 iy2
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
模的性质：
(1) | z || z |, zz | z |2
(2) | z || x | | y |, | x || z |, | y || z |
(3) | z1z2 || z1 || z2 |
(4) | z1 z2 || z1 | | z2 |
(5) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||