混沌的本质特征与混沌概念的界定

混沌的本质特征与混沌概念的界定

张本祥孙博文

混沌理论是非线性科学的核心部分，它的理论及应用价值很大，但是迄今为止，对混沌概念还没有公认的严格的定义，我们认为，对混沌概念的界定应从混沌现象的本质特征入手，从数学和物理两个层次上考察，才有可能得出正确的完整的结论，本文将从运动学角度讨论混沌的本质特征——有界、非周期和敏感初条件，并籍此尝试对混沌概念的界定。

一、从混沌的Li—Yorke定义看数学混沌的本质特征

现代科学意义上的混沌是个难以精确定义的概念，不同领域的科学家往往对其做出不同的定义。1975年李天岩(Tianyan—Li)和约克(Yorke)给出了混沌的一个数学定义，这也是第一次赋予混沌这个词以严格的科学意义，混沌的李—约克定义如下：

设连续自映射f：，I是R中的一个闭区间，如果存在不可数集合S I满足

(1)S不包含周期点。

(2)任给X1，X2S (X l X2)有

＞0

＝0

这里，表示t重函数关系。

（3）任给X1S及f的任意周期点P I有

＞0

则称f在s上是混沌的[1]。

由李—约克的定义可见，他们是用三个方面的本质特征来对混沌进行刻划的：

(一)非周期

在李—约克对混沌映射的定义中，称f在S上是混沌的，所依据的三个条件中的两条是对非周期的刻划：第(1)条表明混沌轨道排除了所有阶的周期点，第(3)条意味着混沌轨道与任意的周期轨道都不具有渐近关系，而是原则上可区分的。它们实际上是从周期性角度对非周期性进行的刻划。我们可以这样来理解混沌轨道的非周期性：如果我们在无限精确的数学层次上跟踪一条混沌轨道，我们经历的相点永远没有重复的，而且整条混沌轨道虽然在任意有限长的一段可能与某条周期轨道无限接近，但是无限长的整条混沌轨道将与其产生有限大小的偏离，即在t→∞时，任意的混沌轨道与任意的周期轨道必然具有距离有限(非无限小)的相点。这样当我们要确定某个混沌轨道上的相点时，只能跟踪轨道的全过程，而不可能利用任何具周期意义的、有可压缩性质的所谓规律来准确预测。

(二)敏感初条件

李—约克定义中的第(2)条实际上就是对混沌轨道所具有的“敏感初条件”的描述，即距离的下确界为0的无限接近的两条轨道，其上确界却是有限的，大于0的，由符号动力学对一维抛物线满映射的刻划，[2]我们也可以看到，分别代表两条混沌轨道的两个无限接近的符号序列，即两个无限精确条件下才可区分的无理数，意味着在无限次迭代后，最后会有宏观层次上(对主体而言)的可区分的差别：L(左)、C(中)、R(右)，相点的L、C、R是在有限精确条件下，对主体来说的可区分性。就是说，在1／2n的分辨率下，差值大于1／2n的两个初值，经n次迭代后，其符号序列中至少会有一个符号不同，进一步地，李—约克的定义也表明混沌轨道中的相点与无理数对应，无理数的最后(实际上不存在最后)数字不同，就是不同的数，但这两个“最后”数字不同的无理数代表了无限精确的情况，反映的是个无限过程，在这个无限过程下，数学上的混沌具有对初始条件的敏感依赖性。

(三)有界

在李—约克定义中，“有界”(即有确定的边界)是作为定义的前提条件出现的，它设定了f 是从I到(I R)的映射，而I是R中的一个闭区间，这表明f把I映射回I，所有的相点不能超越I的确定边界，这个“有界”的前提条件的设定是必要的，如果没有这个限制条件，就不能保证系统是混沌的，例如：映射f：X n+1＝f(X n)＝X n2，当X1＞1时，f会很快使X n超越I的边界而趋于∞，这时X n的整个序列或说轨道X1，X2，…X n，…X∞显然仍具有非周期、敏感初条件等混沌的本质特征，但是它的演化过程是发散的，不会形成混沌吸引子。可见，“有界”是混沌的不可或缺的必要条件和本质特征之一。

二、有限性条件下物理混沌的本质特征

从李—约克给出的混沌的数学定义可见，其(2)(3)条都是在t→∞情况下的结论，也就是说，数学混沌是与无穷过程相联系的，这意味着不仅映射的次数t是无限的，而且相点的值的精确度也可以是无限的。然而我们知道，现实世界是有限的，有限性及其结果蕴含于一切事物之中，在相应的方面规定着一切事物的性质。[3]在真实的物理世界中，不仅映射的次数t是有限的，而且

相点的值的精确度也是有限的。那么，李—约克的数学混沌所具有的三个本质特征，是否仍是有限性制约下的物理混沌的本质特征呢?或者说，有限的现实系统的混沌是否仍具有这三个本质特征呢?下面我们就分别来讨论。

(一)有界

从物理上说，一般地我们所研究的和能研究的都是本质上的回归行为，其现实的测度空间总有确定的边界，而无界的本质上的非回归行为则没有一般意义，也就是说，任何一个现实系统的状态变量的值不可能是绝对的无穷大，只能是局限于确定范围内的有限值，因而是有界的。

再者，虽然混沌现象的主要特征是它的不稳定性方面，但是它也有稳定性的一方面，实际上混沌是局部不稳定与整体稳定这一对矛盾的统一体，它的整体稳定性是混沌现象的一个重要方面，是混沌系统所具有的稳定机制的反映。还以抛物线满映射为例，它实际上就相当于特定的拉伸与折叠变换(拉伸一倍，再对折)，其中拉伸操作使系统敏感初条件，导致了混沌行为的不稳定方面，而折叠操作却使系统的取值空间减小一半，把相点始终限制于最初的映射区间内，它导致了混沌的稳定性方面。可见，具回归行为的现实物理系统的稳定机制及表观上的整体稳定性就是物理上的“有界”，“有界”也是物理混沌的一个本质特征。

(二)非周期

在精确度有限、映射次数(也即轨道长度)有限的现实情况下，非零的有限的精确度虽然可能平滑掉混沌轨道中相点的相应的有限大小的差别，从而在一定程度上“抑制”了混沌轨道的非周期性，即任何有限长的一条轨道都可以用某种周期轨道来拟合，但是同一条轨道只要它延伸到足够长(不是无限长)，它与用以拟合它的任意的周期轨道仍将产生足够的偏离，使两者成为可区分的。就是说，在有限精确条件下混沌轨道仍具有非周期性，仍意味着不重复、不可压缩和无规律可循。如果要以有限长的混沌轨道为条件来预测任意相点的位置，即依据有周期意义的、有可压缩性质(能以有限反映无限)的规律来预测未来，则只能是不确定的即概率性的(条件概率小于1)，而不可能是确定的、非概率性的。

(三)敏感初条件

如上文所述，数学混沌敏感初条件表现为在t→∞条件下，间距的下确界为0的两条轨道，其上确界大于0。而在物理上，初始条件原则上的不精确性，加之混沌系统的非线性不稳定机制的作用，使初值的不精确性被迅速放大成为宏观层次的不确定性，这就是物理混沌的敏感初条件的特征。

1．精确度有限的初始条件

初始条件是初始时刻系统的状态，虽然任何物理对象都有其自然的初始条件，但是人们所知道的初始条件原则上只能通过本质上的测量过程获得。由于反映着主体获得的客体的信息的初始条件本质上具有这种测量性质，所以在以下几种情况下，任何现实系统的初始条件都不可能绝对精确，即初始条件有对主体而言的处于简并状态的不可区分的精细结构。

(1)物理对象固有的广延性导致的不精确性。物质的存在都有一定的局域性，都要占据一定的空间、时间、能量等范围，所以事物在其测度空间中将有非0体积，如原子能级都有一定的非