第三章：弹性和粘性本构关系

胡克定理的应用
思想：应力和应变须满足胡克定理
例题：如图所示钢制圆柱，其直径 为d，外面套有一厚度为t的 钢制圆筒（圆柱和圆筒间无 摩擦），沿圆柱轴向施加均 匀压力q，求刚柱内的应力 （E、μ已知）。
解：建立直角坐标如图，分别分析圆柱和圆 筒的应力和应变状态。 对圆柱内的任意一点，有： (1) (2) 式(1-2)代入胡克定理
2.2. 球量和偏量的本构方程。 3. 需要能熟练使用的部分。
各向同性线性弹性本构方程。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
x
此外，ε2x和ε2z未知。式(6-9) 代入胡克定理，有 (10) (11)
z
O
(12) 联列式(4、5、10、11、12)， 可以得到应力和应变场，其中刚柱 内的应力场为 (13)
x
y
O A
x
讨论： （1）如果外筒为刚性筒，怎么办？
（2）如果是立方体外套刚性筒，怎么办？
（3）如果均匀压力q变成集中力P，有什么变化？
静力学 外载约束
力学分析 几何分析 物理关系 边界条件 平衡方程
动力学 边界条件及初始条件 运动方程
几何方程
本构方程 求 解析方法
几何方程
本构方程 解 数值方法
相互支撑
固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。
第三章：弹性和粘性本构关系
主讲：侯鹏飞
湖南大学工程力学系
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性 重点：线性弹性和各向同性线性弹性。
了解：柯西弹性和超弹性和线性粘弹性。 定位：基础理论部分，属课程学习的重点之一。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.1 柯西弹性和超弹性
3.1.1 柯西弹性和超弹性 弹性类别 柯西弹性 (应力和应变一一对应) 弹性系数
（4）对于情况
有何感想！
课后作业：P100：3-1、3-3 下周三上课时交。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.5 、3.6 线性粘弹性材料的微分型本构关系
弹性元件 粘性元件
麦克斯韦模型
开尔文模型
ห้องสมุดไป่ตู้
伯格斯模型
广义麦克斯韦模型
广义开尔文模型
三维化
§3.7 线性粘弹性材料的积分型本构关系
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.2 各向同性线性弹性材料的本构关系
本构方程：式(3-22)或(3-29)
扬氏模量： E 拉梅常数：
泊松比： μ
剪切模量： 体积应变：
球量和偏量的本构方程：式(3-32)
体积弹性模量：
五个弹性常数： E、μ、G、λ、K，只有两个独立。
相关性见表3-1。
z
O
x
(3)
y
有 (4) (5) O
x
对圆筒内表面上的一点 A： 对于应力，利用圆柱和圆筒 在接触面上的作用与反作用关系， 以及应力边界条件方程可以得到 (6)
z
进一步利用截面法，可以得到 (7)
此外，易得到 (8) 对于应变，利用圆柱和圆筒在接 触面上的变形协调关系，可以得到
O
x
y
O A (9)
独立的弹性系数
36
超弹性 （不但一一对应，且有 势函。如应变比能w ） 线弹性 （Eijkl =常数 ） 概念： 物理线性（Eijkl =常数 ）
21
21
物理非线性（Eijkl ≠常数 ）
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
3.1.2 线性弹性材料的本构方程
111 222 333 234 315 126
有较大灵活性，便于考虑材料老化和温度影响等 因素
§3.8 弹性-粘弹性相应原理
利用拉普拉斯积分的正逆变换，线性粘弹性问题 的解可以由对应的线弹性问题的解变换得到。
本构关系小结（由厚到薄）
1. 思想：看线路图回忆查漏。
2. 需要记忆的公式 2.1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数 G、λ、K 与 E、μ的关系式；
直角坐标系下（广义胡克定理）：式(3-16) 和(3-18)
几种特殊情况下的广义胡克定律 分类 一般线弹性 有一个弹性对称平面 广义胡克定律 式(3-16、18) 式(3-19) 独立的弹性常数
21
13 9 5 2
式(3-20) 正交各向异性 （有三个弹性对称平面 ） 横观各向同性 （有一个弹性对称轴 ） 各向同性 式(3-21) 式(3-22)