第三章：弹性和粘性本构关系
2023年高等土力学试题考博专用
参考书目《高等土力学》李广信第1章土工实验及测试一、简述土工实验的目的和意义。
1）揭示土的一般或特有的物理力学性质。
2）针对具体土样的实验，揭示区域性土、特殊土、人工复合土的物理力学性质。
3）拟定理论计算和工程设计的参数。
4）验证理论计算的对的性及实用性。
5）原位测试、原型监测直接为土木工程服务，也是分析和实现信息化施工的手段。
第2章土的本构关系★二、广义讲，什么是土的本构关系？与其他金属材料比，它有什么变形特性（应力应变特性）？（2.3节）P51土的本构关系广义上讲是指反映土的力学性状的数学表达式，表达形似一般为应力-应变-强度-时间的关系。
与金属材料相比，土的变形特性包含：①土应力应变的非线性。
由于土由碎散的固体颗粒组成，土的宏观变形重要不是由土颗粒自身变形，而是由于颗粒间位置的变化。
这样在不同的应力水平下由相同应力增量引起的应变增量就不会相同，即表现出非线性。
②土的剪胀性。
由于土石由碎散颗粒组成的，在各向等压或等比压缩时，孔隙总是减少的，从而可发生较大的体积压缩，这种体积压缩大部分死不可恢复的，剪应力会引起土塑性体积变形，这叫剪胀性，另一方面，球应力又会产生剪应变，这种交叉的，或者耦合的效应，在其他材料中很少见。
③土体变形的弹塑性。
在加载后再卸载到本来的应力状态时，土一般不会完全恢复到本来的应变状态，其中有一部分变形是可以恢复的，部分应变式不可恢复的塑性应变，并且后者往往占很大的比例。
④土应力应变的各向异性和土的结构性。
不仅存在原生的由于土结的各向构异性带来的变形各向异性，并且对于各向受力不同时，也会产生心的变形和各向异性。
⑤土的流变性。
土的变形有时会表现出随时间变化的特性，即流变性。
与土的流变特性有关的现象只要是土的蠕变和应力松弛。
影响土的应力应变关系的应力条件重要有应力水平，应力途径和应力历史。
★三、何为土的剪胀性，产生剪胀的因素？P52(2.3.2)土体由于剪应力引起的体积变化称为剪胀性，广义的剪胀性指剪切引起的体积变化，既涉及体胀，也涉及体缩，但后者常被称为“剪缩”。
第三章粘弹性流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
岩石力学与工程岩石本构关系与强度理论
其蠕变曲线和弹性后效曲线，如图3-15所示。
蠕变曲线
0 k2
0 k1
弹性后效
0
t1
t
图3-15 广义开尔文体蠕变曲线和卸载曲线
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3.4.4.5 饱依丁-汤姆逊体（PTh：H/M）
一、力学模型 k1,1
k2 , 2
图3-16 饱依丁-汤姆逊体力学模型
二、本构方程
本模型是由马克斯威尔体与虎克体并联而成，由并 联规则：
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3.4.4 组合流变模型
三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则：
1.串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应 变之和。 2.并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应 力之和。
5.4.4.1 圣维南体（St.V:H-C）
一、力学模型
图3-5 圣维南体力学模型
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y
x
21
xy E xy
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4
4.边界条件
（1）位移边界条件
us us，vs vs
（2）应力边界条件
l x m yx s f x s
m y
l xy
s
f y s
（3）混合边界条件
（在 su上）
（在 s 上）
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3.4 岩石流变理论
3.4.1概念
四、卸载方程
0
k
kt
1 e
在t t1 时卸载，即 0，代入本构方程：
k 0
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解上述微分方程可得：
kt
A1e
当t t1 时， 1 ，结合蠕变方程，可得卸载方程 ：
粘弹性流体的本构模型及其应用
粘弹性流体的本构模型及其应用随着人们对物质性质的深入研究，越来越多的特殊性质的物质被人们所发现，粘弹性流体就是其中之一。
粘弹性流体既具有粘性又具有弹性，被广泛运用于化学、医学、生物学和工程等领域中。
而对于粘弹性流体的本构模型的研究，则是这些应用的基础。
本篇文章将对粘弹性流体的本构模型及其应用进行详细的论述。
一、粘弹性流体的性质粘弹性流体是介于粘性流体和弹性体之间的物质，它既具有流变性质，也具有力学弹性。
它的流变特性表现为，当它受到作用力时会出现变形，而当这种作用力减小或消失时，它的变形又会逐渐恢复。
这种特殊的性质使得它在许多领域具有广泛的应用。
二、粘弹性流体的本构模型粘弹性流体的本构模型是用数学方式来描述流体变形特性的模型。
它是通过实验数据和理论推导确定的粘弹性流体性质的一种数学表示，用于预测和计算其在不同外力下的流变特性。
在粘弹性流体的本构模型中，最常见的是Maxwell模型、Kelvin模型以及Jeffreys模型。
1、Maxwell模型Maxwell模型是由Maxwell在1867年提出的一种模型，是最早被使用的粘弹性流体本构模型之一。
它被广泛应用于石油工程、高分子材料工程、生物领域等领域中。
Maxwell模型的基本原理是将粘性流体和弹性体的模型结合而成。
在Maxwell模型中，流体被视为一个简单的线性弹性体，它由一个弹簧和一个阻尼器组成。
当给该模型施加一个外力时，其中的弹簧会产生弹性变形，而其中的阻尼器会产生粘性变形，使模型发生流变。
而在外力消失后，这两种变形也会随之减小或消失。
2、Kelvin模型Kelvin模型是由Lord Kelvin在1855年提出的一种模型，它将Maxwell模型中的一个弹簧换成为一个螺旋状的弹性体。
和Maxwell模型一样，Kelvin模型也是一种线性的本构模型，它可以更好地描述时间依赖性粘弹性流体的行为。
3、Jeffreys模型Jeffreys模型是由Jeffreys在1927年提出的一种模型，它是Maxwell模型的一种变体。
流变学(三)
BUCT Polymer RheologyMao LixinBeijing University of Chemical TechnologyBUCT第一节连续性方程第二节动量方程第三节能量方程第四节本构方程BUCT第四节本构方程本构方程：反映流体的力学本质特征的方程联系应力张量和应变丈量或应变速率张量的所有分量的方程或称为流变状态方程建立本构方程是流变学的中心任务BUCT第四节本构方程一、本构方程的原理1、应力决定性原理质点P在现在时刻的应力状态只取决于它从无限远的过去直到现在时刻的形变历史。
某一时刻的应力与过去的形变历史有关，而与将来的形变过程无关。
2、局部作用原理在给定质点处的应力由该质点周围无限近区域的形变历史单质决定。
该原理反映了近程相互作用，它保证了在每点联系应力张量与应变张量的可行性。
这种连续性是不均一的，不同的应力和形变历史的关系可以是变化的。
BUCT第四节本构方程一、本构方程的原理3、坐标不变性原理本构方程不依赖于坐标系的选择，应写成张量形式。
对本构方程数学表述上的一种要求所有描述物理定律的方程都要满足这一原理。
4、物质客观性原理描述物质或材料固有的力学行为，与观察者的运动或物体自身的刚性运动无关。
物质或材料的流变性质不随观察者的运动而变化。
有时又被称作空间各向同性原理BUCT第四节本构方程小结：后两个原理：不会产生任何意义的本构关系式任何数学物理方程都须服从这两个原理前两个原理：流变学本构理论特有的引出了简单流体理论：提供了一个非牛顿流体力学可以接受的本构关系框架得到本构方程的方法：经验尝试法、分子模型法、基于复杂流体结构单元力学行为的模型构造法BUCT第四节本构方程本构方程的一般数学表示式：()()0,,0,,=γγσ=γσt f t f ij ij ij ij ij K K &K K t 为时间，有时还包括其他物理量，如温度、压力等本构方程的一般式特别突出时间t ，说明应力和应变关系的基本物理规律中包含时间，但要注意通常不是简单的函数关系，而只能写成微分或积分的形式。
土的本构关系
本 构 关 系“本构关系”是英文Constitutive Relation 的意译。
在力学中，本构关系泛指普遍的应力—应变关系。
因为在变形固体力学中，应力不只与应变有关．而且还与物体的加载历时(应力历史)、加载方式(或应力路径)以及温度和时间有关。
因此材科的本构关系或普遍的应力—应变关系可以表示为；应力路径等）,,,(T t f ij ij εσ= 式中t 为加载历时，T 为温度。
例如，弹性力学中的广义定律就是最简单的材料本构关系，它不计时间、温度和应力路径及应力历史的影响。
因此应力和应变之间存在着唯一对应的关系。
当材料应力超出弹性范围而进入塑性阶段时，应力和应变之间就没有唯一的对应关系，而是要受应力历史或应力路径的影响，这时材料的应力—应变关系就称为塑性本构关系。
塑性本构关系要比弹性本构关系复杂得多。
如果再考虑材科应力—应变关系随时间和温度的变化，本构关系持更加复杂。
本书所要讲的岩土本构关系主要是指与时间和温度无关的塑性本构关系。
各种本构关系的特点1.弹性本构关系类型和分类弹性本构关系可分为线弹性本构关系和非线性弹性本构关系如图1所示，线弹性本构关系即一般的弹性力学，其应力—应变关系服从广义Hooke 定律。
非线性本构关系的应力—应变曲线是非线性的，但是加卸载仍然沿着一条曲线。
弹性本构关系的基本特征是：1) 应力和变形的弹性性质或可逆性；2) 应力与应变的单值对应关系或与应力路径相应力历史的无关性。
即无论材料单元在历史上受过怎样的加卸载过程或不同的应力施加路径，只要应力不超过弹性限度，应力与应变都是一一对应的；3) 应力与应变符合叠加原理；4) 正应力与剪应变、剪应力和正应变之间没有耦合关系。
因此，根据广义Hooke 定律有γτεσG K m m ==3 （1）式中，σm和τ分别为正应力和剪应力，εm和γ分别为平均应变和剪应变，K、G为体积弹性模量和剪切弹性模量。
(1)式说明：正应力只产生正应变或体应变，而对剪应变没有贡献。
粘弹性三维本构关系与解析方法
P ( D )( s ) Q ( D )
课堂练习 推导出西原模型对应的算子 P ( D ), Q ( D )
答案：
2 2 1 21 21 ( S ) ( ) 2 E0 E1 E0 E1 E1
2 1 2 21 2 P( D) 1 ( )D D E0 E1 E0 E1 21 2 Q( D) 2 D D E1
物质形态(一切有为法、如梦幻泡影,如露亦如电,应作如是观。 凡所有相,皆是虚妄。--《金刚经》；相，视也。--《尔雅》)
拉普拉斯变换 • [Laplace变换存在定理]若函数 f (t ) 满足下列条件： • （1）当 t 0 时，f (t ) 0 ； • （2） f (t )在t 0的任一有限区间上分段连续， • 间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。 （3） f (t ) 是指数级函数。
''
'
''
'
'
''
( s)
2.2.4粘弹性问题的解析求解
粘弹性基本方程：
除本构关系外，其他都相同。
1.几何方程： ij 1 [ui , j (t ) u j ,i (t )] 柯西应变
2
2.平衡条件： ij , j Fi 0 3.本构方程： Sij 2G ( D)eij
两边做拉普拉斯变换：
2 (1 s ) Sij 2 seij G0
2 P 1 s G0
'
Q ' 2 s
代入其他模型得到表2.2.2
2.2.3相空间中粘弹性参数变换
Q ' ( D) G ( D) ' P ( D)
材料力学中的粘弹性行为与本构模型
材料力学中的粘弹性行为与本构模型粘弹性是材料力学中一个重要而复杂的问题，它指的是材料在受力作用下表现出的弹性和黏性共同存在的特性。
本文将探讨粘弹性的基本概念，其行为与本构模型的关系。
一、粘弹性的基本概念粘弹性是指材料在外力作用下既可以发生形变，又可以恢复原状的性质。
这种性质与材料的分子结构有关，表现为分子固定点之间的相互作用力。
在粘弹性行为中，材料会表现出随时间延迟的形变响应，这是与弹性体和黏性流体的行为有所不同之处。
二、粘弹性行为的特点1. 时间依赖性：粘弹性是一种时间依赖性的现象，即材料的形变响应随时间的推移而变化。
在外力作用结束后，材料仍然会持续发生形变。
2. 复杂的应力-应变关系：粘弹性材料的应力-应变关系通常是非线性的，并且在不同的加载速率下表现出不同的行为。
3. 耗散能量：粘弹性材料在形变过程中会产生内部摩擦，从而导致能量的耗散。
这种能量损失是粘弹性行为的重要特征之一。
三、粘弹性本构模型为了描述粘弹性材料的力学行为，研究者们提出了多种本构模型。
以下介绍几种常见的粘弹性本构模型：1. 弹簧-阻尼器模型：这是最简单的粘弹性模型之一，通过串联连接弹簧和阻尼器来描述材料的粘弹性行为。
该模型基于线性弹簧和线性阻尼器的行为假设，适用于低应变率下的材料。
2. 麦克弗逊模型：麦克弗逊模型是一种常用的粘弹性模型，它由弹性元素和黏性元素组成。
该模型能够较好地描述不同应变速率下的粘弹性行为。
3. 阿米尔-沙魔尔模型：这是一种广泛应用于粘弹性材料的本构模型。
它采用了多项级数的形式来描述应力-应变关系，能够较好地拟合实验数据。
四、粘弹性行为的应用领域粘弹性行为在许多领域都有重要的应用价值，例如生物材料的研究、土壤工程、涂料润滑剂开发等。
通过深入理解粘弹性行为及其本构模型，可以为这些领域的研究和应用提供重要参考和指导。
结论粘弹性行为是材料力学中一个重要且复杂的问题，其研究涉及到材料分子结构和宏观性能的关系。
通过适用的本构模型，我们可以更好地描述和预测粘弹性材料的力学行为。
第三章粘弹性流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
粘弹性力学的研究与应用
粘弹性力学的研究与应用引言：粘弹性力学是物理学中一门重要的研究领域，它研究了固体或液体在受力作用下的变形与流动行为。
这一领域的研究不仅对于物理学的发展有着重要意义，也涉及到众多应用领域，包括材料科学、地质勘探、生物学等。
本文将详细探讨粘弹性力学的相关定律、实验准备和过程，并介绍其在实际应用和其他专业性角度上的意义。
一、粘弹性力学的相关定律1. 胡克定律：胡克定律是粘弹性力学的基础定律之一，它描述了固体在弹性范围内的应力与应变之间的线性关系。
根据胡克定律，应力等于弹性模量乘以应变。
胡克定律的公式可以表达为：σ = Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
2. 黏弹性本构定律：黏弹性本构定律是粘弹性力学的另一个重要定律，它描述了材料在受力作用下的失去弹性而发生流变行为的规律。
黏弹性本构定律可以通过连续介质力学的理论推导得到，其中最为常用的是弹簧-阻尼器模型。
该模型描述了材料在受力作用下同时存在弹性回复和黏性流动的特性。
二、实验准备和过程1. 实验准备：在进行粘弹性力学的研究中，需要准备一些实验设备和材料。
常见的实验设备包括粘弹性材料测试机、荷载传感器、变形测量仪等。
而在材料准备方面，可以选择一些常见的粘弹性物质，比如聚合物材料、生物组织等。
2. 实验过程：（1）材料应力-应变测试：首先，需要将待测材料放置在测试机上，施加外力使其发生变形。
利用荷载传感器和变形测量仪可以测量到材料的应力和应变数据。
在测试过程中，需要记录下不同应力下的应变值，并绘制应力-应变曲线。
（2）流变学测试：在流变学测试中，常用的实验方法有剪切应力-切变速率测试和弛豫测试。
在剪切应力-切变速率测试中，通过施加不同剪切应力并测量切变速率，以获得材料的剪切应力-切变速率关系。
而在弛豫测试中，通过施加切变应力，然后观察材料的弛豫过程，以获得其黏弹性特性。
三、粘弹性力学的应用1. 材料工程：粘弹性力学在材料工程方面的应用非常广泛。
通过研究材料的粘弹性特性，可以更好地设计和控制材料的性能。
粘弹性介绍选编
极慢，短时间也不易觉察。 只有在Tg附近，聚合物的应力松驰最为明显。 △应用中，要考虑应力松驰，剩余应力。
7.3 线性粘弹性模型
线性粘弹性：可由服从虎克定律的线性弹性行 为和服从牛顿定律的线性粘性行为的组合来描 述的粘弹性。
模型是唯象的处理
模型由代表理想弹性体的弹簧与代表理想粘性 体的粘壶以不同方式组合而成
E
σ＝E·ε
dε σ＝η·dt
弹簧 理想弹性体
粘壶 理想粘性体
7.3 线性粘弹性模型
7.3.1 Maxwell 模型 一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η
F
t=0
t=∞
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
dt
d 1 ( ( ) ) dt
d 1 ( ( ) ) dt
d dt ( ( ))
两边积分： ( t ) ( )( 1 )
Kelvin模型的应力松弛方程
（3） 分子运动与温度的关系 The relationship with temperature
High molecules, =10-1～10-4s
T
T
Time dependence
在一定的温度和外力作用 下，高聚物分子从一种平 衡态过渡到另一种平衡态 需要一定的时间。
x x0e t /
stress removed (t)
0/
0
t
7.3.1 Maxwell 模型
dε 1 dσ σ dt = E ·dt +η
dε 应力松弛： ε＝常数，即 dt =0
聚合物的高弹性和黏弹性ppt课件
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3-1 高聚物的力学松弛现象
力学松弛——高聚物的力学性能随时间的变化统称力学松弛 最基本的有：应力松弛
f (u) T(f)
l T,V
Tl,V
这就是橡胶热力学方程式
实验时用 当纵坐标，T为横坐标，作 图：
f f ~T
18
f
77% 33% 11% 4%
固定拉伸时的张力－温度曲线
T (K )
截距为
；斜率(为
u
)
。
( f )
发现各直线外推到 l T时,V 均通过原点，即截距为0， T l ,V
蠕变 滞后 力学损耗
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材料类型 理想弹性体
应变与应力关系 应变正比于应力
应变与时间关系 形变与时间无关
理想粘性体
应变速率正比于应力
形随时间线性发展
高聚物的形变与时间有关 这种关系介于理想弹性体和理想粘性体之间 也就是说，应变和应变速率同时与应力有关，因此高分子材料常称为粘弹性材料。
31
形变
线性高聚物
动态 Dynamic
非线性粘弹性 Non-Linear viscoelasticity
应力松弛 蠕变 滞后 力学损耗
2
弹性：对于理想弹性体来讲，其弹性形变可用虎克定律来表示，即：应力与应变成正 比关系，比例常数是固体的模量，其倒数为柔量。应变与时间无关。
粘性：在外力作用下，分子与分子之间发生位移，理想的粘性流体其流动形变可用牛 顿定律来描述：应力与应变速率成正比。
弹塑性力学定理和公式
应力应变关系弹性模量 |｜广义虎克定律1。
弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括：a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比，即b 切变模量切应力与相应的切应变之比，即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz）之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比，即此外还有拉梅常数λ。
对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。
常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。
室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。
2。
广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。
它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质.A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3—3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。
对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。
B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式,即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i，j=x，y，z;在圆柱坐标中，i,j=r，θ，z，在球坐标中i，j=r，θ，φ。
弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程｜| 边界条件｜｜按位移求解的弹性力学基本方法｜｜按应力求解的弹性力学基本方程｜| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。
这15个未知量可由15个线性方程确定,即(1）3个平衡方程[式（2-1—22)］，或用脚标形式简写为（2）6个变形几何方程［式（2—1—29）］，或简写为(3）6个物性方程［式（3-5）或式（3—6）］,简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。
第三章：弹性和粘性本构关系
直角坐标系下（广义胡克定理）：式(3-16) 和(3-18)
几种特殊情况下的广义胡克定律 分类 一般线弹性 有一个弹性对称平面 广义胡克定律 式(3-16、18) 式(3-19) 独立的弹性常数
21
13 9 5 2
式(3-20) 正交各向异性 （有三个弹性对称平面 ） 横观各向同性 （有一个弹性对称轴 ） 各向同性 式(3-21) 式(3-22)
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.2 各向同性线性弹性材料的本构关系
本构方程：式(3-22)或(3-29)
扬氏模量： E 拉梅常数：
泊松比： μ
剪切模量： 体积应变：
球量和偏量的本构方程：式(3-32)
体积弹性模量：
五个弹性常数： E、μ、G、λ、K，只有两个独立。
相关性见表3-1。
静力学 外载约束
力学分析 几何分析 物理关系 边界条件 平衡方程
动力学 边界条件及初始条件 运动方程
几何方程
本构方程 求 解析方法
几何方程
本构方程 解 数值方法
相互支撑
固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。
第三章：弹性和粘性本构关系
主讲：侯鹏飞
湖南大学工程力学系
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性 重点：线性弹性和各向同性线性弹性。
了解：柯西弹性和超弹性和线性粘弹性。 定位：基础理论部分，属课程学习的重点之一。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.1 柯西弹性和超弹性
3.1.1 柯西弹性和超弹性 弹性类别 柯西弹性 (应力和应变一一对应) 弹性系数
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§3.8 弹性-粘弹性相应原理
利用拉普拉斯积分的正逆变换，线性粘弹性问题 的解可以由对应的线弹性问题的解变换得到。
本构关系小结（由厚到薄）
1. 思想：看线路图回忆查漏。
2. 需要记忆的公式 2.1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数 G、λ、K 与 E、μ的关系式；
（4）对于情况
有何感想！
课后作业：P100：3-1、3-3 下周三上课时交。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.5 、3.6 线性粘弹性材料的微分型本构关系
弹性元件 粘性元件
麦克斯韦模型
开尔文模型
伯格斯模型
广义麦克斯韦模型
广义开尔文模型
三维化
§3.7 线性粘弹性材料的积分型本构关系
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.2 各向同性线性弹性材料的本构关系
本构方程：式(3-22)或(3-29)
扬氏模量： E 拉梅常数：
泊松比： μ
剪切模量： 体积应变：
球量和偏量的本构方程：式(3-32)
体积弹性模量：
五个弹性常数： E、μ、G、λ、K，只有两个独立。
相关性见表3-1。
胡克定理的应用
思想：应力和应变须满足胡克定理
例题：如图所示钢制圆柱，其直径 为d，外面套有一厚度为t的 钢制圆筒（圆柱和圆筒间无 摩擦），沿圆柱轴向施加均 匀压力q，求刚柱内的应力 （E、μ已知）。
解：建立直角坐标如图，分别分析圆柱和圆 筒的应力和应变状态。 对圆柱内的任意一点，有： (1) (2) 式(1-2)代入胡克定理
独立的弹性系数
36
超弹性 （不但一一对应，且有 势函。如应变比能w ） 线弹性 （Eijkl =常数 ） 概念： 物理线性（Eijkl =常数 ）
21
21
物理非线性（Eijkl ≠常数 ）
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
3.1.2 线性弹性材料的本构方程
111 222 333 234 315 126
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性 重点：线性弹性和各向同性线性弹性。
了解：柯西弹性和超弹性和线性粘弹性。 定位：基础理论部分，属课程学习的重点之一。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
§3.1 柯西弹性和超弹性
3.1.1 柯西弹性和超弹性 弹性类别 柯西弹性 (应力和应变一一对应) 弹性系数
z
O
x
(3)
y
有 (4) (5) O
x
对圆筒内表面上的一点 A： 对于应力，利用圆柱和圆筒 在接触面上的作用与反作用关系， 以及应力边界条件方程可以得到 (6)
z
进一步利用截面法，可以得到 (7)
此外，易得到 (8) 对于应变，利用圆柱和圆筒在接 触面上的变形协调关系，可以得到
O
x
y
O A (9)
静力学 外载约束
力学分析 几何分析 物理关系 边界条件 平衡方程
动力学 边界条件及初始条件 运动方程
几何方程
本构方程 求 解析方法
几何方程
本构方程 解 数值方法
相互支撑
固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。
第三章：弹性和粘性本构关系
主讲：侯鹏飞
湖南大学工程力学系
柯西弹性和超弹性
直角坐标系下（广义胡克定理）：式(3-16) 和(3-18)
几种特殊情况下的广义胡克定律 分类 一般线弹性 有一个弹性对称平面 广义胡克定律 式(3-16、18) 式(3-19) 独立的弹性常数
21
13 9 5 2
式(3-20) 正交各向异性 （有三个弹性对称平面 ） 横观各向同性 （有一个弹性对称轴 ） 各向同性 式(3-21) 式(3-22)
x
此外，ε2x和ε2z未知。式(6-9) 代入胡克定理，有 (10) (11)
z
O
(12) 联列式(4、5、10、11、12)， 可以得到应力和应变场，其中刚柱 内的应力场为 (13)
x
y
O A
x
讨论： （1）如果外筒为刚性筒，怎么办？
（2）如果是立方体外套刚性筒，怎么办？
（3）如果均匀压力q变成集中力P，有什么变化？
2.2. 球量和偏量的本构方程。 3. 需要能熟练使用的部分。
各向同性线性弹性本构方程。
柯西弹性和超弹性
线性弹性
各向同性线性弹性
线性粘弹性
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