轴对称05
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轴对称问题有限元分析
• 几何形状、约束条件以及载荷都对称于某一固定轴，这类 问题为轴对称问题 • 柱坐标（r,θ ,z）
• 轴对称问题的三大类变量 • 应变 • 应力
• 平衡方程
• 几何方程
•
• 物理方程
3节点三角形轴对称单元
• 该单元为横截面为3节点三角形的360 度环形单元
• 在roz平面内，单元的节点位移有6个自由度(DOF)。
空间问题有限元分析
• 空间问题4节点四面体单元((tetrahedron element)
– 几何特征简单 – 描述能力强 – 最基础的单元 – 每个节点有3个位移
• 节点顺序必须一致。按Zienkiewicz著作，由最后一点看 去，前三点围成顺时针方向。
• 单元的几何和节点描述
• 节点力列阵
• 参数单元的三种类型
• 基于两个形状函数矩阵的比较，存在不同的分类 • 几何形状映射 位移插值
~ • 根据几何形状映射函数的阶次 r ( N )
• 位移函数插值的阶次 的比较 r ( N )
~ r ( N ) r ( N ) (iso-parametric element)： • 等参元元 ~ • 超参元 r ( N ) r ( N ) ~ • 亚参元 r ( N ) r ( N )
• 其中
是矩阵J的行列式(determinant)
• 面(体)积元映射 • 物理坐标系(x,y)中，由dξ 和dη 所围成的微小平行四边形, 面积为(矢量积)
• 由于dξ （矢量）和dη （矢量）在物理坐标系(x,y)中的分 量为
• i和j分别为物理坐标系(x,y)中的x方向和y方向的单位向量
• 三维问题，在(x,y,z) 坐标系中，由dξ 、dη 和dζ 所围成的 微小六面体的体积为
形状映射参数单元
• 复杂的边界有时只能采用不规整单元 • 到目前为止，各种单元边界都是直线/平面 • 试图用几何规整单元研究(推导)所对应的几何不规整单元
• 参数单元(parametric element）
• 两个坐标系之间的三个方面的变换
• 直角坐标系Xoy中，
• • 坐标系 中
为几何矩阵
• 要实现两个坐标系中单元刚度矩阵的变换，必须计算两个
坐标系之间的三种映射关系
• 坐标映射(mapping of coordinate)
• 偏导数映射(mapping of partial differential)
• 面积(体积)映射(mapping of area)
• 基准坐标系（x, h）, （reference coordinate)描述几何 形状规整的单元 • 物理坐标系（x, y），（physical coordinate) 描述实际 几何形状 • 前面所讨论的几种单元, 都是在基准坐标系进行讨论 • 基准单元(parent element)(如矩形单元，正六面体单元) • 工程问题中曲边单元(curved element)，往往其几何形状
• 1点Gauss积分公式
• 2点Gauss积分
• 高次多点Gauss积分
• 2D和3D问题的 Gauss积分
• 可将一维（1D）Gauss积分直接推广到2D和3D情形的积 分。
• 3D情况
平面4节点四边形等参元的刚度矩阵
• 一个平面4节点四边形等参元，采用4点Gauss积分计算该 单元的刚度矩阵
• 单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度 • 单元的位移模式为
• 节点条件
• 求取待定系数
• 形函数（V为四面体的体积）
•
为与节点几何位置相关的系数
• 是上式中的代数余子式
• 其他系数，按 p,j,k,m 轮换下标即可。
单元刚度矩阵及节点等效载荷矩阵
• 单元的刚度矩阵
• 等效节点载荷矩阵为
• 单元称为常应变(应力)CST单元
空间问题的8节点正六面体单元
• 8节点组成的正六面体单元(hexahedron element)，每个 节点有3个位移
• 位移列阵
• 节点力列阵
• 该单元有8个节点，每个方向的位移场可以设定8个待定系 数
• 选取该单元的位移模式为
• 由节点条件确定出待定系数 • 节点位移多达24个 • 利用单元的自然坐标直接应用拉格朗日插值
• 坐标的映射函数为
• 选择4点Gauss积分，即积分位置以及权函数为
• 单元刚度方程
4节点四面体单元位移坐标变换
• 由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向位移u、 y方向位移v、z方向位移w来定义的，所以没有坐标变换 问题。
• 常系数应变和应力
• 位移场为线性关系，因而单元的几何矩阵B和应力矩阵S，
都是常系数矩阵，不随x,y,z的变化而变化。
• 单元内任意一点的应变和应力都为常数
不太规整，但可以映射为规整的几何形状。
• 坐标映射关系一般表达为
• 对四节点单元的四个角点，有节点映射条件
• 用多项式来表达坐标映射关系：
• 待定系数a0，…，a3和b0，…，b3可由节点映射条件来唯 一确定
• 对照前面4节点矩形单元的单元位移函数
• 形式完全相同 • 节点条件表达式，形式完全 一致 • 可以推论，求解的待定系数也完全一致
• 积分很难以解析的形式给出，一般都采用近似的数值积分 法（numerical integration），常用的是Gauss积分公式 ，它是一种高精度和高效率的数值积分方法。
数值积分的Gauss方法
• 一个函数的定积分，可以通过n个点的函数值以及它们的 加权组合来计算
• Gauss积分点 ( Gauss integral point) • 权系数 (weight coefficient)
• 每一个节点坐标值进行排列，写成一个列阵
• 坐标映射，就可以写成：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 表达式与单元任意点的位移函数，形式完全一致
• 物理坐标系(x，y）中的任意一个函数Φ (x,y)，对参考坐
标系求它的偏导数，有
• 则偏导数的变换关系为
• 矩阵形式
• 雅可比矩阵(Jacobian matrix)
• 反过来，对物理坐标的偏导数为：
• 应变场
• 单元刚度矩阵及等效节点载荷矩阵
• 单元的刚度方程
• 8节点正六面体单元的一次线性应变和应力
• 8节点正六面移在x，y，z方向呈线性变化，所以称为线性 位移模式体单元。 • 在单元的边界上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共
节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公
共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备 (completeness)和协调(compatibility)的。它的应变和应 力为一次线性变化，因而比4节点四面体常应变单元精度 高
• 于插值阶次是由节点数量决定的，所以，可由几何形状变
换的节点数和位移插值函数的节点数直接判断参数单元的
性质.
• 上图中，圆圈表示几何映射坐标点，方形表示位移插值用 的节点 • 等参元以及亚参元，位移函数可以满足完备性要求； • 超参元位移函数不满足完备性要求。
参数单元刚度矩阵计算的数值积分
• 一个实际的单元，可以实现整个单元刚度矩阵在两个坐标 系的变换计算
• S=D B
• 轴对称问题的弹性系数矩阵
• 单元的势能计算
4节点矩形轴对称单元
• 单元为横截面为4节点矩形的360 度环形单元 • 4个节点的编号为1、2、3、4 • 在Orz平面内，单元的节点位移有8个自由度(DOF)
• 位移列阵
• 节点力列阵
• 单元位移模式为
• 参见平面4节点矩形单元，可推出它的形状函数矩阵 • N(r,z) • 几何矩阵 • B(r,z) • 单元刚度方程
• 节点基本位移列阵：
• 节点力列阵
• 单元位移模式为
• 模式与平面问题3节点三角形单元完全相同，由节点条件
可以推出相同的形状函数矩阵
• 形状函数矩阵及其N1、N2、N3的表达与平面问题3节点 单元相同。
• 单元应变场 (比平面三角形单元多一项)
• 几何矩阵为B
• 应力场表达式
• 应力函数矩阵
• 几何形状、约束条件以及载荷都对称于某一固定轴，这类 问题为轴对称问题 • 柱坐标（r,θ ,z）
• 轴对称问题的三大类变量 • 应变 • 应力
• 平衡方程
• 几何方程
•
• 物理方程
3节点三角形轴对称单元
• 该单元为横截面为3节点三角形的360 度环形单元
• 在roz平面内，单元的节点位移有6个自由度(DOF)。
空间问题有限元分析
• 空间问题4节点四面体单元((tetrahedron element)
– 几何特征简单 – 描述能力强 – 最基础的单元 – 每个节点有3个位移
• 节点顺序必须一致。按Zienkiewicz著作，由最后一点看 去，前三点围成顺时针方向。
• 单元的几何和节点描述
• 节点力列阵
• 参数单元的三种类型
• 基于两个形状函数矩阵的比较，存在不同的分类 • 几何形状映射 位移插值
~ • 根据几何形状映射函数的阶次 r ( N )
• 位移函数插值的阶次 的比较 r ( N )
~ r ( N ) r ( N ) (iso-parametric element)： • 等参元元 ~ • 超参元 r ( N ) r ( N ) ~ • 亚参元 r ( N ) r ( N )
• 其中
是矩阵J的行列式(determinant)
• 面(体)积元映射 • 物理坐标系(x,y)中，由dξ 和dη 所围成的微小平行四边形, 面积为(矢量积)
• 由于dξ （矢量）和dη （矢量）在物理坐标系(x,y)中的分 量为
• i和j分别为物理坐标系(x,y)中的x方向和y方向的单位向量
• 三维问题，在(x,y,z) 坐标系中，由dξ 、dη 和dζ 所围成的 微小六面体的体积为
形状映射参数单元
• 复杂的边界有时只能采用不规整单元 • 到目前为止，各种单元边界都是直线/平面 • 试图用几何规整单元研究(推导)所对应的几何不规整单元
• 参数单元(parametric element）
• 两个坐标系之间的三个方面的变换
• 直角坐标系Xoy中，
• • 坐标系 中
为几何矩阵
• 要实现两个坐标系中单元刚度矩阵的变换，必须计算两个
坐标系之间的三种映射关系
• 坐标映射(mapping of coordinate)
• 偏导数映射(mapping of partial differential)
• 面积(体积)映射(mapping of area)
• 基准坐标系（x, h）, （reference coordinate)描述几何 形状规整的单元 • 物理坐标系（x, y），（physical coordinate) 描述实际 几何形状 • 前面所讨论的几种单元, 都是在基准坐标系进行讨论 • 基准单元(parent element)(如矩形单元，正六面体单元) • 工程问题中曲边单元(curved element)，往往其几何形状
• 1点Gauss积分公式
• 2点Gauss积分
• 高次多点Gauss积分
• 2D和3D问题的 Gauss积分
• 可将一维（1D）Gauss积分直接推广到2D和3D情形的积 分。
• 3D情况
平面4节点四边形等参元的刚度矩阵
• 一个平面4节点四边形等参元，采用4点Gauss积分计算该 单元的刚度矩阵
• 单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度 • 单元的位移模式为
• 节点条件
• 求取待定系数
• 形函数（V为四面体的体积）
•
为与节点几何位置相关的系数
• 是上式中的代数余子式
• 其他系数，按 p,j,k,m 轮换下标即可。
单元刚度矩阵及节点等效载荷矩阵
• 单元的刚度矩阵
• 等效节点载荷矩阵为
• 单元称为常应变(应力)CST单元
空间问题的8节点正六面体单元
• 8节点组成的正六面体单元(hexahedron element)，每个 节点有3个位移
• 位移列阵
• 节点力列阵
• 该单元有8个节点，每个方向的位移场可以设定8个待定系 数
• 选取该单元的位移模式为
• 由节点条件确定出待定系数 • 节点位移多达24个 • 利用单元的自然坐标直接应用拉格朗日插值
• 坐标的映射函数为
• 选择4点Gauss积分，即积分位置以及权函数为
• 单元刚度方程
4节点四面体单元位移坐标变换
• 由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向位移u、 y方向位移v、z方向位移w来定义的，所以没有坐标变换 问题。
• 常系数应变和应力
• 位移场为线性关系，因而单元的几何矩阵B和应力矩阵S，
都是常系数矩阵，不随x,y,z的变化而变化。
• 单元内任意一点的应变和应力都为常数
不太规整，但可以映射为规整的几何形状。
• 坐标映射关系一般表达为
• 对四节点单元的四个角点，有节点映射条件
• 用多项式来表达坐标映射关系：
• 待定系数a0，…，a3和b0，…，b3可由节点映射条件来唯 一确定
• 对照前面4节点矩形单元的单元位移函数
• 形式完全相同 • 节点条件表达式，形式完全 一致 • 可以推论，求解的待定系数也完全一致
• 积分很难以解析的形式给出，一般都采用近似的数值积分 法（numerical integration），常用的是Gauss积分公式 ，它是一种高精度和高效率的数值积分方法。
数值积分的Gauss方法
• 一个函数的定积分，可以通过n个点的函数值以及它们的 加权组合来计算
• Gauss积分点 ( Gauss integral point) • 权系数 (weight coefficient)
• 每一个节点坐标值进行排列，写成一个列阵
• 坐标映射，就可以写成：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 表达式与单元任意点的位移函数，形式完全一致
• 物理坐标系(x，y）中的任意一个函数Φ (x,y)，对参考坐
标系求它的偏导数，有
• 则偏导数的变换关系为
• 矩阵形式
• 雅可比矩阵(Jacobian matrix)
• 反过来，对物理坐标的偏导数为：
• 应变场
• 单元刚度矩阵及等效节点载荷矩阵
• 单元的刚度方程
• 8节点正六面体单元的一次线性应变和应力
• 8节点正六面移在x，y，z方向呈线性变化，所以称为线性 位移模式体单元。 • 在单元的边界上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共
节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公
共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备 (completeness)和协调(compatibility)的。它的应变和应 力为一次线性变化，因而比4节点四面体常应变单元精度 高
• 于插值阶次是由节点数量决定的，所以，可由几何形状变
换的节点数和位移插值函数的节点数直接判断参数单元的
性质.
• 上图中，圆圈表示几何映射坐标点，方形表示位移插值用 的节点 • 等参元以及亚参元，位移函数可以满足完备性要求； • 超参元位移函数不满足完备性要求。
参数单元刚度矩阵计算的数值积分
• 一个实际的单元，可以实现整个单元刚度矩阵在两个坐标 系的变换计算
• S=D B
• 轴对称问题的弹性系数矩阵
• 单元的势能计算
4节点矩形轴对称单元
• 单元为横截面为4节点矩形的360 度环形单元 • 4个节点的编号为1、2、3、4 • 在Orz平面内，单元的节点位移有8个自由度(DOF)
• 位移列阵
• 节点力列阵
• 单元位移模式为
• 参见平面4节点矩形单元，可推出它的形状函数矩阵 • N(r,z) • 几何矩阵 • B(r,z) • 单元刚度方程
• 节点基本位移列阵：
• 节点力列阵
• 单元位移模式为
• 模式与平面问题3节点三角形单元完全相同，由节点条件
可以推出相同的形状函数矩阵
• 形状函数矩阵及其N1、N2、N3的表达与平面问题3节点 单元相同。
• 单元应变场 (比平面三角形单元多一项)
• 几何矩阵为B
• 应力场表达式
• 应力函数矩阵