上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题(学生版)

2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷
2019．1
一、填空题
1.
函数()ln(1)
f x x =
+-的定义域为________.
2. 设函数()()()1x x a f x x
+-=
为奇函数，则实数a
的值为______．
3. 已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则
()f x =______．
4. 方程21193x
x +⎛⎫= ⎪⎝⎭
的解为______． 5. 对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f
=______．
6. 已知幂函数()()
2
57m
f x m m x =-+是R 上的
增函数，则m 的值为______．
7. 已知函数()()()
220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫
= ⎪⎝⎭______.
8. 函数2
34
log 65y x x =-+的单调递增区间为______．
9. 若函数()()
2
log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122
a
x x <≤
时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．
10. 已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()
()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．
11. 已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫
=+-++ ⎪⎝⎭
（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．
12. 已知函数()()12
21log 1,12
3,x x x n
f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，
0,2m ；（2）12n =
时，1,22m ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭
时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______． 二、选择题
13. 下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是（ ）．
A. ()1
f x x x
=-
B. ()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C. ()3
f x x =-
D. ()2
1
log 1
x f x x +=-- 14. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，
则m 的取值范围是（ ） A. (),0-∞
B. ()
(),02,-∞+∞
C. （0，2）
D. ()2,+∞
15. 如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg
21
x a
f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ） A. 13,22⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 3
,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 3,32
⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. (]3,+∞
16. 定义在()1,1-上的函数
()f x 满足()()111f x f x =
+- 当(1,0]x ∈-时，()1
11f x x
=
-+ 若函数()()1
2
g x f x mx m =-
-- 在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( ) A. 19,
416⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 19
[,
)416
C. 11[,)42
D. 11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
三、解答题
17. 已知函数()21x
f x =-的反函数是()1
y f
x -=，()()4log 31g x x =+
（1）画出()21x
f x =-的图像；
（2）解方程()()1
f
x g x -=．
18. 已知定义在R 上奇函数()x
x
f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ） （1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数； （2）已知()312
f =
，求函数()22x x
g x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围． 19. 松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当
1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方
成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ． （1）求()p t 的表达式；
（2）若该线路分钟的净收益为()61500
60p t Q t
-=-（元）
，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
20. 对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”
（1）求出函数()3
f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；
（2）函数()4
3f x x
=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由
（3）已知定义在()2,k 上的函数()4
21
f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．
21. 定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()2
29x
x
g x g x e e +-=+
-，()()201h h -==，()32h -=-
（1）求()g x 和()h x 的解析式；
（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；
（3）设()()(),0,0
g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦
的解的个数．。