第6章：刚性飞行器运动方程 (1)

ω =ωxi +ωy j +ωzk
注意到：
r2 = x2 + y2 + z2
ω×r =ωxx +ωy y +ωzz
将上述关系式代入（6.7）得到动量矩在动坐 标系中的三个分量表达式：
⎧⎪hx = ωxIx −ωyIxy −ωzIzx ⎨hy = ωyIy −ωxIxy −ωzIyz
（6.8）
⎪⎩hz = ωzIz −ωxIzx −ωyIyz
1.任意动坐标系中的质心动力学方程
坐标原点为飞机质心！
⎧ ⎪ ⎪
m
(
dV dt
x
+ Vzω y
− Vyω z )
=
Fx
⎪
⎪⎪ ⎨ ⎪
m
(
dV dt
y
+ Vxω z
− Vzω x )
=
Fy
⎪
⎪ ⎪
m
(
d
V
z
⎪⎩ dt
+ Vyω x
− Vxω y )
=
Fz
(ωx,ωy,ωz)为动系相对惯性系的转动角速度 在动系上的投影; (Fx, Fy , Fz )为外力在动系上的 投影分量。
式相同
（1）δ h 为动系角速度ω = 0 时的动量矩导数， 称为动δ t量矩相对导数，用其投影表示为：
δ h = dhx i + dhy j + dhz k δt dt dt dt
（2）ω × h 称为动量矩的转换导数，是由于 ω
的存在，动坐标系方向改变所引起的动量矩 变化，可表示为：
i jk
ω × h = ωx ωy ωz
sin χ
⎪ dt
⎪ dzg
⎪ ⎩
dt
= −V sin χ
注意到：
dxg dt
= V xg
2.利用机体轴系下的运动变量
[u,v, w]T
Lgb
体轴坐标系变量
[Vx ,Vy ,Vz ]Tg
地面坐标系变量
⎧dxg
⎪ ⎪
dt
=ucosθ cosψ
+v(sinθsinφcosψ
−cosφsinψ)+
⎪w(sinθcosφcosψ +sinφsinψ)
=
M
y
⎪ ⎪⎩
dhz dt
+
(ω x h y
− ω yhx )
=
M
z
将动量矩关系式（6.8）代入上式
推导出任意动系下飞机绕质心转动的动 力学方程式（ 6.13）
6.1刚性飞机的动力学方程
6.1.1飞机质心移动的动力学方程 1.任意坐标系中的质心动力学方程 2.航迹坐标系中的质心动力学方程 3.机体坐标系中的质心动力学方程 6.1.2飞机绕质心转动的动力学方程 1.任意坐标系中绕质心转动的动力学方程 2.机体坐标系中绕质心转动的动力学方程
⎧ ⎪
I
x
⎪
dp dt
+
(Iz
−
I y )qr
−
I zx (
pq
+
dr ) dt
=
L
⎪ ⎨
I
y
⎪
dq dt
+
(Ix
−
Iz )rp
+
I zx ( p2
−
r2)
=
M
（6.14）
⎪ ⎪⎩ I z
dr dt
+
(Iy
−
Ix ) pq
+
Izx (qr
−
dp ) dt
=
N
（4）飞行器轴对称(上下左右均对称)，有：
内容
绪论
பைடு நூலகம்
6.1 刚性飞机动力学方程
6.2 刚性飞机运动学方程
6.4 运动方程组线性化
6.5 纵向小扰动运动方程组
6.6 横侧小扰动运动方程组
小结
作业：6.3;6.4;6.7
飞行性能
可控质点
三轴力方程
飞行品质
可控 质点系
三轴力方程
动量定理
三轴力矩方程 动量矩定理
重点讨论
运动影响因素 地球曲率和自转 机体弹性变形 旋转部件运动 环境（风、雨、冰） 重量变化
什么是机体坐标系？
速度投影
⎡V ⎢⎢V
x y
⎤ ⎥ ⎥
⎡u ⎤
=
⎢ ⎢
v
⎥ ⎥
⎢⎣Vz ⎥⎦ b ⎢⎣ w ⎥⎦
角速度投影
发动机安装角
⎡ω ⎢⎢ω
x y
⎤ ⎥ ⎥
⎡ p⎤
=
⎢ ⎢
q
⎥ ⎥
⎢⎣ω z ⎥⎦ b ⎢⎣ r ⎥⎦
发动机推力投影
⎡⎢⎢TTxy
⎤ ⎥ ⎥
⎡T cosϕ
= ⎢⎢0
⎤ ⎥ ⎥
（1）一般飞行器均左右对称，故有： I xy = I yz = 0 Y轴左右正负抵消
（2）角速度在机体轴上的投影表示为：
[ωx ,ωy ,ωz ]Tb = [ p, q, r]T
（3）合外力矩在机体轴上的投影表示为：
[Mx,My,Mz]Tb =[L,M, N]T
式（6.13)
式（6.14)
飞机的转动运动学方程：
6.1.2飞机绕质心转动的动力学方程 1.任意坐标系中绕质心转动的动力学方程 2.机体坐标系中绕质心转动的动力学方程
问题：
如何将一个在动坐标系下描述的动量矩方 程在动坐标系下写成标量形式？
由于动坐标系在空中以 ω 转动，动量矩导数
d h / dt 可表示为：
dh dt
=
δh δt
+
ω
×
h
与第一章的 速矢微分形
重力的投影
m
⎡ ⎢ ⎢
g g
x y
⎤ ⎥ ⎥
⎡0 ⎤ ⎡−g sinθ ⎤
=
Lbg
⎢⎢0
⎥ ⎥
=
m
⎢⎢ g
sin φ
cosθ
⎥ ⎥
⎢⎣ gz ⎥⎦b
⎢⎣g ⎥⎦ ⎢⎣g cosφ cosθ ⎥⎦
将上述五个投影表达式代入（1.35)，得
⎧⎪⎪m(ddut +qw−rv) =T cosϕ − Dcosα cosβ −Ccosαsinβ + Lsinα −mgsinθ
sin
β
⎪dw ⎪⎩ dt
=
dV dt
sinα
cos
β
+
dα
dt
V
cosα
cos
β
−
dβ
dt
V
sinα
sin
β
代入（6.1)，可以推导出以飞行速度、飞行迎角
和侧滑角为变量的三个动力学方程（课后作业）。
气动力仍应用气流轴系下气动力表达式！
6.1刚性飞机的动力学方程
6.1.1飞机质心移动的动力学方程 1.任意坐标系中的质心动力学方程 2.航迹坐标系中的质心动力学方程 3.机体坐标系中的质心动力学方程
⎪⎪⎨⎪ddytg =ucosθsinψ +v(sinθsinφsinψ +cosφcosψ)+
⎪w(sinθcosφsinψ −sinφcosψ)
⎪⎪dzg ⎪⎩ dt
=−usinθ
+vsinφcosθ
+wcosφsinθ
注意到：
dxg dt
= V xg
6.2.2飞机绕质心转动运动学方程
描述飞机在空间姿态变化的运动学方程。
⎢⎣Tz ⎥⎦b ⎢⎣−T sin ϕ ⎥⎦
空气动力的投影
⎢⎡Ax
⎤ ⎥
⎢Ay ⎥
⎡−D⎤ ⎡−D⎤ ⎡−Dcosαcosβ−Ccosαsinβ+Lsinα⎤
=Lba ⎢⎢C
⎥ ⎥
=
LTab
⎢⎢C
⎥ ⎥
=⎢⎢−Dsinβ
+Ccosβ
⎥ ⎥
⎢⎣Az ⎥⎦b ⎢⎣−L⎥⎦ ⎢⎣−L⎥⎦ ⎢⎣−Dsinαcosβ−Csinαsinβ−Lcosα⎥⎦
⎪⎨⎪m(ddvt +ru − pw) = −Dsinβ +Ccosβ +mgsinφ cosθ
（6.1）
⎪⎪⎩m(ddwt + pv−qu) = −T sinϕ − Dsinα sinβ −Csinα sinβ − Lcosα +mgcosφ cosθ
课后请详细推导？
在地面模拟器数学运动方程中常使用！
当动坐标系的原点位于质心时，上述公式 可直接应用于动坐标系。
动量矩表达式: 书中已有推导。质量、速度和
距离的乘积。 当动坐标系原点为质心时，有飞机的动量矩简化为:
h = ∫ r × (ω × r)dm （6.7）
矢径 r 和角速度 ω 用动坐标系中投影分量来表
示：
r = xi + y j + zk
6.1.2飞机绕质心转动的动力学方程 1.任意坐标系中绕质心转动的动力学方程 2.机体坐标系中绕质心转动的动力学方程
动量矩定理：飞机绕通过质心的瞬时轴的转 动运动与飞机所受外力矩的关系。
dh = M dt
外力对原点 动量矩对时间的导数
的合力矩
转动仅取决于飞机的转动运动， 与平飞运动无关
上式是在惯性坐标系下推导的；
6.1刚性飞机的动力学方程
6.1.1飞机质心移动的动力学方程 1.任意坐标系中的质心动力学方程 2.航迹坐标系中的质心动力学方程 3.机体坐标系中的质心动力学方程
6.1.2飞机绕质心转动的动力学方程 1.任意坐标系中绕质心转动的动力学方程 2.机体坐标系中绕质心转动的动力学方程
9机体坐标系中的质心动力学方程*
6.1刚性飞机的动力学方程
6.1.1飞机质心移动的动力学方程 1.任意坐标系中的质心动力学方程 2.航迹坐标系中的质心动力学方程 3.机体坐标系中的质心动力学方程
6.1.2飞机绕质心转动的动力学方程 1.任意坐标系中绕质心转动的动力学方程 2.机体坐标系中绕质心转动的动力学方程
什么是航迹坐标系？ 第一章已推导
?
6.2.2飞机绕质心转动运动学方程
机体姿态角旋转角速度的关系：
⎡p⎤ ⎢⎢q⎥⎥ ⎢⎣r ⎥⎦
=
⎡⎢φ• ⎤⎥
⎢0⎥ ⎢⎥ ⎣⎢0⎦⎥
+
Lby'
⎡0⎤ ⎢•⎥
⎢θ⎥
⎢⎥ ⎣⎢0⎦⎥
+
Lbg
⎡⎢0 ⎢0
⎢⎢⎣ψ•
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
∫ ⎪⎪ ∫ ⎨
I I
xy xz
= =
xydm xzdm
⎪
∫ ⎪⎩ I yz = y z d m
某方向力矩与产生其它二 个方向转动运动的关系
可根据飞机的质量和几何尺寸，通过工
程估算的方法计算。
6.1刚性飞机的动力学方程
6.1.1飞机质心移动的动力学方程 1.任意坐标系中的质心动力学方程 2.航迹坐标系中的质心动力学方程 3.机体坐标系中的质心动力学方程
上式中，Ix,Iy,Iz是与动坐标系相应轴的惯性矩； Ixy , I yz , Izx 是对相应轴的惯性积。
⎧
∫ ⎪⎪ ∫ ⎨
I I
x y
= =
( y2 + z2 )dm (x2 + z2 )dm
⎪
∫ ⎪⎩ I z = ( y 2 + x 2 ) d m
某方向力矩与产生 转动运动的关系
（6.9）
⎧
采用飞机速度与体轴系三个速度变量的关系
⎧u = V cosα cos β
⎪ ⎨
v
=
V
sin
β
⎪⎩ w = V sin α cos β
⎧du
⎪ ⎪
dt
⎪dv
⎨ ⎪
dt
= =
dV dt dV dt
cosα cos β − dα
dt
sin β + dβ V cos
dt
V
β
sinα
cos
β
−
dβ
dt
V
cosα
飞机在空间的姿态是通过机体轴系的三个欧 拉角来表示，其随时间的变化规律与飞机旋 转角速度相关。
机体姿态角旋转角速度的关系：
⎡p⎤ ⎢⎢q⎥⎥ ⎢⎣r ⎥⎦
=
⎡⎢φ• ⎤⎥
⎢0⎥ ⎣⎢⎢0⎦⎥⎥
⎡0 ⎤
⎢•
⎥
+⎢θcosφ ⎥
⎣⎢⎢−θ•
⎥
sinφ⎦⎥
+
Lbg
⎡⎢0
⎤ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎢⎣ψ• ⎥⎥⎦
假设条件 地球为平面大地 机体为刚性—标题 略去旋转部件运动 静止标准大气 重量不变
运动方程非常复杂！
6.1刚性飞机的动力学方程
6.1.1飞机质心移动的动力学方程 1.任意坐标系中的质心动力学方程 2.航迹坐标系中的质心动力学方程 3.机体坐标系中的质心动力学方程
6.1.2飞机绕质心转动的动力学方程 1.任意坐标系中绕质心转动的动力学方程 2.机体坐标系中绕质心转动的动力学方程
hx hy hz
（3）合外力矩 M 在动系中的投影表示为：
M = Mxi +My j +Mz k
将上述三个投影表示式代入（6.11)，即可得 到转动运动方程的标量形式：
δh δt
+
ω
×
h
=
M
⎧ dhx
⎪ ⎪
dt
+
(ω y hz
− ωzhy )
=
M
x
⎪ ⎨ ⎪
dhy dt
+ (ω z hx
− ω xhz )
小结
6.2.1刚性飞机质心运动学方程
要与动力学方程联解，故取决于动力学方程 建立在什么坐标系？航迹轴系？或体轴系？
1.利用航迹轴系下的运动变量
[V , χ ,γ ]T Lgk
[Vx ,Vy ,Vz ]Tg
航迹坐标系变量 地面坐标系变量
⎧ dxg
⎪ ⎪
dt
=V
cos γ
cos χ
⎪ ⎨
d
y
g
=V
cos γ
⎧⎪m ⎪⎪
dV dt
=
T cos(α dχ
+ϕ)cos β
− D− mg sinγ
⎨mV cosγ = T[sin(α +ϕ)sin μ −cos(α +ϕ)sin β cos μ] +Ccos μ + Lsin μ
⎪
dt
⎪ dγ ⎪⎩−mV dt = T[−sin(α +ϕ)cos μ −cos(α +ϕ)sin β sin μ] +Csin μ − Lcosμ + mg cosγ
1.4.1一般动坐标系中质心动力学方程 (1.35)
⎧⎪m( ⎪
dVx dt
+Vzωy
−Vyωz
)
=
Fx
⎪
⎪⎪⎨m( ⎪
dVy dt
+Vxωz
−Vzωx )
=
Fy
⎪
⎪ ⎪m(
dVz
⎪⎩ dt
+Vyωx
−Vxωy )
=
Fz
此方程适用于任一动 坐标系；
动坐标系的选取取决 于所研究的问题。
9机体坐标系中质心动力学方程的另一种形式*
I zx = 0
⎧ ⎪
I
x
⎪
dp dt
+
(Iz
−
Iy
)qr
=
L
⎪ ⎨
I
y
⎪
dq dt
+
(Ix
−
Iz )rp
=
M
⎪ ⎪⎩ I z
dr dt
+
(Iy
−
Ix ) pq
=
N
（6.15）
导弹的转动 运动方程
内容
绪论 6.1 刚性飞机动力学方程 6.2 刚性飞机运动学方程 6.4 运动方程组线性化 6.5 纵向小扰动运动方程组 6.6 横侧小扰动运动方程组